【正文】 。因?yàn)?＝6，所以這個(gè)減法運(yùn)算可能正確。上式中被減數(shù)的九余數(shù)是3，減數(shù)的九余數(shù)是6，由（9+3）6＝6知，原題等號(hào)左邊的九余數(shù)是6。分析與解：被減數(shù)的九余數(shù)減去減數(shù)的九余數(shù)（若不夠減，可在被減數(shù)的九余數(shù)上加9，然后再減）應(yīng)當(dāng)?shù)扔诓畹木庞鄶?shù)。因?yàn)?≠1，所以這個(gè)算式不正確。如果不等，那么這個(gè)加法算式肯定不正確。例3 檢驗(yàn)下面的加法算式是否正確：2638457＋3521983＋6745785＝12907225。因?yàn)?050的數(shù)字和為5＋0＋5＋0=10，利用棄九法，棄去一個(gè)9余1，故5050除以9余1。因?yàn)橐粋€(gè)數(shù)與它的各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和除以9的余數(shù)相同，所以題中這個(gè)數(shù)各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和，與1＋2＋?＋100除以9的余數(shù)相同。在上面的解法中，并沒(méi)有計(jì)算出這個(gè)數(shù)各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字和，而是利用棄九法分析求解。這樣在這個(gè)大數(shù)中，除了0以外，只剩下最后的100中的數(shù)字1。我們已經(jīng)熟知1＋2＋3＋?＋9＝45，而45是9的倍數(shù)，所以每一組1，2，3，?，9都可以劃掉。所以這個(gè)多位數(shù)除以9余1。只剩下7，6，1，5四個(gè)數(shù)，這時(shí)口算一下即可。例1 求多位數(shù)764582***15除以9的余數(shù)。一個(gè)數(shù)被9除的余數(shù)叫做這個(gè)數(shù)的九余數(shù)。有沒(méi)有更簡(jiǎn)便的方法呢？因?yàn)槲覀冎皇桥袛噙@個(gè)式子被9除的余數(shù)，所以凡是若干個(gè)數(shù)的和是9時(shí)，就把這些數(shù)劃掉，如3＋6＝9，4＋5＝9，7＋2＝9，把這些數(shù)劃掉后，最多只剩下一個(gè)3（如下圖），所以這個(gè)數(shù)除以9的余數(shù)是3。綠藤星教育（***）小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程例如，3645732這個(gè)數(shù)，各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和為3＋6＋4＋5＋7＋3＋2＝30，30被9除余3，所以3645732這個(gè)數(shù)不能被9整除，且被9除后余數(shù)為3。8．學(xué)校買了72只小足球，發(fā)票上的總價(jià)有兩個(gè)數(shù)字已經(jīng)辨認(rèn)不清，只看到是□□元，你知道每只小足球多少錢嗎？ 第5講 棄九法從第4講知道，如果一個(gè)數(shù)的各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和能被9整除，那么這個(gè)數(shù)能被9整除；如果一個(gè)數(shù)各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和被9除余數(shù)是幾，那么這個(gè)數(shù)被9除的余數(shù)也一定是幾。在這樣的四位數(shù)中，最大的和最小的各是多少？4．五位數(shù)能被12整除，求這個(gè)五位數(shù)。36＝4171。因?yàn)锽，C應(yīng)盡量小，所以B＋C＝6，而C只能取1，3，5，7，9，所以要使盡可能小，應(yīng)取B＝1，C＝5。六位數(shù)綠藤星教育（***）小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程各位數(shù)字之和為12＋B＋C。