20xx高考數(shù)學(xué)文人教a版一輪復(fù)習(xí)學(xué)案：82-空間幾何體的表面積與體積-【含解析】(編輯修改稿)
2025-04-03 00:57 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 例1】如圖所示,某幾何體由底面半徑和高均為5的圓柱與半徑為5的半球面對接而成,該封閉幾何體內(nèi)部放入一個小圓柱體,且圓柱體的上下底面均與外層圓柱的底面平行,則小圓柱體積的最大值為( ) 答案B解析如圖,設(shè)小圓柱體底面半徑為5cosθ,所以高為5+5sinθ,θ∈0,π2,小圓柱體積V=π(5cosθ)2(5+5sinθ),設(shè)sinθ=t,t∈(0,1),則V=125π(t3t2+t+1),V39。=125π(3t+1)(t+1),易知當(dāng)t∈0,13時,函數(shù)V=125π(t3t2+t+1)單調(diào)遞增,當(dāng)t∈13,1時,函數(shù)V=125π(t3t2+t+1)單調(diào)遞減,所以當(dāng)t=13時,Vmax=4000π27.【例2】在四面體ABCD中,若AD=DB=AC=CB=1,則四面體ABCD體積的最大值是( ) 答案A解析如圖,取AB中點E,連接CE,DE,設(shè)AB=2x(0x1),則CE=DE=1x2,當(dāng)平面ABC⊥平面ABD時,四面體體積最大,四面體的體積V=13122x1x21x2=13x13x3,V39。=13x2,當(dāng)x∈0,33時,函數(shù)V=13x13x3單調(diào)遞增,當(dāng)x∈33,1時,函數(shù)V=13x13x3單調(diào)遞減,則當(dāng)x=33時,函數(shù)V=13x13x3有最大值Vmax=133313333=.【例3】如圖,圓形紙片的圓心為O,半徑為5 cm,E,F為圓O上的點,△DBC,△ECA,△FAB分別是以BC,CA,AB為底邊的等腰三角形,沿虛線剪開后,分別以BC,CA,AB為折痕折起△DBC,△ECA,△FAB,使得D,E,F重合,△ABC的邊長變化時,所得三棱錐體積(單位:cm3)的最大值為 .答案415 cm3解析如圖所示,連接OD,⊥BC,OG=36BC.設(shè)OG=x,則BC=23x,DG=5x,三棱錐的高h(yuǎn)=DG2OG2=2510x+x2x2=2510x,x∈0,△ABC=1223x3x=33x2,所以三棱錐的體積V=13S△ABCh=3x22510x=325x410x5,x∈0,52.令f(x)=25x410x5,x∈0,52,則f39。(x)=39。(x)=0,可得x=2,則f(x)在(0,2)內(nèi)單調(diào)遞增,在2,52內(nèi)單調(diào)遞減,所以f(x)max=f(2)=≤380=415,所以三棱錐體積的最大值為415.點評求幾何體體積最大值的基本思路是根據(jù)題意設(shè)出一個幾何量,用該量表示出幾何體的體積,然后根據(jù)體積表達(dá)式求其最大值,若表達(dá)式是一個三次以上的函數(shù),一般通過求導(dǎo)的方法求最大值. 空間幾何體的表面積與體積必備知識預(yù)案自診知識梳理 πrl π(r1+r2)l 13S底h 4πR2 43πR3考點自診1.(1) (2) (3)√ (4) (5)√ 由題意可得,三棱柱的上下底面為邊長為2的等邊三角形,側(cè)面是三個邊長為2的正方形,則其表面積為S=3(22)+21222sin60176。=12+.3.C 由三視圖可知,該幾何體為三棱錐,是棱長為2的正方體一角,其表面積為31222+122222sin60176。=6+23.4.C 如圖,設(shè)正四棱錐的高為h,底面邊長為a,側(cè)面三角形底邊上的高為h39。,則有h2=12ah39。,h2=h39。2a22,因此有h39。2a22=12ah39。,化簡得4h39。a22h39。a1=0,解得h39。a=5+14.(負(fù)值舍去) ∵2R=(232)2+(23)2=6,∴球的表面積為4πR2=.關(guān)鍵能力學(xué)案突破例1(1)A (2)1 (1)由題意知☉O1的半徑r==2r,∴OO1=AB=2rsin60176。=23,∴球O的半徑R=r2+|OO1|2=4.∴球O的表面積為4πR2=64π.(2)設(shè)圓錐的底面半徑為r,母線長為l,由題意可知πrl=12πl(wèi)2=2π,解得r=1,l=2.對點訓(xùn)練1(1)D (2)C (1)由幾何體的三視圖可知該幾何體是如圖所示的三棱錐ABCD,∵△BCD是等腰直角三角形且CB=CD=4,∴S△BCD=8,∵△ABC是直角三角形,AB=22,∴S△ABC=42。∵△ACD是等腰三角形,
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