【正文】 ”這句話對(duì)嗎?一只口袋里有“大白兔”和“金絲猴”兩種糖若干粒，你至少要抓出多少粒，才會(huì)保證有一種糖不少于2粒?五(3)班共有學(xué)生53人，他們年齡相同，請(qǐng)你證明，至少有兩個(gè)小朋友出生在同一周內(nèi)。不能保證一次能拿出兩個(gè)同顏色的球。把這l9種不同座位數(shù)的汽車看作l9個(gè)抽屜，40輛汽車看作40個(gè)蘋果，每只抽屜中放2個(gè)蘋果，l9個(gè)抽屜中共放38個(gè)蘋果，還有40一38=2(個(gè))蘋果放入相應(yīng)的抽屜中，至少有一個(gè)抽屜中有3個(gè)蘋果，也就是說，至少有3輛客車的座位是相同的。模仿練習(xí)（1）三個(gè)小朋友在一起玩，其中必有兩個(gè)小朋友都是男孩或都是女孩，這是對(duì)的嗎?為什么?（2）學(xué)前班有40名小朋友，老師最少拿多少本書隨意分給小朋友，才能保證至少有一個(gè)小朋友能得到不少于兩本書?例題2：任意的25個(gè)人中，至少有幾個(gè)人的屬相相同?思維點(diǎn)撥： 根據(jù)已知，生肖共12種，把12個(gè)月看成12個(gè)抽屜。把它進(jìn)一步推廣，就可以得到數(shù)學(xué)里重要的抽屜原理?！練g迎你來解】，至少有幾個(gè)同學(xué)在同一個(gè)月過生日？，可以保證至少有一個(gè)籠子中可以有幾只鴿子？、黑、白、黃球各10個(gè)，它們的外型與重量都一樣，至少要摸出幾個(gè)球，才能保證有4個(gè)顏色相同的球？，其中至少要有一只猴子得到7個(gè)蘋果，飼養(yǎng)員至少要拿來多少個(gè)蘋果？，一定可以找到兩個(gè)數(shù)，它們的差是12的倍數(shù)。23． 班上有50名學(xué)生，將書分給大家，至少要拿多少本，才能保證至少有一個(gè)學(xué)生能得到兩本或兩本以上的書。反思：將邊長(zhǎng)為1的正方形分成4個(gè)面積均為1/4 的小正方形，從而構(gòu)造出4個(gè)抽屜，是解決本題的關(guān)鍵。任意五個(gè)數(shù)放入這三個(gè)抽屜中，若每個(gè)抽屜內(nèi)均有數(shù)，則各抽屜取一個(gè)數(shù)，這三個(gè)數(shù)的和是3的倍數(shù)，結(jié)論成立；若至少有一個(gè)抽屜內(nèi)沒有數(shù)，那么5個(gè)數(shù)中必有三個(gè)數(shù)在同一抽屜內(nèi)，這三個(gè)數(shù)的和是3的倍數(shù)，結(jié)論亦成立。解：1，4，7，10，……，100中共有34個(gè)數(shù)，將其分成{4，100}，{7，97}，……，{49，55}，{1}，{52}共18個(gè)抽屜，從這18個(gè)抽屜中任取20個(gè)數(shù)，若取到1和52，則剩下的18個(gè)數(shù)取自前16個(gè)抽屜，至少有4個(gè)數(shù)取自某兩個(gè)抽屜中，結(jié)論成立；若不全取1和52，則有多于18個(gè)數(shù)取自前16個(gè)抽屜，結(jié)論亦成立。共有1＋3＋3＝7（種）情況。根據(jù)抽屜原理2，至少有8＋1＝9（個(gè)）小朋友拿的水果相同。所以不同的水果搭配共有4＋6＝10（種）。因?yàn)?00＝147＋2。問：至少有多少名學(xué)生訂閱的雜志種類相同？分析與解：首先應(yīng)當(dāng)弄清訂閱雜志的種類共有多少種不同的情況。問：一次至少要取出多少木塊，才能保證其中至少有3塊號(hào)碼相同的木塊？分析與解：將1，2，3，4四種號(hào)碼看成4個(gè)抽屜。今有玩具122件，122=340＋2。可構(gòu)造抽屜原理，共構(gòu)造了7個(gè)抽屜。⑤17,18,19,20,21,22,23, ⑥因?yàn)閺那?5個(gè)自然數(shù)中任意取出7個(gè)數(shù),所以至少有兩個(gè)數(shù)取自上面第②組到第⑥組中的某同一組,．一副撲克牌有四種花色，每種花色各有13張，現(xiàn)在從中任意抽牌。①2,3。