第九講空間幾何體的表面積和體積-文庫(kù)吧
2025-06-15 23:35 本頁(yè)面
【正文】 c＝，則對(duì)角線l的長(zhǎng)為l=；答案D。點(diǎn)評(píng)：解題思路是將三個(gè)面的面積轉(zhuǎn)化為解棱柱面積、體積的幾何要素—棱長(zhǎng)。例4．如圖，三棱柱ABC—A1B1C1中，若E、F分別為AB、AC 的中點(diǎn)，平面EB1C1將三棱柱分成體積為VV2的兩部分，那么V1∶V2= ____ _。解：設(shè)三棱柱的高為h，上下底的面積為S，體積為V，則V=V1+V2＝Sh?！逧、F分別為AB、AC的中點(diǎn)，∴S△AEF=S,V1=h(S+S+)=ShV2=ShV1=Sh，∴V1∶V2=7∶5。點(diǎn)評(píng)：解題的關(guān)鍵是棱柱、棱臺(tái)間的轉(zhuǎn)化關(guān)系，建立起求解體積的幾何元素之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。最后用統(tǒng)一的量建立比值得到結(jié)論即可。題型3：錐體的體積和表面積PABCDOE例5．（2006上海，19）在四棱錐P－ABCD中，底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，∠DAB＝60，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，PO⊥平面ABCD，PB與平面ABCD所成的角為60，求四棱錐P－ABCD的體積？解：（1）在四棱錐PABCD中，由PO⊥平面ABCD,得∠PBO是PB與平面ABCD所成的角，∠PBO=60176。在Rt△AOB中BO=ABsin30176。=1, 由PO⊥BO，于是PO=BOtan60176。=，而底面菱形的面積為2?！嗨睦忮FP－ABCD的體積V=2=2。點(diǎn)評(píng)：本小題重點(diǎn)考查線面垂直、面面垂直、二面角及其平面角、棱錐的體積。在能力方面主要考查空間想象能力。圖例6．（2002京皖春文，19）在三棱錐S—ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90176。，且AC=BC=5，SB=5。（如圖所示）（Ⅰ）證明：SC⊥BC；（Ⅱ）求側(cè)面SBC與底面ABC所成二面角的大小；（Ⅲ）求三棱錐的體積VS－ABC。解析：（Ⅰ）證明：∵∠SAB=∠SAC=90176。，∴SA⊥AB，SA⊥AC。又AB∩AC=A，∴SA⊥平面ABC。由于∠ACB=90176。，即BC⊥AC，由三垂線定理，得SC⊥BC。（Ⅱ）解：∵BC⊥AC，SC⊥BC。∴∠SCA是側(cè)面SCB與底面ABC所成二面角的平面角。在Rt△SCB中，BC=5，SB=5，得SC==10。在Rt△SAC中AC=5，SC=10，cosSCA=，∴∠SCA=60176。，即側(cè)面SBC與底面ABC所成的二面角的大小為60176。（Ⅲ）解：在Rt△SAC中，∵SA=，S△ABC=ACBC=55=，∴VS－ABC=S△ACBSA=。點(diǎn)評(píng)：本題比較全面地考查了空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系。要求對(duì)圖形必須具備一定的洞察力，并進(jìn)行一定的邏輯推理。題型4：錐體體積、表面積綜合問(wèn)題例7．ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，E、F分別是AB、AD的中點(diǎn)，GB垂直于正方形ABCD所在的平面，且GC＝2，求點(diǎn)B到平面EFC的距離？解：如圖，取EF的中點(diǎn)O，連接GB、GO、CD、FB構(gòu)造三棱錐B－EFG。設(shè)點(diǎn)B到平面EFG的距離為h，BD＝，EF，CO＝。 。而GC⊥平面ABCD，且GC＝2。由，得點(diǎn)評(píng)：該問(wèn)題主要的求解思路是將點(diǎn)面的距離問(wèn)題轉(zhuǎn)化為體積問(wèn)題來(lái)求解。構(gòu)造以點(diǎn)B為頂點(diǎn)，△EFG為底面的三棱錐是解此題的關(guān)鍵，利用同一個(gè)三棱錐的體積的唯一性列方程是解這類(lèi)題的方法，從而簡(jiǎn)化了運(yùn)算。例8．（2006江西理，12）如圖，在四面體ABCD中，截面AEF經(jīng)過(guò)四面體的內(nèi)切球（與四個(gè)面都相切的球）球心O，且與BC，DC分別截于E、F，如果截面將四面體分成體積相等的兩部分，設(shè)四棱錐A－BEFD與三棱錐A－EFC的表面積分別是S1，S2，則必有（ ）A．S1S2 B．S1S2C．S1=S2 D．S1，S2的大小關(guān)系不能確定解：連OA、OB、OC
環(huán)評(píng)公示相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號(hào)-1