幾何體與球的體積表面積(含答案)-文庫吧
2025-06-09 15:20 本頁面
【正文】 新課標）平面α截球O的球面所得圓的半徑為1，球心O到平面α的距離為，則此球的體積為（ ?。〢．π B．4π C．4π D．6π【分析】利用平面α截球O的球面所得圓的半徑為1，球心O到平面α的距離為，求出球的半徑，然后求解球的體積．【解答】解：因為平面α截球O的球面所得圓的半徑為1，球心O到平面α的距離為，所以球的半徑為：=．所以球的體積為：=4π．故選B．【點評】本題考查球的體積的求法，考查空間想象能力、計算能力． 2．（2010?廣東模擬）已知過球面上A、B、C三點的截面和球心的距離等于球半徑的一半，且AB=BC=CA=2，則球面面積是（ ?。〢． B． C．4π D．【分析】由AB=BC=CA=2，求得△ABC的外接圓半徑為r，再由R2﹣（R）2=，求得球的半徑，再用面積求解．【解答】解：因為AB=BC=CA=2，所以△ABC的外接圓半徑為r=．設(shè)球半徑為R，則R2﹣（R）2=，所以R2=S=4πR2=．故選D【點評】本題主要考查球的球面面積，涉及到截面圓圓心與球心的連線垂直于截面，這是求得相關(guān)量的關(guān)鍵． 3．（2016?河南模擬）已知三棱錐O﹣ABC，A，B，C三點均在球心為O的球表面上，AB=BC=1，∠ABC=120176。，三棱錐O﹣ABC的體積為，則球O的表面積是（ ?。〢．544π B．16π C．π D．64π【分析】求出底面三角形的面積，利用三棱錐的體積求出O到底面的距離，求出底面三角形的所在平面圓的半徑，通過勾股定理求出球的半徑，即可求解球的體積．【解答】解：三棱錐O﹣ABC，A、B、C三點均在球心O的表面上，且AB=BC=1，∠ABC=120176。，AC=，∴S△ABC=11sin120176。=，∵三棱錐O﹣ABC的體積為，△ABC的外接圓的圓心為G，∴OG⊥⊙G，外接圓的半徑為：GA==1，∴S△ABC?OG=，即OG=，OG=，球的半徑為：=4．球的表面積：4π42=64π．故選：D【點評】本題考查球的表面積的求法，球的內(nèi)含體與三棱錐的關(guān)系，考查空間想象能力以及計算能力． 4．（2016?衡水模擬）四面體ABCD的四個頂點都在球O的表面上，AB⊥平面BCD，△BCD是邊長為3的等邊三角形．若AB=2，則球O的表面積為（ ）A．8π B．12π C．16π D．32π【分析】取CD的中點E，連結(jié)AE，BE，作出外接球的球心，求出半徑，即可求出表面積．【解答】解：取CD的中點E，連結(jié)AE，BE，∵在四面體ABCD中，AB⊥平面BCD，△BCD是邊長為3的等邊三角形．∴Rt△ABC≌Rt△ABD，△ACD是等腰三角形，△BCD的中心為G，作OG∥AB交AB的中垂線HO于O，O為外接球的中心，BE=，BG=，R===2．四面體ABCD外接球的表面積為：4πR2=16π．故選：C．【點評】本題考查球的內(nèi)接體知識，考查空間想象能力，確定球的切線與半徑是解題的關(guān)鍵． 5．（2016?河南模擬）已知在三棱錐P﹣ABC中，VP﹣ABC=，∠APC=，∠BPC=，PA⊥AC，PB⊥BC，且平面PAC⊥平面PBC，那么三棱錐P﹣ABC外接球的體積為（ ?。〢． B． C． D．【分析】利用等體積轉(zhuǎn)換，求出PC，PA⊥AC，PB⊥BC，可得PC的中點為球心，球的半徑，即可求出三棱錐P﹣ABC外接球的體積．【解答】解：由題意，設(shè)PC=2x，則∵PA⊥AC，∠APC=，∴△APC為等腰直角三角形，∴PC邊上的高為x，∵平面PAC⊥平面PBC，∴A到平面PBC的距離為x，∵∠BPC=，PA⊥AC，PB⊥BC，∴PB=x，BC=x，∴S△PBC==，∴VP﹣ABC=VA﹣PBC==，∴x=2，∵PA⊥AC，PB⊥BC，∴PC的中點為球心，球的半徑為2，∴三棱錐P﹣ABC外接球的體積為=．故選：D．【點評】本題考查三棱錐P﹣ABC外接球的體積，考查學(xué)生的計算能力，正確確定球心與球的半徑是關(guān)鍵． 6．（2016?南昌三模）已知正△ABC三個頂點都在半徑為2的球面上，球心O到平面ABC的距離為1，點E是線段AB的中點，過點E作球O的截面，則截面面積的最小值是（ ?。〢．π B．2π C．π D．3π【分析】設(shè)正△ABC的中心為O1，連結(jié)O1A．根據(jù)球的截面圓性質(zhì)、正三角形的性質(zhì)與勾股定理，而經(jīng)過點E的球O的截面，當截面與OE垂直時截面圓的半徑最小，相應(yīng)地截面圓的面積有最小值，由此算出截面圓半徑的最小值，從而可得截面面積的最小值．【解答】解：設(shè)正△ABC的中心為O1，連結(jié)O1A∵O1是正△ABC的中心，A、B、C三點都在球面上，∴O1O⊥平面ABC，∵球的半徑R=2，球心O到平面ABC的距離為1，得O1O=1，∴Rt△O1OA中，O1A=．又∵E為AB的中點，△ABC是等邊三角形，∴AE=AO1cos30176。=．∵過E作球O的截面，當截面與OE垂直時，截面圓的半徑最小，∴當截面與OE垂直時，截面圓的面積有最小值．此時截面圓的半徑r=，可得截面面積為S=πr2=．故選C．【點評】本題已知球的內(nèi)接正三角形與球心的距離，求經(jīng)過
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