【正文】 ．今年老師46歲，學(xué)生16歲，幾年后老師年齡的2倍與學(xué)生年齡的5倍相等？7．已知祖孫三人，祖父和父親年齡的差與父親和孫子年齡的差相同，祖父和孫子年齡之和為82歲，明年祖父的年齡恰好等于孫子年齡的5倍。答：6年后爺爺?shù)哪挲g等于三個(gè)孫子年齡的和。每過一年，爺爺增加一歲，而三個(gè)孫子的年齡和卻要增加1＋1＋1＝3（歲），比爺爺多增加3－1＝2（歲）。20年后，父親的年齡應(yīng)是4段線再加上20歲，而兒子的年齡應(yīng)是1段線再加上20歲，是父親年齡的一半，也就是2段線再加上10歲。這樣，20年后兒子增加20歲，父親就要增加80歲，比兒子多增加了80－20＝60（歲）。由1段＋12歲=2段＋3歲，推知1段是9歲。例6 1994年父親的年齡是哥哥和弟弟年齡之和的4倍。由“哥哥2年后的年齡與妹妹8年后的年齡和為97歲”，可知兄妹二人今年的年齡和為“97——2——8”歲。又因?yàn)槟且荒旮绺鐨q數(shù)與今年弟弟歲數(shù)相等，所以今年弟弟歲數(shù)為2份，今年哥哥歲數(shù)為2＋1=3（份）（見下頁圖）。問：兄、弟二人今年各多少歲？分析與解：根據(jù)題意，作示意圖如下：由上圖可以看出，兄3年后的年齡比弟4年前的年齡大5＋3＋4＝12（歲），由“差倍問題”解得，弟4年前的年齡為（5＋3＋4）247。當(dāng)爸爸的年齡是兒子年齡的5倍時(shí)，兒子的年齡是（48——20）247。年齡問題的主要特點(diǎn)是：二人年齡的差保持不變，它不隨歲月的流逝而改變；二人的年齡隨著歲月的變化，將增或減同一個(gè)自然數(shù)；二人年齡的倍數(shù)關(guān)系隨著年齡的增長而發(fā)生變化，年齡增大，倍數(shù)變小。結(jié)果雞蛋價(jià)格下調(diào)了。練習(xí)111．2臺(tái)拖拉機(jī)4時(shí)耕地20公頃，照這樣速度，5臺(tái)拖拉機(jī)6時(shí)可耕地多少公頃？2．4臺(tái)織布機(jī)5時(shí)可以織布2600米，24臺(tái)織布機(jī)幾小時(shí)才能織布24960米？3．一種幻燈機(jī)，5秒鐘可以放映80張片子。（60＋30）=40（天）。例7 修一條公路，原計(jì)劃60人工作，80天完成。（3）每小時(shí)多行多少千米？75－60＝15（千米）。若要4時(shí)到達(dá)，則每小時(shí)需要多行多少千米？分析：從甲地到乙地的路程是一定的，以路程為總量。解：158247。所謂“總量”是指總路程、總產(chǎn)量、工作總量、物品的總價(jià)等。4247。5＝7（輛）。4247。例4 4輛大卡車運(yùn)沙土，7趟共運(yùn)走沙土336噸。（2400247。（2）8臺(tái)磨面機(jī)磨25600千克面粉需要多少小時(shí)？25600247。例3 ，8臺(tái)這樣的磨面機(jī)磨25600千克面粉需要多少時(shí)間？分析與解：以1臺(tái)磨面機(jī)1時(shí)磨的面粉為單一量。解：（630247。（1）1頭奶牛1天產(chǎn)奶多少千克？630247。（1900247。4＝475（千克）。用這種解題思路解答的應(yīng)用題，稱為歸一問題。所謂“單一量”是指單位時(shí)間的工作量、物品的單價(jià)、單位面積的產(chǎn)量、單位時(shí)間所走的路程等。（2）95000千克能制造多少根鋼軌？95000247。4）＝200（根）。5247。5247。（1）1臺(tái)磨面機(jī)1時(shí)磨面粉多少千克？2400247。320247。3247?，F(xiàn)在有沙土420噸，要求5趟運(yùn)完。7=12（噸）。（3）需要增加多少輛卡車？74＝3（輛）。7）247。例5 一項(xiàng)工程，8個(gè)人工作15時(shí)可以完成，如果12個(gè)人工作，那么多少小時(shí)可以完成？分析：（1）工程總量相當(dāng)于1個(gè)人工作多少小時(shí)？158＝120（時(shí)）。12＝10（時(shí)）。（1）從甲地到乙地的路程是多少千米？605=300（千米）。解：（605）247。現(xiàn)在工作20天后，又增加了30人，這樣剩下的部分再用多少天可以完成？小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程（四年級(jí)）分析：（1）修這條公路共需要多少個(gè)勞動(dòng)日（總量）？6080＝4800（勞動(dòng)日）。解：（60806020）247。問：48秒鐘可以放映多少張片子？4．