【文章內(nèi)容簡介】 ，積中從百位起前面的數(shù)是兩個因數(shù)的十位數(shù)之積加上被乘數(shù)（或乘數(shù)）的個位數(shù)?！把a同”速算法簡單地說就是： 積的末兩位數(shù)是“尾尾”，前面是“頭頭+尾”。例1和例2介紹了兩位數(shù)乘以兩位數(shù)的“同補”或“補同”形式的速算法。當被乘數(shù)和乘數(shù)多于兩位時，情況會發(fā)生什么變化呢？我們先將互補的概念推廣一下。當兩個數(shù)的和是10，100，1000，?時，這兩個數(shù)互為補數(shù)，簡稱互補。如43與57互補，99與1互補，555與445互補。在一個乘法算式中，當被乘數(shù)與乘數(shù)前面的幾位數(shù)相同，后面的幾位數(shù)互補時，這個算式就是“同補”型，即“頭相同，尾互補”型。例如，因為被乘數(shù)與乘數(shù)的綠藤星教育（***）小學奧數(shù)基礎(chǔ)教程前兩位數(shù)相同，都是70，后兩位數(shù)互補，77＋23＝100，所以是“同補”型。又如，等都是“同補”型。當被乘數(shù)與乘數(shù)前面的幾位數(shù)互補，后面的幾位數(shù)相同時，這個乘法算式就是“補同”型，即“頭互補，尾相同”型。例如，等都是“補同”型。在計算多位數(shù)的“同補”型乘法時，例1的方法仍然適用。例3（1）702708=？（2）17081792＝？ 解：（1）（2）計算多位數(shù)的“同補”型乘法時，將“頭（頭+1）”作為乘積的前幾位，將兩個互補數(shù)之積作為乘積的后幾位。注意：互補數(shù)如果是n位數(shù)，則應(yīng)占乘積的后2n位，不足的位補“0”。在計算多位數(shù)的“補同”型乘法時，如果“補”與“同”，即“頭”與“尾”的位數(shù)相同，那么例2的方法仍然適用（見例4）；如果“補”與“同”的位數(shù)不相同，那么例2的方法不再適用，因為沒有簡捷實用的方法，所以就不再討論了。例4 28657265＝？解：練習2計算下列各題：62； 97；87； 39；62； 607；607； 6085。第3講 高斯求和德國著名數(shù)學家高斯幼年時代聰明過人，上學時，有一天老師出了一道題讓同學們計算：1＋2＋3＋4＋?＋99＋100＝？老師出完題后，全班同學都在埋頭計算，小高斯卻很快算出答案等于5050。高斯為什么算得又快又準呢？原來小高斯通過細心觀察發(fā)現(xiàn)：1＋100＝2＋99＝3＋98＝?＝49＋52＝50＋51。綠藤星教育（***）小學奧數(shù)基礎(chǔ)教程1～100正好可以分成這樣的50對數(shù)，每對數(shù)的和都相等。于是，小高斯把這道題巧算為（1+100）100247。2＝5050。小高斯使用的這種求和方法，真是聰明極了，簡單快捷，并且廣泛地適用于“等差數(shù)列”的求和問題。若干個數(shù)排成一列稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個數(shù)稱為一項，其中第一項稱為首項，最后一項稱為末項。后項與前項之差都相等的數(shù)列稱為等差數(shù)列，后項與前項之差稱為公差。例如：（1）1，2，3，4，5，?，100；（2）1，3，5，7，9，?，99；（3）8，15，22，29，36，?，71。其中（1）是首項為1，末項為100，公差為1的等差數(shù)列；（2）是首項為1，末項為99，公差為2的等差數(shù)列；（3）是首項為8，末項為71，公差為7的等差數(shù)列。由高斯的巧算方法，得到等差數(shù)列的求和公式： 和=（首項+末項）項數(shù)247。2。例1 1＋2＋3＋?＋1999＝？分析與解：這串加數(shù)1，2，3，?，1999是等差數(shù)列，首項是1，末項是1999，共有1999個數(shù)。由等差數(shù)列求和公式可得原式=（1＋1999）1999247。2＝1999000。注意：利用等差數(shù)列求和公式之前，一定要判斷題目中的各個加數(shù)是否構(gòu)成等差數(shù)列。例2 11＋12＋13＋?＋31＝？分析與解：這串加數(shù)11，12，13，?，31是等差數(shù)列，首項是11，末項是31，共有3111＋1＝21（項）。