幾何體與球的體積表面積(含答案)-閱讀頁(yè)
2025-07-09 15:20本頁(yè)面
【正文】 圓的面積有最小值，由此算出截面圓半徑的最小值，從而可得截面面積的最小值．【解答】解：設(shè)正△ABC的中心為O1，連結(jié)O1A∵O1是正△ABC的中心，A、B、C三點(diǎn)都在球面上，∴O1O⊥平面ABC，∵球的半徑R=2，球心O到平面ABC的距離為1，得O1O=1，∴Rt△O1OA中，O1A=．又∵E為AB的中點(diǎn)，△ABC是等邊三角形，∴AE=AO1cos30176。AB=AC=2．球心O到平面ABC的距離為1，則球O的表面積為（ ?。〢．12π B．16π C．36π D．20π【分析】由∠BAC=90176。C為該球面上的動(dòng)點(diǎn)，若三棱錐O﹣ABC體積的最大值為36，則球O的表面積為（ ?。〢．36π B．64π C．144π D．256π【分析】當(dāng)點(diǎn)C位于垂直于面AOB的直徑端點(diǎn)時(shí)，三棱錐O﹣ABC的體積最大，利用三棱錐O﹣ABC體積的最大值為36，求出半徑，即可求出球O的表面積．【解答】解：如圖所示，當(dāng)點(diǎn)C位于垂直于面AOB的直徑端點(diǎn)時(shí)，三棱錐O﹣ABC的體積最大，設(shè)球O的半徑為R，此時(shí)VO﹣ABC=VC﹣AOB===36，故R=6，則球O的表面積為4πR2=144π，故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查球的半徑與表面積，考查體積的計(jì)算，確定點(diǎn)C位于垂直于面AOB的直徑端點(diǎn)時(shí)，三棱錐O﹣ABC的體積最大是關(guān)鍵． 15．（2015?大慶三模）設(shè)三棱柱ABC﹣A1B1C1的側(cè)棱垂直于底面，AB=AC=2，∠BAC=90176。AA1=2，∴可將棱柱ABC﹣AA1B1C1補(bǔ)成長(zhǎng)方體，長(zhǎng)方體的對(duì)角線=4，即為球的直徑，∴球的直徑為4，∴球的表面積為4π22=16π，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查球的表面積，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題． 16．（2015?莆田校級(jí)模擬）一個(gè)三棱錐的三視圖如圖所示，其中正視圖和側(cè)視圖是全等的等腰三角形，則此三棱錐外接球的表面積為（ ?。〢． B．9π C．4π D．π【分析】由題意，確定三棱錐的形狀，設(shè)三棱錐外接球的半徑為r，則r2=（1﹣r）2+（）2，求出r，即可求出三棱錐外接球的表面積．【解答】解：由題意，三棱錐的一個(gè)側(cè)面垂直于底面，底面是等腰直角三角形，頂點(diǎn)在底面中的射影是底面斜邊的中點(diǎn)，設(shè)三棱錐外接球的半徑為r，則r2=（1﹣r）2+（）2，∴r=，∴三棱錐外接球的表面積為4=，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查球和幾何體之間的關(guān)系，本題解題的關(guān)鍵是確定三棱錐外接球的半徑，從而得到外接球的表面積． 17．（2015秋?合肥校級(jí)期末）已知如圖所示的三棱錐D﹣ABC的四個(gè)頂點(diǎn)均在球O的球面上，△ABC和△DBC所在平面相互垂直，AB=3，AC=，BC=CD=BD=2，則球O的表面積為（ ）A．4π B．12π C．16π D．36π【分析】證明AC⊥AB，可得△ABC的外接圓的半徑為，利用△ABC和△DBC所在平面相互垂直，球心在BC邊的高上，設(shè)球心到平面ABC的距離為h，則h2+3=R2=（﹣h）2，求出球的半徑，即可求出球O的表面積．【解答】解：∵AB=3，AC=，BC=2，∴AB2+AC2=BC2，∴AC⊥AB，∴△ABC的外接圓的半徑為，∵△ABC和△DBC所在平面相互垂直，∴球心在BC邊的高上，設(shè)球心到平面ABC的距離為h，則h2+3=R2=（﹣h）2，∴h=1，R=2，∴球O的表面積為4πR2=16π．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查球O的表面積，考查學(xué)生的計(jì)算能力，確定球的半徑是關(guān)鍵． 18．（2014?吉林二模）一個(gè)空間四邊形ABCD的四條邊及對(duì)角線AC的長(zhǎng)均為，二面角D﹣AC﹣B的余弦值為，則下列論斷正確的是（ ?。〢．空間四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)在同一球面上且此球的表面積為3πB．空間四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)在同一球面上且此球的表面積為4πC．空間四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)在同一球上且此球的表面積為D．不存在這樣的球使得空間四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)在此球面上【分析】由題意，求出BD的長(zhǎng)，然后判斷空間四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)是否在同一球面上，求出球的表面積即可．【解答】解：如圖AC=AB=AD=BC=CD=，cos∠DEB=，E為AC的中點(diǎn)，EB=ED=，所以BD2=2BE2﹣2BE2BD=ABCD的幾何體為正四面體，有外接球，球的半徑為：球的表面積為：3π故選A【點(diǎn)評(píng)】本題是基礎(chǔ)題，考查二面角的求法，幾何體的外接球的判斷，以及外接球的表面積的求法，考查邏輯推理能力，計(jì)算能力，是好題． 19．（2012?洛陽(yáng)模擬）已知三棱錐S﹣ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，SA=2，AB=1，AC=2，∠BAC=60176。知BC=，∠ABC=90176?！郆C==，∴∠ABC=90176。角的平面截球O的表面得到圓C．若圓C的面積等于，則球O的表面積等于 8π?。痉治觥勘绢}可以設(shè)出球和圓的半徑，利用題目的關(guān)系，求解出具體的值，即可得到答案．【解答】解：設(shè)球半徑為R，圓C的半徑為r，．因?yàn)椋傻肦2=2故球O的表面積等于8π故答案為：8π，【點(diǎn)評(píng)】本題考查學(xué)生對(duì)空間想象能力，以及球的面積體積公式的利用，是基礎(chǔ)題． 第19頁(yè)（共19頁(yè)）
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