3臺(tái)抽水機(jī)8時(shí)灌溉水田48公頃，照這樣的速度，5臺(tái)同樣的抽水機(jī)6時(shí)可以灌溉水田多小公頃？5．平整一塊土地，原計(jì)劃8人平整，6天可以完成任務(wù)。問：雞蛋價(jià)格下調(diào)后是每千克多少元？小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程（四年級(jí)）7．。根據(jù)題目的條件，我們常將年齡問題化為“差倍問題”、“和差問題”、“和倍問題”進(jìn)行求解。（5——1）＝7（歲）。（3－1）＝6（歲）。由“和倍問題”解得，哥哥今年的歲數(shù)為55247。由“和差問題”解得，兄[（97——2——8）＋（4＋5）]247。2000年，父親的年齡是哥哥和弟弟年齡之和的2倍。所以父親1994年的年齡是94＝36（歲），他出生于1994——36＝1958（年）。小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程（四年級(jí)）事實(shí)上，20年后父親的年齡為兒子的年齡的2倍，根據(jù)剛才的假設(shè)，多增加的60歲，正好相當(dāng)于20年后兒子年齡的（4——2＝）2倍，因此，今年兒子的年齡為（204－20）247。由1段＋20=2段＋10，求得1段是10歲，即兒子今年10歲，從而父親今年40歲。因而只需求出12里面有幾個(gè)2即可。練習(xí)121．父親比兒子大30歲，明年父親的年齡是兒子年齡的3倍，那么今年兒子幾歲？小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程（四年級(jí)）2．王梅比舅舅小19歲，舅舅的年齡比王梅年齡的3倍多1歲。問：祖孫三人各多少歲？8．小樂問劉老師今年有多少歲，劉老師說：“當(dāng)我像你這么大時(shí)，你才3歲；當(dāng)你像我這么大時(shí)，我已經(jīng)42歲了。問：小梅家的雞與兔各有多少只？分析：假設(shè)16只都是雞，那么就應(yīng)該有216＝32（只）腳，但實(shí)際上有44只腳，比假設(shè)的情況多了4432＝12（只）腳，出現(xiàn)這種情況的原因是把兔當(dāng)作雞了。（42）=6（只），有雞166＝10（只）。因此只要算出20里面有幾個(gè)2，就可以求出雞的只數(shù)。因此這類問題也叫置換問題。小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程（四年級(jí)）假設(shè)100人全是大和尚，那么共需饃300個(gè)，比實(shí)際多300－140＝160（個(gè)）。在下面的例題中，我們只給出一種假設(shè)方法。假設(shè)買了16套彩色文化用品，則共需1916＝304（元），比實(shí)際多304——280＝24（元），現(xiàn)在用普通文化用品去換彩色文化用品，每換一套少用19——11＝8（元），所以買普通文化用品 24247。這樣雞腳比兔腳多200只，而實(shí)際上只多20只，這說明假設(shè)的雞腳比兔腳多的數(shù)比實(shí)際上多200——20=180（只）。（2＋4）＝30（只），小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程（四年級(jí)）有雞100——30=70（只）。解：小瓶有（45020）247。已知每輛大卡車比每輛小卡車多裝4噸，那么這批鋼材有多少噸？分析：要算出這批鋼材有多少噸，需要知道每輛大卡車或小卡車能裝多少噸。9＝16（噸）。答：這批鋼材有720噸。小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程（四年級(jí)）＋＝（元）。（＋）＝3（只）?？汕蟪鲂访糠昼娞?80——60）247。問：買活頁簿、日記本各幾本？4．龜、鶴共有100個(gè)頭，鶴腿比龜腿多20只。問：這幾天中共有幾個(gè)雨天？7．振興小學(xué)六年級(jí)舉行數(shù)學(xué)競賽，共有20道試題。現(xiàn)有三種小蟲共18只，有118條腿和20對(duì)翅膀。例4張明、席輝和李剛在北京、上海和天津工作，他們的職業(yè)是工人、農(nóng)民和教師，已知：（1）張明不在北京工作，席輝不在上海工作；（2）在北京工作的不是教師；（3）在上海工作的是工人；（4）席輝不是農(nóng)民。因?yàn)楦鞅碇?，每行每列只能有一個(gè)“√”，所以表（3）可填全為表（4）。對(duì)照表5和表4，得到：張明住在上海是工人，席輝住在天津是教師，李剛住在北京是農(nóng)民。