因此首先是A的能被4整除，就要能被4整除，因能被36整除，而且所得的商最小，問(wèn)A，B，C各代盡量小，其次是B盡量小，最后是C盡量小。六位數(shù)此C可取1，3，5，7，9。由于B可以取4個(gè)值，A可以取5個(gè)值，題目沒(méi)有要求A≠B，所以符合條件的六位數(shù)共有54＝20（個(gè)）。再由六位數(shù)能被3整除，推知 3＋A＋B＋A＋B＋A＝3＋3A＋2B能被3整除，故2B能被3整除。例5 六位數(shù)是6的倍數(shù)，這樣的六位數(shù)有多少個(gè)？分析與解：因?yàn)?＝23，且2與3互質(zhì)，所以這個(gè)整數(shù)既能被2整除又能被3整除。解答例4的關(guān)鍵是把72分解成89，再分別根據(jù)能被8和9整除的數(shù)的特征去討論B和A所代表的數(shù)字。再根據(jù)能被9整除的數(shù)的特征，的各位數(shù)字之和為A＋3＋2＋9＋B＝A＋3－f－2＋9＋6＝A＋20，因?yàn)閘≤A≤9，所以21≤A＋20≤29。因?yàn)?2＝89，8和9是互質(zhì)數(shù)，所既能被8整除，又能被9整除。根據(jù)三位數(shù)能被3整除的特征，數(shù)字和2＋7＋0與5＋7＋0都能被3整除，因此所求的這些數(shù)為270，570，720，750。例3 從0，2，5，7四個(gè)數(shù)字中任選三個(gè)，組成能同時(shí)被2，5，3整除的數(shù)，并將這些數(shù)從小到大進(jìn)行排列。例如，判斷一個(gè)數(shù)能否被6整除，因?yàn)?＝23，2與3互質(zhì)，所以如果這個(gè)數(shù)既能被2整除又能被3整除，那么根據(jù)整除的性質(zhì)3，可判定這個(gè)數(shù)能被6整除。到現(xiàn)在為止，我們已經(jīng)學(xué)過(guò)能被2，3，5，4，8，9整除的數(shù)的特征。解：能被4整除的數(shù)有7756，3728，8064；能被8整除的數(shù)有3728，8064； 能被9整除的數(shù)有234，8865，8064。（6＇）一個(gè)數(shù)除以9的余數(shù)，與它的各位數(shù)字之和除以9的余數(shù)相同。利用（4）（5）（6）還可以求出一個(gè)數(shù)除以4，8，9的余數(shù)：（4‘）一個(gè)數(shù)除以4的余數(shù)，與它的末兩位除以4的余數(shù)相同。因?yàn)?9和9都能被9整除，所以根據(jù)整除的性質(zhì)1和性質(zhì)2知，（8x99＋3x9）能被9整除。（6）的正確性，我們用一個(gè)具體的數(shù)來(lái)說(shuō)明一般性的證明方法。這就證明了（4）。綠藤星教育（***）小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程因?yàn)?00能被4（或25）整除，所以由整除的性質(zhì)1知，整百的數(shù)都能被4（或25）整除。（6）一個(gè)數(shù)各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和如果能被9整除，那么這個(gè)數(shù)就能被9整除。（4）一個(gè)數(shù)的末兩位數(shù)如果能被4（或25）整除，那么這個(gè)數(shù)就能被4（或25）整除。（2）一個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)字如果是0或5，那么這個(gè)數(shù)就能被5整除。利用上面關(guān)于整除的性質(zhì)，我們可以解決許多與整除有關(guān)的問(wèn)題。性質(zhì)3 如果一個(gè)數(shù)能分別被兩個(gè)互質(zhì)的自然數(shù)整除，那么這個(gè)數(shù)一定能被這兩個(gè)互質(zhì)的自然數(shù)的乘積整除。