20xx版高考人教版數(shù)學(xué)一輪學(xué)案：選修4-4-第一講-坐標(biāo)系-(含解析)(編輯修改稿)
2025-04-03 01:50 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 y＝0變成直線x′＋y′＝0．(2)將(*)代入x2＋y2＝1，得到經(jīng)過(guò)伸縮變換后的圖形的方程是＋＝1．因此，經(jīng)過(guò)伸縮變換后，圓x2＋y2＝1變成橢圓＋＝1．考點(diǎn)二 極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化例2 (1)將直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程互化①y2＝4x；②x2＋y2－2x－1＝0；③ρ2cos 2θ＝4；④ρ＝．(2)(2018課標(biāo)卷Ⅰ)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的方程為y＝k|x|＋2．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程ρ2＋2ρcos θ－3＝0．①求C2的直角坐標(biāo)方程；②若C1與C2有且僅有三個(gè)公共點(diǎn)，求C1的方程．[解析] (1)①將x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入y2＝4x得ρ2sin2 θ＝4ρcos θ，即ρsin2θ－4cos θ＝0．②將x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入x2＋y2－2x－1＝0得ρ2－2ρcos θ－1＝0．③由ρ2cos 2θ＝4得ρ2cos2θ－ρ2sin2θ＝4，將ρcos θ＝x，ρsin θ＝y(tǒng)代入得x2－y2＝4．④由ρ＝得2ρ－ρcos θ＝1，∴4ρ2＝(ρcos θ)2＋2ρcos θ＋1，將ρ2＝x2＋y2，ρcos θ＝x代入得3x2＋4y2－2x－1＝0．(2)①由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ得C2的直角坐標(biāo)方程為(x＋1)2＋y2＝4．②由①知C2是圓心為A(－1,0)，半徑為2的圓．由題設(shè)知，C1是過(guò)點(diǎn)B(0,2)且關(guān)于y軸對(duì)稱的兩條射線．記y軸右邊的射線為l1，y軸左邊的射線為l2．由于B在圓C2的外面，故C1與C2有且僅有三個(gè)公共點(diǎn)等價(jià)于l1與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)且l2與C2有兩個(gè)公共點(diǎn)，或l2與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)且l1與C2有兩個(gè)公共點(diǎn)．當(dāng)l1與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，A到l1所在直線的距離為2，所以＝2，故k＝－或k＝0，經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)k＝0時(shí)，l1與C2沒(méi)有公共點(diǎn)；當(dāng)k＝－時(shí)，l1與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)，l2與C2有兩個(gè)公共點(diǎn)．當(dāng)l2與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，A到l2所在直線的距離為2，所以＝2，故k＝0或k＝．經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)k＝0時(shí)，l1與C2沒(méi)有公共點(diǎn)；當(dāng)k＝時(shí)，l1與C2沒(méi)有公共點(diǎn)．綜上，所求C1的方程為y＝－|x|＋2．名師點(diǎn)撥(1)直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程時(shí)，將x＝ρcos θ及y＝ρsin θ直接代入并化簡(jiǎn)即可．(2)極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程時(shí)常先通過(guò)變形，構(gòu)造形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，再進(jìn)行整體代換．其中方程的兩邊同乘(或同除以)ρ及方程兩邊同時(shí)平方是常用的變形方法．但對(duì)方程進(jìn)行變形時(shí)，方程必須同解，因此應(yīng)注意對(duì)變形過(guò)程的檢驗(yàn)．〔變式訓(xùn)練2〕(2021河北唐山模擬)在直角坐標(biāo)系xOy中，圓C1：(x－1)2＋y2＝1，圓C2：(x＋2)2＋y2＝4．以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．(1)求圓C1，C2的極坐標(biāo)方程；(2)設(shè)A，B分別為C1，C2上的點(diǎn)，若△OAB為等邊三角形，求|AB|．[解析] (1)依題意可得，圓C1：(x－1)2＋y2＝1；圓C2：(x＋2)2＋y2＝4，所以C1：x2＋y2＝2x，C2：x2＋y2＝－4x，因?yàn)閤2＋y2＝ρ2，x＝ρcos
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