例1 四年級(jí)一班第一小組有10名同學(xué)，某次數(shù)學(xué)測驗(yàn)的成績（分?jǐn)?shù)）如下：86，78，77，83，91，74，92，69，84，75。我們可以選擇一個(gè)適當(dāng)?shù)臄?shù)作“基準(zhǔn)”，比如以“80”作基準(zhǔn)，這10個(gè)數(shù)與80的差如下：6，2，3，3，11，6，12，11，4，5，其中“”號(hào)表示這個(gè)數(shù)比80小。例1所用的方法叫做加法的基準(zhǔn)數(shù)法。加數(shù)的個(gè)數(shù)。求平均每塊麥田的產(chǎn)量。求一位數(shù)的平方，在乘法口訣的九九表中已經(jīng)被同學(xué)們熟知，如77＝49（七七四十九）。下面通過例題來說明這一方法。由上例看出，因?yàn)?9比30少1，所以給29“補(bǔ)”1，這叫“補(bǔ)少”；因?yàn)?2比80多2，所以從82中“移走”2，這叫“移多”。由湊整補(bǔ)零法計(jì)算352，得3535＝4030＋52=1225。解：9932=993993＝（993＋7）（9937）+72＝1000986＋49＝986000＋49＝986049。這幾道算式具有一個(gè)共同特點(diǎn)，兩個(gè)因數(shù)都是兩位數(shù)，一個(gè)因數(shù)的十位數(shù)與個(gè)位數(shù)相同，另一因數(shù)的十位數(shù)與個(gè)位數(shù)之和為10。例6 7791＝？解：由例3的解法得到 綠藤星教育（***）小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程由上式看出，當(dāng)兩個(gè)因數(shù)的個(gè)位數(shù)之積是一位數(shù)時(shí)，應(yīng)在十位上補(bǔ)一個(gè)0，本例為71＝07。求這批麥苗的平均高度。：（1）7728；（2）6655；（3）3319；（4）8244；（5）3733；（6）4699。6.（1）2156；（2）3630；（3）627；（4）3608；（5）1221；（6）4554。7278的被乘數(shù)與乘數(shù)的十位數(shù)字相同、個(gè)位數(shù)字互補(bǔ)，這類式子我們稱為“頭相同、尾互補(bǔ)”型；2686的被乘數(shù)與乘數(shù)的十位數(shù)字互補(bǔ)、個(gè)位數(shù)字相同，這類式子我們稱為“頭互補(bǔ)、尾相同”型。于是，我們得到下面的速算式：（2）與（1）類似可得到下面的速算式：由例1看出，在“頭相同、尾互補(bǔ)”的兩個(gè)兩位數(shù)乘法中，積的末兩位數(shù)是兩個(gè)因數(shù)的個(gè)位數(shù)之積（不夠兩位時(shí)前面補(bǔ)0，如19＝09），積中從百位起前面的數(shù)是被乘數(shù)（或乘數(shù)）的十位數(shù)與十位數(shù)加1的乘積。（1）由乘法分配律和結(jié)合律，得到7838 ＝（70＋8）（30＋8）＝（70＋8）30＋（70＋8）8 ＝7030+830＋708＋88 ＝7030＋8（30＋70）＋88 ＝73100＋8100＋88 ＝（73＋8）100＋88。當(dāng)被乘數(shù)和乘數(shù)多于兩位時(shí)，情況會(huì)發(fā)生什么變化呢？我們先將互補(bǔ)的概念推廣一下。例如，因?yàn)楸怀藬?shù)與乘數(shù)的綠藤星教育（***）小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程前兩位數(shù)相同，都是70，后兩位數(shù)互補(bǔ)，77＋23＝100，所以是“同補(bǔ)”型。在計(jì)算多位數(shù)的“同補(bǔ)”型乘法時(shí)，例1的方法仍然適用。例4 28657265＝？解：練習(xí)2計(jì)算下列各題：62； 97；87； 39；62； 607；607； 6085。于是，小高斯把這道題巧算為（1+100）100247。后項(xiàng)與前項(xiàng)之差都相等的數(shù)列稱為等差數(shù)列，后項(xiàng)與前項(xiàng)之差稱為公差。2。注意：利用等差數(shù)列求和公式之前，一定要判斷題目中的各個(gè)加數(shù)是否構(gòu)成等差數(shù)列。在利用等差數(shù)列求和公式時(shí)，有時(shí)項(xiàng)數(shù)并不是一目了然的，這時(shí)就需要先求出項(xiàng)數(shù)。4＋1＝25，原式=（3＋99）25247。2＝3340。解：（1）最大三角形面積為（1＋3＋5＋?＋15）12 ＝［（1＋15）8247。