經(jīng)濟數(shù)學(xué)微積分閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)-全文預(yù)覽
【正文】 1xyo 2?)(xfy ?二、零點定理與介值定理 定理 2 ( 零點定理 ) 設(shè)函數(shù) )( xf 在閉區(qū)間 ? ?ba , 上連續(xù)，且 )( af 與 )( bf 異號 ( 即 0)()( ?? bfaf ), 那末在開區(qū)間 ? ?ba , 內(nèi)至少有函數(shù) )( xf 的一個零點 , 即至少有一點 ? )( ba ??? ，使 0)( ??f . 定義 : . ) ( , 0 ) ( 0 0 0 的零點 稱為函數(shù) 則 使 如果 x f x x f x ? .),(0)( 內(nèi)至少存在一個實根在即方程 baxf ?a b3?2?1?幾何解釋 : .,)(軸至少有一個交點線弧與則曲軸的不同側(cè)端點位于的兩個連續(xù)曲線弧xxxfy ?定理 4( 介值定理 ) 設(shè)函數(shù) )( xf 在閉區(qū)間 ? ?ba , 上連續(xù)，且在這區(qū)間的端點取不同的函數(shù)值 Aaf ?)( 及 Bbf ?)( , 那末，對于 A 與 B 之間的任意一個數(shù) C ，在開區(qū)間? ?ba , 內(nèi)至少有一點 ? ，使得 Cf ?)( ? )( ba ??? . xyo)(xfy ?幾何解釋 : M B C A m a b 1? 2? 3? 2x1x xyo)( xfy ?證 ,)()( Cxfx ???設(shè),],[)( 上連續(xù)在則 bax?Cafa ?? )()(?且,CA ??Cbfb ?? )()(? ,CB ??,0)()( ??? ba ?? 由零點定理 , 使),( ba?? ?,0)( ??? ,0)()( ??? Cf ???即 .)( Cf ?? ?.)(至少有一個交點直線與水平連續(xù)曲線弧Cyxfy??推論 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值 與最小值 之間的任何值 . 例 1 .)1,0(014 23至少有一根內(nèi)在區(qū)間證明方程 ??? xx證 ,14)( 23 ??? xxxf令 ,]1,0[)( 上連續(xù)在則 xf,01)0( ??f又 ,02)( ???f 由零點定理 , 使),( ba?? ? ,0)( ??f ,014 23 ??? ??即.)1,0(
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