性質(zhì)2 如果兩個(gè)數(shù)都能被一個(gè)自然數(shù)整除，那么這兩個(gè)數(shù)的和與差也一定能被這個(gè)自然數(shù)整除。數(shù)的整除具有如下性質(zhì)： 綠藤星教育（***）小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程性質(zhì)1 如果甲數(shù)能被乙數(shù)整除，乙數(shù)能被丙數(shù)整除，那么甲數(shù)一定能被丙數(shù)整除。問(wèn)：時(shí)鐘一晝夜敲打多少次？。，公差是5的等差數(shù)列的前30項(xiàng)的和。練習(xí)3：（1）2＋4＋6＋?＋200；（2）17＋19＋21＋?＋39；（3）5＋8＋11＋14＋?＋50；（4）3＋10＋17＋24＋?＋101。綜合列式為：（31）（1＋2＋?＋10）＋3 ＝2［（1＋10）10247。因此拿了十次后，多了21＋22＋?＋210 ＝2（1＋2＋?＋10）＝255＝110（只）。這時(shí)盒子里共有多少只乒乓球？分析與解：一只球變成3只球，實(shí)際上多了2只球。答：最大三角形的面積是768厘米2，整個(gè)圖形由108根火柴擺成。2）火柴棍的數(shù)目為3＋6＋9+?+24 ＝（3＋24）8247。解：（1）最大三角形面積為（1＋3＋5＋?＋15）12 ＝［（1＋15）8247。例5 在下圖中，每個(gè)最小的等邊三角形的面積是12厘米2，邊長(zhǎng)是1根火柴棍。2＝3340。例4 求首項(xiàng)是25，公差是3的等差數(shù)列的前40項(xiàng)的和。4＋1＝25，原式=（3＋99）25247。公差+1，末項(xiàng)=首項(xiàng)+公差（項(xiàng)數(shù)1）。在利用等差數(shù)列求和公式時(shí)，有時(shí)項(xiàng)數(shù)并不是一目了然的，這時(shí)就需要先求出項(xiàng)數(shù)。原式=（11+31）21247。注意：利用等差數(shù)列求和公式之前，一定要判斷題目中的各個(gè)加數(shù)是否構(gòu)成等差數(shù)列。由等差數(shù)列求和公式可得原式=（1＋1999）1999247。2。其中（1）是首項(xiàng)為1，末項(xiàng)為100，公差為1的等差數(shù)列；（2）是首項(xiàng)為1，末項(xiàng)為99，公差為2的等差數(shù)列；（3）是首項(xiàng)為8，末項(xiàng)為71，公差為7的等差數(shù)列。后項(xiàng)與前項(xiàng)之差都相等的數(shù)列稱為等差數(shù)列，后項(xiàng)與前項(xiàng)之差稱為公差。小高斯使用的這種求和方法，真是聰明極了，簡(jiǎn)單快捷，并且廣泛地適用于“等差數(shù)列”的求和問(wèn)題。于是，小高斯把這道題巧算為（1+100）100247。高斯為什么算得又快又準(zhǔn)呢？原來(lái)小高斯通過(guò)細(xì)心觀察發(fā)現(xiàn)：1＋100＝2＋99＝3＋98＝?＝49＋52＝50＋51。例4 28657265＝？解：練習(xí)2計(jì)算下列各題：62； 97；87； 39；62； 607；607； 6085。注意：互補(bǔ)數(shù)如果是n位數(shù)，則應(yīng)占乘積的后2n位，不足的位補(bǔ)“0”。在計(jì)算多位數(shù)的“同補(bǔ)”型乘法時(shí)，例1的方法仍然適用。當(dāng)被乘數(shù)與乘數(shù)前面的幾位數(shù)互補(bǔ)，后面的幾位數(shù)相同時(shí)，這個(gè)乘法算式就是“補(bǔ)同”型，即“頭互補(bǔ)，尾相同”型。例如，因?yàn)楸怀藬?shù)與乘數(shù)的綠藤星教育（***）小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程前兩位數(shù)相同，都是70，后兩位數(shù)互補(bǔ)，77＋23＝100，所以是“同補(bǔ)”型。如43與57互補(bǔ)，99與1互補(bǔ)，555與445互補(bǔ)。