答：最大三角形的面積是768厘米2，整個(gè)圖形由108根火柴擺成。因此拿了十次后，多了21＋22＋?＋210 ＝2（1＋2＋?＋10）＝255＝110（只）。練習(xí)3：（1）2＋4＋6＋?＋200；（2）17＋19＋21＋?＋39；（3）5＋8＋11＋14＋?＋50；（4）3＋10＋17＋24＋?＋101。問：時(shí)鐘一晝夜敲打多少次？。性質(zhì)2 如果兩個(gè)數(shù)都能被一個(gè)自然數(shù)整除，那么這兩個(gè)數(shù)的和與差也一定能被這個(gè)自然數(shù)整除。利用上面關(guān)于整除的性質(zhì)，我們可以解決許多與整除有關(guān)的問題。（4）一個(gè)數(shù)的末兩位數(shù)如果能被4（或25）整除，那么這個(gè)數(shù)就能被4（或25）整除。綠藤星教育（***）小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程因?yàn)?00能被4（或25）整除，所以由整除的性質(zhì)1知，整百的數(shù)都能被4（或25）整除。（6）的正確性，我們用一個(gè)具體的數(shù)來說明一般性的證明方法。利用（4）（5）（6）還可以求出一個(gè)數(shù)除以4，8，9的余數(shù)：（4‘）一個(gè)數(shù)除以4的余數(shù)，與它的末兩位除以4的余數(shù)相同。解：能被4整除的數(shù)有7756，3728，8064；能被8整除的數(shù)有3728，8064； 能被9整除的數(shù)有234，8865，8064。例如，判斷一個(gè)數(shù)能否被6整除，因?yàn)?＝23，2與3互質(zhì)，所以如果這個(gè)數(shù)既能被2整除又能被3整除，那么根據(jù)整除的性質(zhì)3，可判定這個(gè)數(shù)能被6整除。根據(jù)三位數(shù)能被3整除的特征，數(shù)字和2＋7＋0與5＋7＋0都能被3整除，因此所求的這些數(shù)為270，570，720，750。再根據(jù)能被9整除的數(shù)的特征，的各位數(shù)字之和為A＋3＋2＋9＋B＝A＋3－f－2＋9＋6＝A＋20，因?yàn)閘≤A≤9，所以21≤A＋20≤29。例5 六位數(shù)是6的倍數(shù)，這樣的六位數(shù)有多少個(gè)？分析與解：因?yàn)?＝23，且2與3互質(zhì)，所以這個(gè)整數(shù)既能被2整除又能被3整除。由于B可以取4個(gè)值，A可以取5個(gè)值，題目沒有要求A≠B，所以符合條件的六位數(shù)共有54＝20（個(gè)）。因此首先是A的能被4整除，就要能被4整除，因能被36整除，而且所得的商最小，問A，B，C各代盡量小，其次是B盡量小，最后是C盡量小。因?yàn)锽，C應(yīng)盡量小，所以B＋C＝6，而C只能取1，3，5，7，9，所以要使盡可能小，應(yīng)取B＝1，C＝5。在這樣的四位數(shù)中，最大的和最小的各是多少？4．五位數(shù)能被12整除，求這個(gè)五位數(shù)。綠藤星教育（***）小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程例如，3645732這個(gè)數(shù)，各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和為3＋6＋4＋5＋7＋3＋2＝30，30被9除余3，所以3645732這個(gè)數(shù)不能被9整除，且被9除后余數(shù)為3。一個(gè)數(shù)被9除的余數(shù)叫做這個(gè)數(shù)的九余數(shù)。只剩下7，6，1，5四個(gè)數(shù)，這時(shí)口算一下即可。我們已經(jīng)熟知1＋2＋3＋?＋9＝45，而45是9的倍數(shù)，所以每一組1，2，3，?，9都可以劃掉。在上面的解法中，并沒有計(jì)算出這個(gè)數(shù)各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字和，而是利用棄九法分析求解。因?yàn)?050的數(shù)字和為5＋0＋5＋0=10，利用棄九法，棄去一個(gè)9余1，故5050除以9余1。如果不等，那么這個(gè)加法算式肯定不正確。分析與解：被減數(shù)的九余數(shù)減去減數(shù)的九余數(shù)（若不夠減，可在被減數(shù)的九余數(shù)上加9，然后再減）應(yīng)當(dāng)?shù)扔诓畹木庞鄶?shù)。因?yàn)?＝6，所以這個(gè)減法運(yùn)算可能正確。例5 檢驗(yàn)下面的乘法算式是否正確：468769537＝447