空間幾何體表面積與體積公式大全-文庫(kù)吧
2025-06-16 00:50 本頁(yè)面
【正文】 ∴球體積為： 球體表面積公式推導(dǎo)分析：球體可以切割成若干（）近似棱錐，當(dāng)時(shí)，這些棱錐的高為球體半徑，底面積為球面面積的，則每一個(gè)棱錐的體積，則所有的小棱錐體積之和為球體體積。即有：∴ 正六面體（正方體）與正四面體（1） 體積關(guān)系如圖：正方體切下四個(gè)三棱錐后，剩下的部分為正四面體設(shè)正方體棱長(zhǎng)為，則其體積為：四個(gè)角上切下的每一個(gè)三棱錐體積為： 中間剩下的正四面體的體積為：這樣一個(gè)正方體可以分成四個(gè)三棱錐與中間一個(gè)正四面體即：（2） 外接球正方體與其體內(nèi)最大的正四面體有相同的外接球。（理由：過(guò)不共面的四點(diǎn)確定一個(gè)球。）正方體與其體內(nèi)最大的正面體有四個(gè)公共頂點(diǎn)。所以它們共球?；仡櫍孩?兩點(diǎn)定線 ② 三點(diǎn)定面 ③ 三點(diǎn)定圓 ④ 四點(diǎn)定球如圖： (a)正方體的體對(duì)角線=球直徑(b)正四面體的外接球半徑=高(c)正四面體的棱長(zhǎng)=正方體棱長(zhǎng)(d)正方體體積：正四面體體積=3：1(e)正方體外接球半徑與正四面體外接球半徑相等（3） 正方體的內(nèi)切球與正四面體的關(guān)系 （a） 正方體內(nèi)切球直徑=正方體棱長(zhǎng)（b） 正方體內(nèi)切球與正四面體的四條棱相切。（c） 與正四面體四條棱相切的球半徑=正方體棱長(zhǎng)的一半（d） 設(shè)正四面體棱長(zhǎng)為，則與其棱都相切的球半徑為有： 利用祖暅原理推導(dǎo)球體體積。構(gòu)造一個(gè)幾何體，使其截面與半球截面處處相等，根據(jù)祖暅原理可得兩物體體積相等。證明：作如下構(gòu)造：在底面半徑和高都是的圓柱內(nèi)挖去一個(gè)與圓柱等底等高的圓錐。如圖：在半球和挖去圓錐后的組合體的相同截面上作研究，設(shè)圓柱和半球底面半徑均為，截面高度均為，倒圓錐的截面半徑為，半球截面半徑為，則：挖去圓錐后的組合體的截面為：半球截面面積為：∵倒圓錐的底面半徑與高相等，由相似三角形易得：在半球內(nèi)，由勾股定理易得：∴ 即：，也就是說(shuō)：半球與挖去倒圓錐后有圓柱在相同的高度上有相同的截面。由祖暅原理可得：所以半球體積：即，球體體積： 正方體與球（1） 正方體的內(nèi)切球 正方體的棱長(zhǎng)球體的直徑
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