【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 (a3－ a2)＋ … ＋ (an－ an－ 1) ＝ 33＋ 2＋ 4＋ … ＋ 2(n－ 1) ＝ n2－ n＋ 33，又 n＝ 1時(shí)， a1＝ 33適合， 故 an＝ n2－ n＋ 33. 又ann＝ n ＋33n－ 1 ， 令 f ( n ) ＝ n ＋33n－ 1 ， f ( n ) 在 [ 1 , 5 ] 上為減函數(shù)， f ( n ) 在 [6 ，＋ ∞ ) 上為增函數(shù)，又 f ( 5) ＝535， f ( 6) ＝212， 所以 f ( 5) f ( 6) ．故 f ( n ) ＝ann的最小值為212. 2 ．已知函數(shù) f ( x ) ＝????? 2x－ 1 ? x ≤ 0 ? ，f ? x － 1 ? ＋ 1 ? x 0 ? ，把函數(shù) g ( x ) ＝ f ( x ) － x的零點(diǎn)按從小到大的順序排成一個(gè)數(shù)列，則該數(shù)列的通項(xiàng)公式為 下列中的 ____ __( 填序號(hào) ). ① an＝n ? n － 1 ?2( n ∈ N*) ； ② an＝ n ( n － 1) ( n ∈ N*) ； ③ an＝ n － 1( n ∈ N*) ； ④ an＝ 2n－ 2( n ∈ N*) ． 解析： 據(jù)已知函數(shù)關(guān)系式可得 f ( x ) ＝??????? 2x－ 1 ? x ≤ 0 ? ，2x － 1? 0 x ≤ 1 ? ，2x － 2＋ 1 ? 1 x ≤ 2 ? ，? ，此時(shí)易知函數(shù) g ( x ) ＝ f ( x ) － x 的前幾個(gè)零點(diǎn)依次為 0,1,2 ， ? ，代入驗(yàn)證只有 ③ 符合． 答案：③ 1 ．根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)，寫出下列各數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式： (1) － 1,7 ，－ 13,19 ， ? ； (1), ， ? ； (3)32， 1 ，710，917， ? ； (4)0,1,0,1 ， ? . 解： ( 1) 符號(hào)問(wèn)題可通過(guò) ( － 1)n或 ( － 1)n ＋ 1表示，其各項(xiàng)的絕對(duì)值的排列規(guī)律為：后面的數(shù)的絕對(duì)值總比前面數(shù)的絕對(duì)值大 6 ，故通項(xiàng)公式為 an＝ ( － 1)n(6 n － 5) ． ( 2) 將數(shù)列變形為89(1 － 0. 1) ，89(1 － ) ，89(1 － ) ， ? 故 an＝89 ??????1 －110n . ( 3) 將數(shù)列統(tǒng)一為32，55，710，917， ? ，對(duì)于分子 3,5, 7 ， 9 ， ? ，是序號(hào)的 2 倍加 1 ，可得分子的通項(xiàng)公式為 bn＝ 2 n ＋ 1 ，對(duì)于分母 2,5,10,1 7 ， ? ，聯(lián)想到數(shù)列 1,4,9,16 ， ? ，即數(shù)列 { n2} ，可得分母的通項(xiàng)公式為 cn＝ n2＋ 1 ， 故可得它的一個(gè)通項(xiàng)公式為 an＝2 n ＋ 1n2＋ 1. ( 4) an＝????? 0 ? n 為奇數(shù) ? ，1 ? n 為偶數(shù) ?或 an＝1 ＋ ? － 1 ?n2或 an＝1 ＋ c os n π2. 2 ．已知數(shù)列 { a n } 的通項(xiàng)公式 a n ＝ ( n ＋ 1)??????1011n( n ∈ N*) ，試問(wèn)數(shù)列 { a n } 有沒(méi)有最大項(xiàng)？若有，求最大項(xiàng)和最小項(xiàng)的項(xiàng) 數(shù)；若沒(méi)有，說(shuō)明理由． 