原式=（11+31）21247。2=441。在利用等差數(shù)列求和公式時，有時項數(shù)并不是一目了然的，這時就需要先求出項數(shù)。根據(jù)首項、末項、公差的關(guān)系，可以得到 項數(shù)=（末項首項）247。公差+1，末項=首項+公差（項數(shù)1）。例3 3＋7＋11＋?＋99＝？分析與解：3，7，11，?，99是公差為4的等差數(shù)列，項數(shù)=（99－3）247。4＋1＝25，原式=（3＋99）25247。2＝1275。例4 求首項是25，公差是3的等差數(shù)列的前40項的和。解：末項=25＋3（401）＝142，和=（25＋142）40247。2＝3340。利用等差數(shù)列求和公式及求項數(shù)和末項的公式，可以解決各種與等差數(shù)列求和有關(guān)的問題。例5 在下圖中，每個最小的等邊三角形的面積是12厘米2，邊長是1根火柴棍。問：（1）最大三角形的面積是多少平方厘米？（2）整個圖形由多少根火柴棍擺成？分析：最大三角形共有8層，從上往下擺時，每層的小三角形數(shù)目及所用火柴數(shù)目如下表： 綠藤星教育（***）小學奧數(shù)基礎(chǔ)教程由上表看出，各層的小三角形數(shù)成等差數(shù)列，各層的火柴數(shù)也成等差數(shù)列。解：（1）最大三角形面積為（1＋3＋5＋?＋15）12 ＝［（1＋15）8247。2］12 ＝768（厘米2）。2）火柴棍的數(shù)目為3＋6＋9+?+24 ＝（3＋24）8247。2=108（根）。答：最大三角形的面積是768厘米2，整個圖形由108根火柴擺成。例6 盒子里放有三只乒乓球，一位魔術(shù)師第一次從盒子里拿出一只球，將它變成3只球后放回盒子里；第二次又從盒子里拿出二只球，將每只球各變成3只球后放回盒子里??第十次從盒子里拿出十只球，將每只球各變成3只球后放回到盒子里。這時盒子里共有多少只乒乓球？分析與解：一只球變成3只球，實際上多了2只球。第一次多了2只球，第二次多了22只球??第十次多了210只球。因此拿了十次后，多了21＋22＋?＋210 ＝2（1＋2＋?＋10）＝255＝110（只）。加上原有的3只球，盒子里共有球110＋3＝113（只）。綜合列式為：（31）（1＋2＋?＋10）＋3 ＝2［（1＋10）10247。2］＋3＝113（只）。練習3：（1）2＋4＋6＋?＋200；（2）17＋19＋21＋?＋39；（3）5＋8＋11＋14＋?＋50；（4）3＋10＋17＋24＋?＋101。，末項是93，公差是4的等差數(shù)列的和。，公差是5的等差數(shù)列的前30項的和。，敲打的次數(shù)等于該鐘點數(shù)，每半點鐘也敲一下。問：時鐘一晝夜敲打多少次？。，十位數(shù)比個位數(shù)大的數(shù)共有多少個？第四講我們在三年級已經(jīng)學習了能被2，3，5整除的數(shù)的特征，這一講我們將討論整除的性質(zhì)，并講解能被4，8，9整除的數(shù)的特征。數(shù)的整除具有如下性質(zhì)： 綠藤星教育（***）小學奧數(shù)基礎(chǔ)教程性質(zhì)1 如果甲數(shù)能被乙數(shù)整除，乙數(shù)能被丙數(shù)整除，那么甲數(shù)一定能被丙數(shù)整除。例如，48能被16整除，16能被8整除，那么48一定能被8整除。性質(zhì)2 如果兩個數(shù)都能被一個自然數(shù)整除，那么這兩個數(shù)的和與差也一定能被這個自然數(shù)整除。例如，21與15都能被3整除，那么21＋15及2115都能被3整除。性質(zhì)3 如果一個數(shù)能分別被兩個互質(zhì)的自然數(shù)整除，那么這個數(shù)一定能被這兩個互質(zhì)的自然數(shù)的乘積整除。例如，126能被9整除，又能被7整除，且9與7互質(zhì)，那么126能被97＝63整除。利用上面關(guān)于整除的性質(zhì)，我們可以解決許多與整除有關(guān)的問題。為了進一步學習數(shù)的整除性，我們把學過的和將要學習的一些整除的數(shù)字特征列出來：（1）一個數(shù)的個位數(shù)字如果是0，2，4，6，8中的一個，那么這個數(shù)就能被2整除。