當(dāng)被乘數(shù)和乘數(shù)多于兩位時(shí)，情況會(huì)發(fā)生什么變化呢？我們先將互補(bǔ)的概念推廣一下。“補(bǔ)同”速算法簡(jiǎn)單地說(shuō)就是： 積的末兩位數(shù)是“尾尾”，前面是“頭頭+尾”。（1）由乘法分配律和結(jié)合律，得到7838 ＝（70＋8）（30＋8）＝（70＋8）30＋（70＋8）8 ＝7030+830＋708＋88 ＝7030＋8（30＋70）＋88 ＝73100＋8100＋88 ＝（73＋8）100＋88。我們?cè)谌昙?jí)時(shí)學(xué)到的1515，2525，?，9595的速算，實(shí)際上就是“同補(bǔ)”速算法。于是，我們得到下面的速算式：（2）與（1）類似可得到下面的速算式：由例1看出，在“頭相同、尾互補(bǔ)”的兩個(gè)兩位數(shù)乘法中，積的末兩位數(shù)是兩個(gè)因數(shù)的個(gè)位數(shù)之積（不夠兩位時(shí)前面補(bǔ)0，如19＝09），積中從百位起前面的數(shù)是被乘數(shù)（或乘數(shù)）的十位數(shù)與十位數(shù)加1的乘積。例1（1）7674＝？（2）3139＝？分析與解：本例兩題都是“頭相同、尾互補(bǔ)”類型。7278的被乘數(shù)與乘數(shù)的十位數(shù)字相同、個(gè)位數(shù)字互補(bǔ)，這類式子我們稱為“頭相同、尾互補(bǔ)”型；2686的被乘數(shù)與乘數(shù)的十位數(shù)字互補(bǔ)、個(gè)位數(shù)字相同，這類式子我們稱為“頭互補(bǔ)、尾相同”型。兩個(gè)數(shù)之和等于10，則稱這兩個(gè)數(shù)互補(bǔ)。6.（1）2156；（2）3630；（3）627；（4）3608；（5）1221；（6）4554。：（1）7728；（2）6655；（3）3319；（4）8244；（5）3733；（6）4699。他們共加工了多少個(gè)零件？：13＋16＋10+11＋17＋12＋15＋12＋16＋13＋12。求這批麥苗的平均高度。練習(xí)1：165，152，168，171，148，156，169，161，157，149。例6 7791＝？解：由例3的解法得到 綠藤星教育（***）小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程由上式看出，當(dāng)兩個(gè)因數(shù)的個(gè)位數(shù)之積是一位數(shù)時(shí)，應(yīng)在十位上補(bǔ)一個(gè)0，本例為71＝07。例5 8864＝？分析與解：由乘法分配律和結(jié)合律，得到8864＝（80＋8）（60＋4）＝（80＋8）60＋（80＋8）4＝8060＋860＋804＋84＝8060＋806＋804＋84＝80（60＋6＋4）＋84＝80（60＋10）＋84＝8（6＋1）100+84。這幾道算式具有一個(gè)共同特點(diǎn)，兩個(gè)因數(shù)都是兩位數(shù)，一個(gè)因數(shù)的十位數(shù)與個(gè)位數(shù)相同，另一因數(shù)的十位數(shù)與個(gè)位數(shù)之和為10。下面，我們介紹一類特殊情況的乘法的速算方法。解：9932=993993＝（993＋7）（9937）+72＝1000986＋49＝986000＋49＝986049。這種方法不僅適用于求兩位數(shù)的平方值，也適用于求三位數(shù)或更多位數(shù)的平方值。由湊整補(bǔ)零法計(jì)算352，得3535＝4030＋52=1225。本例中，給一個(gè)29補(bǔ)1，就要給另一個(gè)29減1；給一個(gè)82減了2，就要給另一個(gè)82加上2。由上例看出，因?yàn)?9比30少1，所以給29“補(bǔ)”1，這叫“補(bǔ)少”；因?yàn)?2比80多2，所以從82中“移走”2，這叫“移多”。解：292=2929＝（29＋1）（291）＋12＝3028＋1＝840+1＝841。下面通過(guò)例題來(lái)說(shuō)明這一方法。有沒(méi)有什么竅門，能夠迅速算出兩位數(shù)的平方呢？