解： ∵ a n ＋ 1 － a n ＝ ( n ＋ 2)??????1011n ＋ 1－ ( n ＋ 1)??????1011n＝??????1011n 9 － n11，當(dāng) n 9 時(shí)， a n ＋ 1 － a n 0 ，即 a n ＋ 1 a n ； 當(dāng) n ＝ 9 時(shí)， a n ＋ 1 － a n ＝ 0 ，即 a n ＋ 1 ＝ a n ； 當(dāng) n 9 時(shí)， a n ＋ 1 － a n 0 ，即 a n ＋ 1 a n ； 故 a 1 a 2 a 3 ? a 9 ＝ a 10 a 11 a 12 ? ∴ 數(shù)列中有最大項(xiàng)，最大項(xiàng)為第 9 、 10 項(xiàng)，即 a 9 ＝ a 10 ＝1010119 . 3 ．設(shè)數(shù)列 { a n } 的前 n 項(xiàng)和為 S n ，點(diǎn)??????n ，S nn( n ∈ N*) 均在函數(shù) y＝ 3 x － 2 的圖象上． (1) 求數(shù)列 { a n } 的通項(xiàng)公式； (2) 設(shè) b n ＝3a n a n ＋ 1， T n 是數(shù)列 { b n } 的前 n 項(xiàng)和，求使得 T n m20對(duì)所有 n ∈ N*都成立的最小正整數(shù) m . 解： ( 1) 依題意得，S nn＝ 3 n － 2 ，即 S n ＝ 3 n2－ 2 n . 當(dāng) n ≥ 2 時(shí)， a n ＝ S n － S n － 1 ＝ (3 n2－ 2 n ) － [ 3( n － 1)2－ 2( n － 1) ]＝ 6 n － 5 ； 當(dāng) n ＝ 1 時(shí)， a 1 ＝ S 1 ＝ 3 12－ 2 1 ＝ 1 ＝ 6 1 － 5. 所以 a n ＝ 6 n － 5( n ∈ N*) ． ( 2) 由 ( 1) 得 bn＝3anan ＋ 1＝3? 6 n － 5 ? [6 ? n ＋ 1 ? － 5]＝12????????16 n － 5－16 n ＋ 1，故 Tn＝ ?i ＝ 1nb i ＝12??????????????1 －17＋??????17－113＋ ? ＋????????16 n － 5－16 n ＋ 1 ＝12????????1 －16 n ＋ 1. 因此，使得12????????1 －16 n ＋ 1m20( n ∈ N*) 成立的 m 必須且僅需滿足12≤m20，即 m ≥ 10 ，故滿足要求的最小正整數(shù) m 為 10. 4． (2022浙江高考 )已知數(shù)列 {an}的前 n項(xiàng)和為 Sn，且 Sn＝ 2n2＋ n， n∈ N*，數(shù)列 {bn}滿足 an＝ 4log2bn＋ 3， n∈ N*. (1)求 an， bn； (2)求數(shù)列 {anbn}的前 n項(xiàng)和 Tn. 解： (1)由 Sn＝ 2n2＋ n，得當(dāng) n＝ 1時(shí)， a1＝ S1＝ 3； 當(dāng) n≥2時(shí)， an＝ Sn－ Sn－ 1＝ 4n－ 1，易知當(dāng) n＝ 1時(shí)也滿足通式an＝ 4n－ 1， 所以 an＝ 4n－ 1， n∈ N*. 由 4n－ 1＝ an＝ 4log2bn＋ 3，得 bn＝ 2n－ 1， n∈ N*. (2)由 (1)知 anbn＝ (4n－ 1)2n－ 1， n∈ N*， 所以 Tn＝ 3＋ 7 2＋ 11 22＋ … ＋ (4n－ 1)2n－ 1， 2Tn＝ 3 2＋ 7 22＋ … ＋ (4n－ 5)2n－ 1＋ (4n－ 1)2n， 2Tn－ Tn＝ (4n－ 1)2n－ [3＋ 4(2＋ 22＋ … ＋ 2n－ 1)]＝ (4n－ 5)2n＋ 5. 故 Tn＝ (4n－ 5)2n＋ 5， n∈ N*. [備考方向要明了 ] 考 什 么 怎 么 考 ； 式與前 n項(xiàng)和公式 . 識(shí)別數(shù)列的等差關(guān)系 . 并能用有關(guān)知識(shí)解決相 應(yīng)的問(wèn)題 . 數(shù)的關(guān)系 . 的基本量及等差數(shù)列性質(zhì)的 簡(jiǎn)單應(yīng)用，如 2022年高考 T13 等． 的概念、等差數(shù)列的判定、通 項(xiàng)公式、前 n項(xiàng)和公式以及等 差數(shù)列的性質(zhì)等，如 2022年高 考 T20. [歸納 知識(shí)整合 ] 1．