20xx-20xx中考數(shù)學(xué)二次函數(shù)(大題培優(yōu))及答案(編輯修改稿)
2025-03-30 22:20 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 .7．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝x2﹣2x+a﹣3，當(dāng)a＝0時，拋物線與y軸交于點A，將點A向右平移4個單位長度，得到點B．（1）求點B的坐標(biāo)；（2）將拋物線在直線y＝a上方的部分沿直線y＝a翻折，圖象的其他部分保持不變，得到一個新的圖象，記為圖形M，若圖形M與線段AB恰有兩個公共點，結(jié)合函數(shù)的圖象，求a的取值范圍．【答案】（1）A（0，﹣3），B（4，﹣3）；（2）﹣3＜a≤0；【解析】【分析】（1）由題意直接可求A，根據(jù)平移點的特點求B；（2）圖形M與線段AB恰有兩個公共點，y＝a要在AB線段的上方，當(dāng)函數(shù)經(jīng)過點A時，AB與函數(shù)兩個交點的臨界點；【詳解】解：（1）A（0，﹣3），B（4，﹣3）；（2）當(dāng)函數(shù)經(jīng)過點A時，a＝0，∵圖形M與線段AB恰有兩個公共點，∴y＝a要在AB線段的上方，∴a＞﹣3∴﹣3＜a≤0；【點睛】本題二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)；熟練掌握二次函數(shù)圖象的特點，函數(shù)與線段相交的交點情況是解題的關(guān)鍵．8．如圖：在平面直角坐標(biāo)系中，直線l：y=x﹣與x軸交于點A，經(jīng)過點A的拋物線y=ax2﹣3x+c的對稱軸是x=．（1）求拋物線的解析式；（2）平移直線l經(jīng)過原點O，得到直線m，點P是直線m上任意一點，PB⊥x軸于點B，PC⊥y軸于點C，若點E在線段OB上，點F在線段OC的延長線上，連接PE，PF，且PE=3PF．求證：PE⊥PF；（3）若（2）中的點P坐標(biāo)為（6，2），點E是x軸上的點，點F是y軸上的點，當(dāng)PE⊥PF時，拋物線上是否存在點Q，使四邊形PEQF是矩形？如果存在，請求出點Q的坐標(biāo)，如果不存在，請說明理由．【答案】（1）拋物線的解析式為y=x2﹣3x﹣4；（2）證明見解析；（3）點Q的坐標(biāo)為（﹣2，6）或（2，﹣6）．【解析】【分析】（1）先求得點A的坐標(biāo)，然后依據(jù)拋物線過點A，對稱軸是x=列出關(guān)于a、c的方程組求解即可；（2）設(shè)P（3a，a），則PC=3a，PB=a，然后再證明∠FPC=∠EPB，最后通過等量代換進行證明即可；（3）設(shè)E（a，0），然后用含a的式子表示BE的長，從而可得到CF的長，于是可得到點F的坐標(biāo)，然后依據(jù)中點坐標(biāo)公式可得到，從而可求得點Q的坐標(biāo)（用含a的式子表示），最后，將點Q的坐標(biāo)代入拋物線的解析式求得a的值即可．【詳解】（1）當(dāng)y=0時，解得x=4，即A（4，0），拋物線過點A，對稱軸是x=，得，解得，拋物線的解析式為y=x2﹣3x﹣4；（2）∵平移直線l經(jīng)過原點O，得到直線m，∴直線m的解析式為y=x．∵點P是直線1上任意一點，∴設(shè)P（3a，a），則PC=3a，PB=a．又∵PE=3PF，∴．∴∠FPC=∠EPB．∵∠CPE+∠EPB=90176。，∴∠FPC+∠CPE=90176。，∴FP⊥PE．（3）如圖所示，點E在點B的左側(cè)時，設(shè)E（a，0），則BE=6﹣a．∵CF=3BE=18﹣3a，∴OF=20﹣3a．∴F（0，20﹣3a）．∵PEQF為矩形，∴，∴Qx+6=0+a，Qy+2=20﹣3a+0，∴Qx=a﹣6，Qy=18﹣3a．將點Q的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得：18﹣3a=（a﹣6）2﹣3（a﹣6）﹣4，解得：a=4或a=8（舍去）．∴Q（﹣2，6）．如下圖所示：當(dāng)點E在點B的右側(cè)時，設(shè)E（a，0），則BE=a﹣6．∵CF=3BE=3a﹣18，∴OF=3a﹣20．∴F（0，20﹣3a）．∵PEQF為矩形，∴，∴Qx+6=0+a，Qy+2=20﹣3a+0，∴Qx=a﹣6，Qy=18﹣3a．將點Q的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得：18﹣3a=（a﹣6）2﹣3（a﹣6）﹣4，解得：a=8或a=4（舍去）．∴Q（2，﹣6）．綜上所述，點Q的坐標(biāo)為（﹣2，6）或（2，﹣6）．【點睛】本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了矩形的性質(zhì)、待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、中點坐標(biāo)公式，用含a的式子表示點Q的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．9．在平面直角坐標(biāo)系xOy中（如圖）．已知拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過點A（﹣1，0）和點B（0，），頂點為C，點D在其對稱軸上且位于點C下方，將線段DC繞點D按順時針方向旋轉(zhuǎn)90176。，點C落在拋物線上的點P處．（1）求這條拋物線的表達(dá)式；（2）求線段CD的長；（3）將拋物線平移，使其頂點C移到原點O的位置，這時點P落在點E的位置，如果點M在y軸上，且以O(shè)、D、E、M為頂點的四邊形面積為8，求點M的坐標(biāo)．【答案】（1）拋物線解析式為y=﹣x2+2x+；（2）線段CD的長為2；（3）M點的坐標(biāo)為（0，）或（0，﹣）．【解析】【分析】（1）利用待定系數(shù)法求拋物線解析式；（2）利用配方法得到y(tǒng)=﹣（x﹣2）2+，則根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到C點坐標(biāo)和拋物線的對稱軸為直線x=2，如圖，設(shè)CD=t，則D（2，﹣t），根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得∠PDC=90176。，DP=DC=t，則P（2+t，﹣t），然后把P（2+t，﹣t）代入y=﹣x2+2x+得到關(guān)于t的方程，從而解方程可得到CD的長；（3）P點坐標(biāo)為（4，），D點坐標(biāo)為（2，），利用拋物線的平移規(guī)律確定E點坐標(biāo)為（2，﹣2），設(shè)M（0，m），當(dāng)m＞0時，利用梯形面積公式得到?（m++2）?2=8當(dāng)m＜0時，利用梯形面積公式得到?（﹣m++2）?2=8，然后分別解方程求出m即可得到對應(yīng)的M點坐標(biāo)．【詳解】（1）把A（﹣1，0）和點B（0，）代入y=﹣x2+bx+c得，解得，∴拋物線解析式為y=﹣x2+2x+；（2）∵y=﹣（x﹣2）2+，∴C（2，），拋物線的對稱軸為直線x=2，如圖，設(shè)CD=t，則D（2，﹣t），∵線段DC繞點D按順時針方向旋轉(zhuǎn)90176。，點C落在拋物線上的點P處，∴∠PDC=90176。，DP=DC=t，∴P（2+t，﹣t），把P（2+t，﹣t）代入y=﹣x2+2x+得﹣（2+t）2+2（2+t）+=﹣t，整理得t2﹣2t=0，解得t1=0（舍去），t2=2，∴線段CD的長為2；（
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