【正文】 若C＝5，則有6□□5=（600+□□）5=3000+□□5，不可能等于□5□5，與題意不符，所以B=5。例4 在□內(nèi)填入適當(dāng)?shù)臄?shù)字，使左下式的乘法豎式成立。被乘數(shù)為999999247。（3）若“賽”＝4，則“數(shù)”＝6，積=666666。（1）若“賽”＝2，則“數(shù)”＝4，積=444444。例2中的兩題形式類似，但題目特點并不相同，解法也不同，請同學(xué)們注意比較。（2）由千位看出，“努”=4。因此“學(xué)”≠2。例2 在下列各加法算式中，相同的漢字代表相同的數(shù)字，不同的漢字代表不同的數(shù)字，求出這兩個算式：分析與解：（1）這是一道四個數(shù)連加的算式，其特點是相同數(shù)位上的數(shù)字相同，且個位與百位上的數(shù)字相同，即都是漢字“學(xué)”。（3）填十位。綠藤星教育（***）小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程（1）填百位與千位。7．將1～8分別填入下式的八個□內(nèi)，使算式取得最小值： □□□□□□□□。（）等符號，使各個等式成立：4□4□4□4＝1，4□4□4□4＝3，4□4□4□4＝5，4□4□4□4＝9。65＝0。練習(xí)91．在下面的算式里填上括號，使等式成立：（1）46+24247。通過分析，A，C，D，H應(yīng)盡可能大，且A應(yīng)最大，C，D次之，H再次之；B，E，F(xiàn)，G應(yīng)盡可能小，且B應(yīng)最小，E，F(xiàn)次之，G再次之?！穑ā?○）][○○+○○]。7＝8。加式與乘式的數(shù)字不能相同，搭配后只有兩種可能：（1）加式為1＋5，乘式為24；（2）加式為2+4，乘式為18。82＝53＝97?！酢?□□=□7。因為在加法算式□+□=□中，等號兩邊的數(shù)相等，所以加法算式中的三個□內(nèi)的三個數(shù)的和是偶數(shù)；而減法算式□□=可以變形為加法算式□=□+□，所以減法算式中的三個□內(nèi)的三個數(shù)的和也是偶數(shù)。綠藤星教育（***）小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程解：5+（78+12）247。42＝20。6；（3）488247。b所得余數(shù)，隨著n的增大，必然會出現(xiàn)周期性變化規(guī)律，因為所得余數(shù)必然小于b，所以在b個數(shù)以內(nèi)必會重復(fù)出現(xiàn)。7的余數(shù)與32247。綠藤星教育（***）小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程由例4（2）的方法，將3的各次方除以7的余數(shù)列表如下：由上表看出，3n247。3的余數(shù)相同，等于2。由上表看出，5n除以3的余數(shù)，隨著n的增大，按2，1的順序循環(huán)出現(xiàn)。為了尋找5n247。4＝13??3知，7855的個位數(shù)與83的個位數(shù)相同，等于2，所以7855可分解為10a＋2。綠藤星教育（***）小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程例4 求下列各除法運(yùn)算所得的余數(shù)：（1）7855247。4＝32知，28128的個位數(shù)與84的個位數(shù)相同，等于6。4＝72??3，所以3291與33的個位數(shù)相同，等于7。例2 求291+3291的個位數(shù)字。例1 求67999的個位數(shù)字。（2）當(dāng)a的個位數(shù)是4，9時，隨著n的增大，an的個位數(shù)按每兩個數(shù)為一周期循環(huán)出現(xiàn)。一般地，n個a相乘，叫做a的n次方，記作an，即本講主要講an的個位數(shù)的變化規(guī)律，以及an除以某數(shù)所得余數(shù)的變化規(guī)律。這串?dāng)?shù)中第100個數(shù)是幾？前100個數(shù)之和是多少？4．有一列數(shù)，第一個數(shù)是6，以后每一個數(shù)都是它前面一個數(shù)與7的和的個位數(shù)。練習(xí)71．有一串很長的珠子，它是按照5顆紅珠、3顆白珠、4顆黃珠、2顆綠珠的順序重復(fù)排列的。例5 A，B，C，D四個盒子中依次放有8，6，3，1個球。例4 在下面的一串?dāng)?shù)中，從第五個數(shù)起，每個數(shù)都是它前面四個數(shù)之和的個位數(shù)字。