20xx版高考人教版數(shù)學一輪學案：高考大題規(guī)范解答系列(四)——立體幾何-(含解析)(編輯修改稿)
2025-04-03 00:54 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 又∵AB＝AA1，∴A1B⊥EF，A1B⊥AF，∴A1B⊥平面AEF，∴A1B⊥AE；(2)VA1－ABE＝VB－A1AE＝2＝，設A1到平面ABE的距離為h，則hS△ABE＝，由已知得AE＝BE＝，∴S△ABE＝，∴h＝．考點三,立體幾何中的折疊問題(理)例3 (2021啟東模擬)如圖，已知在等腰梯形ABCD中，AE⊥CD，BF⊥CD，AB＝1，AD＝2，∠ADE＝60176。，沿AE，BF折成三棱柱AED－BFC．(1)若M，N分別為AE，BC的中點，求證：MN∥平面CDEF；(2)若BD＝，求二面角E－AC－F的余弦值．【分析】?、倮妹婷嫫叫械呐卸ê托再|(zhì)即可證明；②建立空間直角坐標系，分別求出二面角兩個面的法向量，利用空間向量法求解．【標準答案】——規(guī)范答題 步步得分(1)取AD的中點G，連接GM，GN，在三角形ADE中，∵M，G分別為AE，AD的中點，∴MG∥DE，∵DE?平面CDEF，MG?平面CDEF，∴MG∥平面CDEF． 2分由于G，N分別為AD，BC的中點，由棱柱的性質(zhì)可得GN∥DC，∵CD?平面CDEF，GN?平面CDEF，∴GN∥平面CDEF． 3分又GM?平面GMN，GN?平面GMN，MG∩NG＝G，∴平面GMN∥平面CDEF， 4分∵MN?平面GMN，∴MN∥平面CDEF． 5分(2)連接EB，在Rt△ABE中，AB＝1，AE＝，∴BE＝2，又ED＝1，DB＝，∴EB2＋ED2＝DB2，∴DE⊥EB，又DE⊥AE且AE∩EB＝E，∴DE⊥平面ABFE．∴EA、EF、ED兩兩垂直． 7分建立如圖所示的空間直角坐標系，可得E(0,0,0)，A(，0,0)，F(xiàn)(0,1,0)，C(0,1,1)，＝(－，1,1)，＝(－，0,0)，＝(0,0,1)． 8分設平面AFC的法向量為m＝(x，y，z)，則則z＝0，令x＝1，得y＝，則m＝(1，0)為平面AFC的一個法向量，設平面ACE的法向量為n＝(x1，y1，z1)，則則x1＝0，令y1＝1，得z1＝－1，∴n＝(0,1，－1)為平面ACE的一個法向量． 10分設m，n所成的角為θ，則cos θ＝＝＝，由圖可知二面角E－AC－F的余弦值是． 12分【評分細則】?、儆删€線平行得到線面平行，給2分．②同理再推出一個線面平行，給1分．③由線面平行推出面面平行，給1分．④由面面平行得到線面平行，給1分．⑤由線線垂直證出線面垂直，為建系作好準備，給2分．⑥建立適當坐標系，寫出相應點的坐標及向量坐標，給1分．⑦正確求出平面的法向量，給2分．⑧利用公式求出兩個向量夾角的余弦值，并正確寫出二面角的余弦值，給2分．【名師點評】 1．核心素養(yǎng)：本題考查線面平行的判定與性質(zhì)定理，考查二面角的求解，考查的數(shù)學核心素養(yǎng)是空間想象力、推理論證能力及數(shù)學運算能力．2．解題技巧：(1)得分步驟：第(1)問中的DE?平面CDEF，MG?平面CDEF，要寫全．(2)得分關(guān)鍵：第(2)中，證明線面垂直從而得到線線垂直，才能建系．(3)折疊問題的求解，關(guān)鍵是分清折疊前后圖形的位置和數(shù)量關(guān)系的變與不變．一般地，折疊前位于“折痕”同側(cè)的點、線間的位置和數(shù)量關(guān)系折疊后不變，而折疊前位于“折痕”兩側(cè)的點、線間的位置關(guān)系折疊后會發(fā)生變化，對于不變的關(guān)系可在平面圖形中處理，而對于變化的關(guān)系則要在立體圖形中解決．〔變式訓練3〕(2021河北質(zhì)檢)如圖1：在△ABC中，AB⊥BC，AB＝2BC＝4，點E，F(xiàn)分別是線段AB和AC的中點．如圖2：以EF為折痕把△AEF折起，使點A到達點P的位置．(1)證明：平面FPC⊥平面BPC；(2)若△PEB為等邊三角形，求二面角C－PF－E的余弦值．[解析] (1)證明：如圖，設M，N分別為線段PB，PC的中點，連接EM，MN，F(xiàn)N，故MN綊BC．由E，F(xiàn)分別是線段AB和AC的中點，得PE＝BE，PF＝CF，EF綊BC，故EF綊MN，所以EM綊FN．又M，N分別為線段PB，PC的中點，所以EM⊥PB，F(xiàn)N⊥PC．又EM綊FN，所以FN⊥PB，所以FN⊥平面PBC．又FN?平面FPC，所以平面FPC⊥平面BPC．(2)解：因為BC⊥AB，所以翻折后有BC⊥BE，BC⊥EP，所以BC⊥平面PBE，故平面PBE⊥平面BCFE．若△PEB為等邊三角形，則PB＝2．設O為BE的中點，連接PO，故PO⊥BE，故PO⊥平面BCFE．以O為坐標原點，OB的方向為x軸正方向，OP的方向為z軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系O－xyz．則C(1,2,0)，F(xiàn)(－1,1,0)，E(－1，0,0)，P(0,0，)．設n＝(x1，y1，z1)為平面PEF的法向量，則即可取n＝(－，0,1)．設m＝(x2，y2，z2)為平面PCF的法向量，則即可取m＝(1，－2，－)．所以cos〈n，m〉＝＝＝－，由題意，可知二面角C－PF－E為鈍角．所以二面角C－PF－E的余弦值為－．考點三,立體幾何中的折疊問題(文)例3 (2018課標全國Ⅰ卷)如圖，在平行四邊形ABCM中，AB＝AC＝3，∠ACM＝90176。．以AC為折痕將△
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