這里向同學(xué)們介紹一種方法——湊整補(bǔ)零法。求一位數(shù)的平方，在乘法口訣的九九表中已經(jīng)被同學(xué)們熟知，如77＝49（七七四十九）。10＝455（千克）。求平均每塊麥田的產(chǎn)量。同時(shí)考慮到基準(zhǔn)數(shù)與加數(shù)個(gè)數(shù)的乘法能夠方便地計(jì)算出來(lái)，所以基準(zhǔn)數(shù)應(yīng)盡量選取整十、整百的數(shù)。加數(shù)的個(gè)數(shù)。作為“基準(zhǔn)”的數(shù)（如例1的80）叫做基準(zhǔn)數(shù)，各數(shù)與基準(zhǔn)數(shù)的差的和叫做累計(jì)差。例1所用的方法叫做加法的基準(zhǔn)數(shù)法。實(shí)際計(jì)算時(shí)只需口算，將這些數(shù)與80的差逐一累加。我們可以選擇一個(gè)適當(dāng)?shù)臄?shù)作“基準(zhǔn)”，比如以“80”作基準(zhǔn)，這10個(gè)數(shù)與80的差如下：6，2，3，3，11，6，12，11，4，5，其中“”號(hào)表示這個(gè)數(shù)比80小。分析與解：通常的做法是將這10個(gè)數(shù)直接相加，但這些數(shù)雜亂無(wú)章，直接相加既繁且易錯(cuò)。例1 四年級(jí)一班第一小組有10名同學(xué)，某次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)的成績(jī)（分?jǐn)?shù)）如下：86，78，77，83，91，74，92，69，84，75。準(zhǔn)確、快速的計(jì)算能力既是一種技巧，也是一種思維訓(xùn)練，既能提高計(jì)算效率、節(jié)省計(jì)算時(shí)間，更可以鍛煉記憶力，提高分析、判斷能力，促進(jìn)思維和智力的發(fā)展。對(duì)照表5和表4，得到：張明住在上海是工人，席輝住在天津是教師，李剛住在北京是農(nóng)民。再由表4知，教師住在天津，即席輝住在天津。因?yàn)楦鞅碇?，每行每列只能有一個(gè)“√”，所以表（3）可填全為表（4）。三者的關(guān)系需要兩兩構(gòu)造三個(gè)表，即人物與地點(diǎn)，人物與職業(yè)，地點(diǎn)與職業(yè)三個(gè)表。例4張明、席輝和李剛在北京、上海和天津工作，他們的職業(yè)是工人、農(nóng)民和教師，已知：（1）張明不在北京工作，席輝不在上海工作；（2）在北京工作的不是教師；（3）在上海工作的是工人；（4）席輝不是農(nóng)民。問(wèn)：雞、兔各幾只？高冠軍，所以由（1）知乙不是數(shù)學(xué)博士。現(xiàn)有三種小蟲(chóng)共18只，有118條腿和20對(duì)翅膀。小建得了60分，那么他做對(duì)了幾道題？8．有一批水果，用大筐80只可裝運(yùn)完，用小筐120只也可裝運(yùn)完。問(wèn)：這幾天中共有幾個(gè)雨天？7．振興小學(xué)六年級(jí)舉行數(shù)學(xué)競(jìng)賽，共有20道試題。賀年卡每張3元5角，明信片每張2元5角。問(wèn)：買活頁(yè)簿、日記本各幾本？4．龜、鶴共有100個(gè)頭，鶴腿比龜腿多20只。練習(xí)131．雞、兔共有頭100個(gè)，腳350只，雞、兔各有多少只？2．學(xué)校有象棋、跳棋共26副，2人下一副象棋，6人下一副跳棋，恰好可供120個(gè)學(xué)生進(jìn)行活動(dòng)?？汕蟪鲂?lè)每分鐘跳（780——60）247。例8 小樂(lè)與小喜一起跳繩，小喜先跳了2分鐘，然后兩人各跳了3分鐘，一共跳了780下。（＋）＝3（只）。＝3（只）。小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程（四年級(jí)）＋＝（元）。問(wèn)：搬運(yùn)過(guò)程中共打破了幾只花瓶？分析：假設(shè)500只花瓶在搬運(yùn)過(guò)程中一只也沒(méi)有打破，500=120（元）。答：這批鋼材