第九講空間幾何體的表面積和體積(編輯修改稿)
2025-07-27 23:35 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 、OD，則VA－BEFD＝VO－ABD＋VO－ABE＋VO－BEFDVA－EFC＝VO－ADC＋VO－AEC＋VO－EFC又VA－BEFD＝VA－EFC，而每個三棱錐的高都是原四面體的內(nèi)切球的半徑，故SABD＋SABE＋SBEFD＝SADC＋SAEC＋SEFC又面AEF公共，故選C點(diǎn)評：該題通過復(fù)合平面圖形的分割過程，增加了題目處理的難度，求解棱錐的體積、表面積首先要轉(zhuǎn)化好平面圖形與空間幾何體之間元素間的對應(yīng)關(guān)系。題型5：棱臺的體積、面積及其綜合問題例9．（2002北京理，18）如圖9—24，在多面體ABCD—A1B1C1D1中，上、下底面平行且均為矩形，相對的側(cè)面與同一底面所成的二面角大小相等，側(cè)棱延長后相交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，上、下底面矩形的長、寬分別為c，d與a，b，且a＞c，b＞d，兩底面間的距離為h。（Ⅰ）求側(cè)面ABB1A1與底面ABCD所成二面角的大??；（Ⅱ）證明：EF∥面ABCD；（Ⅲ）在估測該多面體的體積時，經(jīng)常運(yùn)用近似公式V估=S中截面=（S上底面+4S中截面+S下底面），試判斷V估與V的大小關(guān)系，并加以證明。（注：與兩個底面平行，且到兩個底面距離相等的截面稱為該多面體的中截面）圖（Ⅰ）解：過B1C1作底面ABCD的垂直平面，交底面于PQ，過B1作B1G⊥PQ，垂足為G。如圖所示：∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1，∠A1B1C1=90176。，∴AB⊥PQ，AB⊥B1P.∴∠⊥PQ，故四邊形B1PQC1為等腰梯形?！郟G=（b－d），又B1G=h，∴tanB1PG=（b＞d），∴∠B1PG=arctan，即所求二面角的大小為arctan.（Ⅱ）證明：∵AB，CD是矩形ABCD的一組對邊，有AB∥CD，又CD是面ABCD與面CDEF的交線，∴AB∥面CDEF。∵EF是面ABFE與面CDEF的交線，∴AB∥EF?！逜B是平面ABCD內(nèi)的一條直線，EF在平面ABCD外，∴EF∥面ABCD。（Ⅲ）V估＜V。證明：∵a＞c，b＞d，∴V－V估==［2cd+2ab+2（a+c）（b+d）－3（a+c）（b+d）］=（a－c）（b－d）＞0?！郪估＜V。點(diǎn)評：該題背景較新穎，把求二面角的大小與證明線、面平行這一常規(guī)運(yùn)算置于非規(guī)則幾何體（擬柱體）中，能考查考生的應(yīng)變能力和適應(yīng)能力，而第三步研究擬柱體的近似計算公式與可精確計算體積的辛普生公式之間計算誤差的問題，是極具實(shí)際意義的問題?？疾榱丝忌^續(xù)學(xué)習(xí)的潛能。例10．（1）（1998全國，9）如果棱臺的兩底面積分別是S、S′，中截面的面積是S0，那么（ ）A． B． C．2S0＝S＋S′ D．S02＝2S′S（2）（1994全國，7）已知正六棱臺的上、下底面邊長分別為2和4，高為2，則其體積為（ ）A．32 B．28 C．24 D．20解析：（1）解析：設(shè)該棱臺為正棱臺來解即可，答案為A；（2）正六棱臺上下底面面積分別為：S上＝622＝6，S下＝642＝24，V臺＝，答案B。點(diǎn)評：本題考查棱臺的中截面問題。根據(jù)選擇題的特點(diǎn)本題選用“特例法”來解，此種解法在解選擇題時很普遍，如選用特殊值、特殊點(diǎn)、特殊曲線、特殊圖形等等。題型6：圓柱的體積、表面積及其綜合問題例11．（2000全國理，9）一個圓柱的側(cè)面積展開圖是一個正方形，這個圓柱的全面積與側(cè)面積的比是（ ）A． B． C． D．解析：設(shè)圓柱的底面半徑為r，高為h，則由題設(shè)知h=2πr.∴S全=2πr2+（2πr）2=2πr2（1+2π）.S側(cè)=h2=4π2r2，∴。答案為A。點(diǎn)評：本題考查圓柱的側(cè)面展開圖、側(cè)面積和全面積等知識。例12．（2003京春理13
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