（2）一個數(shù)的個位數(shù)字如果是0或5，那么這個數(shù)就能被5整除。（3）一個數(shù)各個數(shù)位上的數(shù)字之和如果能被3整除，那么這個數(shù)就能被3整除。（4）一個數(shù)的末兩位數(shù)如果能被4（或25）整除，那么這個數(shù)就能被4（或25）整除。（5）一個數(shù)的末三位數(shù)如果能被8（或125）整除，那么這個數(shù)就能被8（或125）整除。（6）一個數(shù)各個數(shù)位上的數(shù)字之和如果能被9整除，那么這個數(shù)就能被9整除。其中（1）（2）（3）是三年級學過的內(nèi)容，（4）（5）（6）是本講要學習的內(nèi)容。綠藤星教育（***）小學奧數(shù)基礎(chǔ)教程因為100能被4（或25）整除，所以由整除的性質(zhì)1知，整百的數(shù)都能被4（或25）整除。因為任何自然數(shù)都能分成一個整百的數(shù)與這個數(shù)的后兩位數(shù)之和，所以由整除的性質(zhì)2知，只要這個數(shù)的后兩位數(shù)能被4（或25）整除，這個數(shù)就能被4（或25）整除。這就證明了（4）。類似地可以證明（5）。（6）的正確性，我們用一個具體的數(shù)來說明一般性的證明方法。837＝800＋30＋7 ＝8100＋310＋7 ＝8（99＋1）＋3（9＋1）＋7 ＝899＋8＋39＋3＋7 ＝（899＋39）＋（8＋3＋7）。因為99和9都能被9整除，所以根據(jù)整除的性質(zhì)1和性質(zhì)2知，（8x99＋3x9）能被9整除。再根據(jù)整除的性質(zhì)2，由（8＋3＋7）能被9整除，就能判斷837能被9整除。利用（4）（5）（6）還可以求出一個數(shù)除以4，8，9的余數(shù)：（4‘）一個數(shù)除以4的余數(shù)，與它的末兩位除以4的余數(shù)相同。（5＇）一個數(shù)除以8的余數(shù)，與它的末三位除以8的余數(shù)相同。（6＇）一個數(shù)除以9的余數(shù)，與它的各位數(shù)字之和除以9的余數(shù)相同。例1 在下面的數(shù)中，哪些能被4整除？哪些能被8整除？哪些能被9整除？ 234，789，7756，8865。解：能被4整除的數(shù)有7756，3728，8064；能被8整除的數(shù)有3728，8064； 能被9整除的數(shù)有234，8865，8064。綠藤星教育（***）小學奧數(shù)基礎(chǔ)教程例2 在四位數(shù)56□2中，被蓋住的十位數(shù)分別等于幾時，這個四位數(shù)分別能被9，8，4整除？解：如果56□2能被9整除，那么5＋6＋□＋2＝13＋□應(yīng)能被9整除，所以當十位數(shù)是5，即四位數(shù)是5652時能被9整除；如果56□2能被8整除，那么6□2應(yīng)能被8整除，所以當十位數(shù)是3或7，即四位數(shù)是5632或5672時能被8整除；如果56□2能被4整除，那么□2應(yīng)能被4整除，所以當十位數(shù)是1，3，5，7，9，即四位數(shù)是5612，5632，5652，5672，5692時能被4整除。到現(xiàn)在為止，我們已經(jīng)學過能被2，3，5，4，8，9整除的數(shù)的特征。根據(jù)整除的性質(zhì)3，我們可以把判斷整除的范圍進一步擴大。例如，判斷一個數(shù)能否被6整除，因為6＝23，2與3互質(zhì)，所以如果這個數(shù)既能被2整除又能被3整除，那么根據(jù)整除的性質(zhì)3，可判定這個數(shù)能被6整除。同理，判斷一個數(shù)能否被12整除，只需判斷這個數(shù)能否同時被3和4整除；判斷一個數(shù)能否被72整除，只需判斷這個數(shù)能否同時被8和9整除；如此等等。例3 從0，2，5，7四個數(shù)字中任選三個，組成能同時被2，5，3整除的數(shù)，并將這些數(shù)從小到大進行排列。解：因為組成的三位數(shù)能同時被2，5整除，所以個位數(shù)字為0。根據(jù)三位數(shù)能被3整除的特征，數(shù)字和2＋7＋0與5＋7＋0都能被3整除，因此所求的這些數(shù)為270，570，720，750。