我們試著將這串?dāng)?shù)再多寫出幾位：綠藤星教育（***）小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程當(dāng)寫出第21，22位（豎線右面的兩位）時就會發(fā)現(xiàn)，它們與第1，2位數(shù)相同，所以這串?dāng)?shù)按每20個數(shù)一個周期循環(huán)出現(xiàn)。由77247。所以，第2個數(shù)等于第6個數(shù)，是6；第3個數(shù)等于第11個數(shù)，是7。問：這串?dāng)?shù)中第24個數(shù)是幾？前77個數(shù)的和是多少？分析與解：因為第1，2，3，4個數(shù)的和等于第2，3，4，5個數(shù)的和，所以第1個數(shù)與第5個數(shù)相同。（2）150247。問：（1）第100盞燈是什么顏色？（2）前150盞彩燈中有多少盞藍(lán)燈？分析與解：這是一個周期變化問題。年復(fù)一年，總是按照春、夏、秋、冬四季變化，這就是周期性變化規(guī)律。綠藤星教育（***）小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程7．七位數(shù)3A8629B是88的倍數(shù)，求A和B。練習(xí)61．為使五位數(shù)6□295能被11整除，□內(nèi)應(yīng)當(dāng)填幾？2．用1，2，3，4四個數(shù)碼能排出哪些能被11整除的沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)？3．求能被11整除的最大的沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)。因為A+B與AB同奇同偶，所以有在（1）中，A≤5與A≥7不能同時滿足，所以無解。分析與解：由99=911，且9與11互質(zhì)，所以六位數(shù)既能被9整除又能被11整除。調(diào)整“4321”，只要4調(diào)到奇數(shù)位，1調(diào)到偶數(shù)位，奇數(shù)位就比原來增大3，就可達(dá)到目的。有3377，3773，7337，7733。11=72??7，117=4，所求余數(shù)是4。例3 求除以11的余數(shù)。（17+112）32＝7，所以296738185除以11的余數(shù)是7。11=7247。綠藤星教育（***）小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程一個數(shù)除以11的余數(shù)，與它的奇數(shù)位上的數(shù)字之和減去偶數(shù)位上的數(shù)字之和所得的差除以11的余數(shù)相同。例如9位數(shù)768325419中，奇數(shù)位與偶數(shù)位如下圖所示：能被11整除的數(shù)的特征：一個數(shù)的奇數(shù)位上的數(shù)字之和與偶數(shù)位上的數(shù)字之和的差（大數(shù)減小數(shù)）如果能被11整除，那么這個數(shù)就能被11整除。求D。3．用棄九法檢驗下列各題計算的正確性：（1）228222＝50616；（2）334336＝112224；（3）23372428247。例如，檢驗383801247。上式中，被乘數(shù)的九余數(shù)是4，乘數(shù)的九余數(shù)是6，46＝24，24的九余數(shù)是6。所以用棄九法檢驗運(yùn)算的正確性，只是一種粗略的檢驗。等號右邊的九余數(shù)也是6。例4 檢驗下面的減法算式是否正確：78321452167953＝5664192。分析與解：若干個加數(shù)的九余數(shù)相加，所得和的九余數(shù)應(yīng)當(dāng)?shù)扔谶@些加數(shù)的和的九余數(shù)。利用高斯求和法，知此和是5050。所以這個數(shù)除以9余1。例2 將自然數(shù)1，2，3，?依次無間隔地寫下去組成一個數(shù)***3?如果一直寫到自然數(shù)100，那么所得的數(shù)除以9的余數(shù)是多少？ 綠藤星教育（***）小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程分析與解：因為這個數(shù)太大，全部寫出來很麻煩，在使用棄九法時不能逐個劃掉和為9或9的倍數(shù)的數(shù)，所以要配合適當(dāng)?shù)姆治?。分析與解：利用棄九法，將和為9的數(shù)依次劃掉。這種將和為9或9的倍數(shù)的數(shù)字劃掉，用剩下的數(shù)字和求除以9的余數(shù)的方法，叫做棄九法。利用這個性質(zhì)可以迅速地判斷一個數(shù)能否被9整除或者求出被9除的余數(shù)是幾。