等差數(shù)列的定義 一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第 項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于 ，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用字母 表示，定義表達(dá)式為 (常數(shù) )(n∈ N*， n≥2)或 _________________ (常數(shù) )(n∈ N*)． 2．等差數(shù)列的通項(xiàng)公式 若等差數(shù)列 {an}的首項(xiàng)為 a1，公差為 d，則其通項(xiàng)公式為 .亦可以用數(shù)列中的第 m項(xiàng) am與公差 d表示為 an＝ . 二 同一個(gè)常數(shù) an－ an－ 1＝ d an＋ 1－ an＝ d d an＝ a1＋ (n－ 1)d am＋ (n－ m)d [探究 ] {an}的第 m項(xiàng)為 am，公差為 d，則其第 n項(xiàng) an能否用 am與 d表示？ 提示：能， an＝ am＋ (n－ m)d. 3 ． 等差中項(xiàng) 若三個(gè)數(shù) a ， A ， b 成等差數(shù)列，則 A 叫做 a 與 b 的等差中項(xiàng)，且有 A ＝ . a ＋ b2 4 ． 等差數(shù)列的前 n 項(xiàng)和公式 S n ＝ na 1 ＋ ＝ . n ? n － 1 ?2 d n ? a 1 ＋ a n ?2 [探究 ] n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)運(yùn)用了什么方法？ 提示：倒序相加法． 3．等差數(shù)列前 n項(xiàng)和公式能否看作關(guān)于 n的函數(shù)，該函數(shù)是否有最值？ 提示：當(dāng) d≠0時(shí)， Sn是關(guān)于 n的且常數(shù)項(xiàng)為 0的二次函數(shù)，則 (n， Sn)是二次函數(shù)圖象上的一群孤立的點(diǎn)，由此可得：當(dāng) d0時(shí)， Sn有最小值；當(dāng) d0時(shí)， Sn有最大值． 5．等差數(shù)列的性質(zhì) 已知數(shù)列 {an}是等差數(shù)列， Sn是其前 n項(xiàng)和． (1)若 m＋ n＝ p＋ q，則 ， 特別：若 m＋ n＝ 2p，則 am＋ an＝ 2ap. (2)am， am＋ k， am＋ 2k， am＋ 3k， … 仍是等差數(shù)列，公差為 . (3)數(shù)列 Sm， S2m－ Sm， S3m－ S2m， … 也是等差數(shù)列． am＋ an＝ ap＋ aq kd [自測(cè) 牛刀小試 ] 1． (2022重慶高考改編 )在等差數(shù)列 {an}中， a2＝ 1， a4＝ 5，則 {an}的前 5項(xiàng)和 S5＝ _______. 解析： 數(shù)列 { a n } 的公差 d ＝5 － 12 ＝ 2 ，則 a 1 ＝－ 1 ， a 5 ＝ 7 ，可得 S 5 ＝ 15. 答案： 15 2． (2022遼寧高考改編 )在等差數(shù)列 {an}中，已知 a4＋ a8 ＝ 16， 則該數(shù)列前 11項(xiàng)和 S11＝ ( ) 解析 ： 因?yàn)?{ a n } 是等差數(shù)列 ， 所以 a 4 ＋ a 8 ＝ 2 a 6 ＝ 16 ? a 6＝ 8 ， 則該數(shù)列的前 11 項(xiàng)和為 S 11 ＝11 ? a 1 ＋ a 11 ?2＝ 11 a 6 ＝88. 答案： 88 3． (教材習(xí)題改編 )在等差數(shù)列 {an}中，若 a4＋ a5＝ 15， a7＝ 15，則 a2的值為 _______. 解析：題意知， a2＋ a7＝ a4＋ a5，所以 a2＝ a4＋ a5－ a7＝ 0. 答案 :0 4 ． ( 教材習(xí)題改編 ) 已知兩個(gè)數(shù)列 x ， a 1 ， a 2 ， a 3 ， y 與 x ， b 1 ，b 2 ， y 都是等差數(shù)列，且 x ≠ y ，則a 2 － a 1b 2 － b