例4 五位數(shù)分析與解：已知以能被72整除，問：A與B各代表什么數(shù)字？能被72整除。因為72＝89，8和9是互質(zhì)數(shù)，所既能被8整除，又能被9整除。根據(jù)能被8整除的數(shù)的特征，要求綠藤星教育（***）小學奧數(shù)基礎(chǔ)教程能被8整除，由此可確定B＝6。再根據(jù)能被9整除的數(shù)的特征，的各位數(shù)字之和為A＋3＋2＋9＋B＝A＋3－f－2＋9＋6＝A＋20，因為l≤A≤9，所以21≤A＋20≤29。在這個范圍內(nèi)只有27能被9整除，所以A＝7。解答例4的關(guān)鍵是把72分解成89，再分別根據(jù)能被8和9整除的數(shù)的特征去討論B和A所代表的數(shù)字。在解題順序上，應(yīng)先確定B所代表的數(shù)字，因為B代表的數(shù)字不受A的取值大小的影響，一旦B代表的數(shù)字確定下來，A所代表的數(shù)字就容易確定了。例5 六位數(shù)是6的倍數(shù)，這樣的六位數(shù)有多少個？分析與解：因為6＝23，且2與3互質(zhì)，所以這個整數(shù)既能被2整除又能被3整除。由六位數(shù)能被2整除，推知A可取0，2，4，6，8這五個值。再由六位數(shù)能被3整除，推知 3＋A＋B＋A＋B＋A＝3＋3A＋2B能被3整除，故2B能被3整除。B可取0，3，6，9這4個值。由于B可以取4個值，A可以取5個值，題目沒有要求A≠B，所以符合條件的六位數(shù)共有54＝20（個）。例6 要使六位數(shù)表什么數(shù)字？分析與解：因為36＝49，且4與9互質(zhì)，所以這個六位數(shù)應(yīng)既能被4整除又能被9整除。六位數(shù)此C可取1，3，5，7，9。要使所得的商最小，就要使這個六位數(shù)盡可能小。因此首先是A的能被4整除，就要能被4整除，因能被36整除，而且所得的商最小，問A，B，C各代盡量小，其次是B盡量小，最后是C盡量小。先試取A=0。六位數(shù)綠藤星教育（***）小學奧數(shù)基礎(chǔ)教程各位數(shù)字之和為12＋B＋C。它應(yīng)能被9整除，因此B＋C＝6或B＋C＝15。因為B，C應(yīng)盡量小，所以B＋C＝6，而C只能取1，3，5，7，9，所以要使盡可能小，應(yīng)取B＝1，C＝5。當A=0，B=1，C＝5時，六位數(shù)能被36整除，而且所得商最小，為150156247。36＝4171。練習41．6539724能被4，8，9，24，36，72中的哪幾個數(shù)整除？2．個位數(shù)是5，且能被9整除的三位數(shù)共有多少個？3．一些四位數(shù)，百位上的數(shù)字都是3，十位上的數(shù)字都是6，并且它們既能被2整除又能被3整除。在這樣的四位數(shù)中，最大的和最小的各是多少？4．五位數(shù)能被12整除，求這個五位數(shù)。5．有一個能被24整除的四位數(shù)□23□，這個四位數(shù)最大是幾？最小是幾？6．從0，2，3，6，7這五個數(shù)碼中選出四個，可以組成多少個可以被8整除的沒有重復數(shù)字的四位數(shù)？7．在123的左右各添一個數(shù)碼，使得到的五位數(shù)能被72整除。8．學校買了72只小足球，發(fā)票上的總價有兩個數(shù)字已經(jīng)辨認不清，只看到是□□元，你知道每只小足球多少錢嗎？ 第5講 棄九法從第4講知道，如果一個數(shù)的各個數(shù)位上的數(shù)字之和能被9整除，那么這個數(shù)能被9整除；如果一個數(shù)各個數(shù)位上的數(shù)字之和被9除余數(shù)是幾，那么這個數(shù)被9除的余數(shù)也一定是幾。利用這個性質(zhì)可以迅速地判斷一個數(shù)能否被9整除或者求出被9除的余數(shù)是幾。綠藤星教育（***）小學奧數(shù)基礎(chǔ)教程例如，3645732這個數(shù)，各個數(shù)位上的數(shù)字之和為3＋6＋4＋5＋7＋3＋2＝30，30被9除余3，所以3645732這個數(shù)不能被9整除，且被9除后余數(shù)為3。