經(jīng)濟數(shù)學微積分泰勒taylor公式-全文預(yù)覽
【正文】 00?x , ? 在 0 與 x 之間 , 令 )10( ??? ??? x則余項 1)1()!1()((????nnnxnxfxR?)(!)0(!2)0()0()0()()(2nnnxoxnfxfxffxf????????? ?)10()!1()(!)0(!2)0()0()0()(1)1()(2???????????????? nnnnxnxfxnfxfxffxf ? 麥克勞林 ( Maclaurin )公式 四、簡單的應(yīng)用 例 1 求 xexf ?)( 的 n 階麥克勞林公式 . 解 ,)()()( )( xn exfxfxf ??????? ??1)0()0()0()0( )( ????????? nffff ?xn exf ?? ?? )()1(注意到 代入公式 ,得 ).10()!1(!!21 12????????? ? ??nxnx xnenxxxe ?由公式可知 !!212nxxxe nx ????? ?估計誤差 )0( ?x設(shè)!1!2111,1nex ?????? ?取.)!1( 3?? n其誤差 )!1(? n eR n).10()!1()!1()( 11 ?????? ?? ??nxnxn xnexnexR 常用函數(shù)的麥克勞林公式 )()!12()1(!5!3s i n221253??????????nnnxonxxxxx ?)()!2()1(!6!4!21cos22642nnnxonxxxxx ???????? ?)(1)1(32)1l n (1132???????????nnnxonxxxxx ?)(1112 nnxoxxxx????????)(!)1()1(!2)1(1)1(2nnmxoxnnmmmxmmmxx?????????????例 2 計算 403c os2l im2xxe xx???.解 )(!211 4422 xoxxe x ?????)(!4!21c o s 542xoxxx ????)()!412!21(3c o s2 442 xoxxe x ???????4440)(127limxxoxx???原式 .127?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? .22.,0,3212121xfxfxxfbaxxxfbaxf???????? ????證明：上任意兩點為，上二階可導，且在設(shè)函數(shù)例? ?? ? ? ? ? ?? ?? ?? ?之間與介于，點的一階泰勒展式為在，則設(shè)證明020000021022xxxxfxxxfxfxfxxfxxx????????????? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?之間與介于，得與代入特殊點011210100121012xxxxfxxxfxfxfxx??????????兩式相加得，? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?21221021 22 ?? ffxxxfxfxf ?????????? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?.222,02121021?????? ??????????xxfxfxfxfxfxfbaxxf即?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?之間與介于，0222202020 022xxxxfxxxfxfxf?? ????????? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? .00,4????????????? ffbaafcfafcfbacbfafbabaxf或，使得證明：必有，或，使得，若有導數(shù)，且內(nèi)有二階上連續(xù)，在在設(shè)函數(shù)例? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ?? ?? ? ? ?bcacafcffcaacafcffLbccabfafcfL??????????????????2211,0,0,????定理，則有分別用上與，在區(qū)間由于定理證一：利用? ? ? ?? ? ? ? ? ? .0,212121?????????????????fffLxf 定理，有上用在對函數(shù) ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ?? ?? ?? ?? ?之間與介于處的一階泰勒展式為在，且由費爾馬定理內(nèi)存在最大值上連續(xù)，必在在理證二：利用泰勒中值定0200000000!2。思考題 利用泰勒公式求極限 30)1(s i nl i mxxxxe xx???思考題解答 )(!3!21 332xoxxxe x ??????)(!3s i n 33xoxxx ???30)1(s i nlimxxxxe xx????3333320)1()(!3)(!3!21limxxxxoxxxoxxxx??????????????????????????33330)(!3!2limxxoxxx???? .31?一、 當 10 ??x時，求函數(shù)xxf1)( ? 的 n 階泰勒公式 . 二、 求函數(shù) xxexf ?)( 的 n 階麥克勞林公式 . 三、 驗證210 ?? x 時，按公式62132xxxex???? 計算 xe的近似值，可產(chǎn)生的誤差小于 0. 01 ，并求 e 的近似值，使誤差小于 . 四、 應(yīng)用三階泰勒公式求 3 30 的近似值，并估計誤差 . 五、 利用泰勒公式求極限： 1 ．xexxx420 s i nc o slim2??? ； 2 ． )]11l n ([l i m2xxxx????. 練 習 題 一、])1()1()1(1[12 nxxxx????????
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