練習(xí)41．6539724能被4，8，9，24，36，72中的哪幾個數(shù)整除？2．個位數(shù)是5，且能被9整除的三位數(shù)共有多少個？3．一些四位數(shù)，百位上的數(shù)字都是3，十位上的數(shù)字都是6，并且它們既能被2整除又能被3整除。它應(yīng)能被9整除，因此B＋C＝6或B＋C＝15。要使所得的商最小，就要使這個六位數(shù)盡可能小。B可取0，3，6，9這4個值。在解題順序上，應(yīng)先確定B所代表的數(shù)字，因為B代表的數(shù)字不受A的取值大小的影響，一旦B代表的數(shù)字確定下來，A所代表的數(shù)字就容易確定了。根據(jù)能被8整除的數(shù)的特征，要求綠藤星教育（***）小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程能被8整除，由此可確定B＝6。解：因為組成的三位數(shù)能同時被2，5整除，所以個位數(shù)字為0。根據(jù)整除的性質(zhì)3，我們可以把判斷整除的范圍進(jìn)一步擴(kuò)大。例1 在下面的數(shù)中，哪些能被4整除？哪些能被8整除？哪些能被9整除？ 234，789，7756，8865。再根據(jù)整除的性質(zhì)2，由（8＋3＋7）能被9整除，就能判斷837能被9整除。類似地可以證明（5）。其中（1）（2）（3）是三年級學(xué)過的內(nèi)容，（4）（5）（6）是本講要學(xué)習(xí)的內(nèi)容。（3）一個數(shù)各個數(shù)位上的數(shù)字之和如果能被3整除，那么這個數(shù)就能被3整除。例如，126能被9整除，又能被7整除，且9與7互質(zhì)，那么126能被97＝63整除。例如，48能被16整除，16能被8整除，那么48一定能被8整除。，敲打的次數(shù)等于該鐘點數(shù)，每半點鐘也敲一下。2］＋3＝113（只）。第一次多了2只球，第二次多了22只球??第十次多了210只球。2=108（根）。問：（1）最大三角形的面積是多少平方厘米？（2）整個圖形由多少根火柴棍擺成？分析：最大三角形共有8層，從上往下擺時，每層的小三角形數(shù)目及所用火柴數(shù)目如下表： 綠藤星教育（***）小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程由上表看出，各層的小三角形數(shù)成等差數(shù)列，各層的火柴數(shù)也成等差數(shù)列。解：末項=25＋3（401）＝142，和=（25＋142）40247。例3 3＋7＋11＋?＋99＝？分析與解：3，7，11，?，99是公差為4的等差數(shù)列，項數(shù)=（99－3）247。2=441。2＝1999000。由高斯的巧算方法，得到等差數(shù)列的求和公式： 和=（首項+末項）項數(shù)247。若干個數(shù)排成一列稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個數(shù)稱為一項，其中第一項稱為首項，最后一項稱為末項。綠藤星教育（***）小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程1～100正好可以分成這樣的50對數(shù)，每對數(shù)的和都相等。在計算多位數(shù)的“補(bǔ)同”型乘法時，如果“補(bǔ)”與“同”，即“頭”與“尾”的位數(shù)相同，那么例2的方法仍然適用（見例4）；如果“補(bǔ)”與“同”的位數(shù)不相同，那么例2的方法不再適用，因為沒有簡捷實用的方法，所以就不再討論了。例如，等都是“補(bǔ)同”型。在一個乘法算式中，當(dāng)被乘數(shù)與乘數(shù)前面的幾位數(shù)相同，后面的幾位數(shù)互補(bǔ)時，這個算式就是“同補(bǔ)”型，即“頭相同，尾互補(bǔ)”型。例1和例2介紹了兩位數(shù)乘以兩位數(shù)的“同補(bǔ)”或“補(bǔ)同”形式的速算法。例2（1）7838＝？（2）4363＝？分析與解：本例兩題都是“頭互補(bǔ)、尾相同”類型。（1）由乘法分配律和結(jié)合律，得到 7674 ＝（70＋6）（70+4）＝（70＋6）70＋（70＋6）4＝7070＋670＋704＋64 ＝70（70＋6＋4）＋64 ＝70（70＋10）＋64 綠藤星教育（***）小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程＝7（7+1）100＋64。在整數(shù)乘法運(yùn)算中，常會遇到像7278，2686等被乘數(shù)與乘數(shù)的十位數(shù)字相同或互補(bǔ)，或被乘數(shù)與乘數(shù)的個位數(shù)字相同或互補(bǔ)的情況。5.（1）1369；（2）2809；（3）8281；（4）4624；（5）11664；（6）157609。：（1）372；（2）532；（3）912；（4）682：（5）1082；（6）3972。，量出12株麥苗的高度分別為（單位：厘米）：26，25，25，23，27，28，26，24，29，27，27，25。于是，我們得到下面的速算式：由上式看出，積的末兩位數(shù)是兩個因數(shù)的個位數(shù)之積，本例為84；積中從百位起前面的數(shù)是“個位與十位相同的因數(shù)”的十位數(shù)與“個位與十位之和為10的因數(shù)”的十位數(shù)加1的乘積，本例為8（6＋1）。請看下面的算式：6646，7388，1944。例4 求9932和20042的值。最后，還要加上“移多補(bǔ)少”的數(shù)的平方。綠藤星教育（***）小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程822＝8282＝（82－2）（82＋2）＋2＝8084＋4＝6720+4＝6724。所謂湊整補(bǔ)零法，就是用所求數(shù)與最接近的整十?dāng)?shù)的差，通過移多補(bǔ)少，將所求數(shù)轉(zhuǎn)化成一個整十?dāng)?shù)乘以另一數(shù)，再加上零頭的平方數(shù)。答：平均每塊麥田的產(chǎn)量為455千克。例2 某農(nóng)場有10塊麥田，每塊的產(chǎn)量如下（單位：千克）：462，480，443，420，473，429，468，439，475，461。由例1得到：總和數(shù)=基準(zhǔn)數(shù)加數(shù)的個數(shù)+累計差，平均數(shù)=基準(zhǔn)數(shù)+累計差247。為了清楚起見，將這一過程表示如下：通過口算，得到差數(shù)累加為9，再加上8010，就可口算出結(jié)果為809。觀察這些數(shù)不難發(fā)現(xiàn)，這些數(shù)雖然大小不等，但相差不大。我們在三年級已經(jīng)講過一些四則運(yùn)算的速算與巧算的方法，本講和下一講主要介紹加法的基準(zhǔn)數(shù)法和乘法的補(bǔ)同與同補(bǔ)速算法。至此，表1可填全為表5。我們先將題目條件中所給出的關(guān)系用下面的表來表示，由條件（1）得到表1，由條件（4）得到表2，由條件（2）（3）得到表3。將上面的結(jié)論依次填入上表，便得到下表：所以，甲是小畫家和歌唱家，乙是短跑健將和跳高冠軍，丙是數(shù)學(xué)博士和大作家。已知每只大筐比每只小筐多裝運(yùn)20千克，那么這批水果有多少千克？9．蜘蛛有8條腿，蜻蜓有6條腿和2對翅膀，蟬有6條腿和1對翅膀。問：賀年卡、明信片各買了幾張？小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程（四年級）6．一個工人植樹，晴天每天植樹20棵，雨天每天植樹12棵，他接連幾天共植樹112棵，平均每天植樹14棵。問：象棋與跳棋各有多少副？3．班級購買活頁簿與日記本合計32本，花錢74元。已知小喜比小樂每分鐘多跳12下，那么小喜比小樂共多跳了多少下？分析與解：利用假設(shè)法，假設(shè)小喜的跳繩速度減少到與小樂一樣，那么兩人跳的總數(shù)減少了12（2＋3）＝60（下）。解：（500－）247。=（元）。（4536）45＝720（噸）。這樣每輛小卡車能裝144247。例6 一批鋼材，用小卡車裝載要45輛，用大卡車裝載只要36輛。問：大、小瓶各有多少個？分析：本題與例4非常類似，仿照例4的解法即可。解：有兔（2100——20）247。問：雞、兔各多少只？分析：假設(shè)100只都是雞，沒有兔，那么就有雞腳200只，而兔的腳數(shù)為零。這樣，就將買文化用品問題轉(zhuǎn)換成雞兔同籠問題了。同樣，也可以假設(shè)100人都是小和尚，同學(xué)們不妨自己試試。如果將大和尚、小和尚分別看作雞和兔，饃看作腿，那么就成了雞兔同籠問題，可以用假設(shè)法來解。由例1看出，解答雞兔同籠問題通常采用假設(shè)法，可以先假設(shè)都是雞，然后以兔換雞；也可以先假設(shè)都是兔，然后以雞換兔。我們以雞去換兔，每換一只，頭的數(shù)目不變，腳數(shù)減少了42＝2（只）。解：有兔（44216）247。小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程（四年級）例1 小梅數(shù)她家的雞與兔，數(shù)頭有16個，數(shù)腳有44只。問：三人各是多少歲？6