對(duì)于每一堆蘋果和梨，奇偶可能性有4種：（奇，奇），（奇，偶），（偶，奇），（偶，偶），所以根據(jù)抽屜原理可知最少分了4+1=5筐。如果乘客中有人帶梨，并且其中任何兩位乘客中至少有一個(gè)人帶蘋果，那么乘客中有______人帶蘋果。所以女生有9人，男生有55－9＝46（人）證明：從1，3，5，……，99中任選26個(gè)數(shù)，其中必有兩個(gè)數(shù)的和是100。以這９種配組方式制造９個(gè)抽屜，將這50個(gè)同學(xué)看作蘋果50247。4．有50名運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行某個(gè)項(xiàng)目的單循環(huán)賽，如果沒有平局，也沒有全勝，試證明：一定有兩個(gè)運(yùn)動(dòng)員積分相同。試證明：必有兩個(gè)學(xué)生所借的書的類型相同。抽屜原理練習(xí)題1．木箱里裝有紅色球３個(gè)、黃色球５個(gè)、藍(lán)色球７個(gè)，若蒙眼去摸，為保證取出的球中有兩個(gè)球的顏色相同，則最少要取出多少個(gè)球？解：把３種顏色看作３個(gè)抽屜，若要符合題意，則小球的數(shù)目必須大于３，故至少取出４個(gè)小球才能符合要求。思考題：把18這8個(gè)數(shù)任意圍成一個(gè)圓圈。解答：所有的整數(shù)按照除以3的余數(shù)都可以分在三個(gè)集合里：{3k+1},{3k+2},{3k},其中k為整數(shù)。把紅、黃、藍(lán)三種顏色的小棒各10根混在一起。能說明其中的道理嗎？解答：物體數(shù)：3個(gè)（奇、奇），（奇、偶），（偶、偶），其和為2偶1奇。張叔叔參加飛鏢比賽，投了5鏢，成績(jī)是41環(huán)。試一試，并說明理由。至少取多少個(gè)球，可以保證取道兩個(gè)顏色相同的球？解答：要摸出多少個(gè)球就是物體的個(gè)數(shù)，即要所求。六（2）班中至少有5人是一個(gè)月出生的。結(jié)果是摸出的球數(shù)比顏色數(shù)多1，即3個(gè)球。剩下的2只鴿子還要飛進(jìn)鴿舍里。（注意用“商+1”就可以了，不是“商+余數(shù)”）學(xué)會(huì)歸納總結(jié)。（二）例2和做一做例把5本書放進(jìn)2個(gè)抽屜里，不管怎么放，總有一個(gè)抽屜至少放進(jìn)3本書。為什么？解答：假設(shè)每個(gè)鴿舍只飛進(jìn)1只鴿子，最飛進(jìn)5只鴿子。因此，至少有2枝鉛筆放進(jìn)同一個(gè)文具盒。體驗(yàn)方法多樣（1）枚舉法：（0、0），（0），（0），（1），（2）假設(shè)法（用極端法做最壞的打算）假設(shè)每個(gè)文具盒只放1枝鉛筆，最多放3只。使學(xué)生經(jīng)歷將具體問題“數(shù)學(xué)化”的過程，培養(yǎng)學(xué)生的“模型”思想。通過操作、觀察、比較、推理等活動(dòng)，讓學(xué)生經(jīng)歷“抽屜原理”的探究過程，并逐步理解和掌握“抽屜原理”。本節(jié)課教材借助把4枝鉛筆放進(jìn)3個(gè)文具盒中的操作情境，介紹了一類較簡(jiǎn)單的“抽屜原理”，即把m個(gè)物體任意分放進(jìn)n個(gè)空抽屜里（mn，n是非0自然數(shù)），那么一定有一個(gè)抽屜中放進(jìn)了至少2個(gè)物體。四、抽屜原理的教材分析“數(shù)學(xué)廣角”是人教版六年級(jí)下冊(cè)第五單元的內(nèi)容。（2）“任意放”的意思是不限制把物品放進(jìn)抽屜里的方法，不規(guī)定每個(gè)抽屜中都要放物品，即有些抽屜可以是空的，也不限制每個(gè)抽屜放物品的個(gè)數(shù)。根據(jù)題目條件和結(jié)論，結(jié)合有關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)，抓住最基本的數(shù)量關(guān)系，設(shè)計(jì)和確定解決問題所需的抽屜及其個(gè)數(shù)，為使用抽屜鋪平道路。二、運(yùn)用抽屜原理解題的步驟第一步：分析題意。原理1：多于n個(gè)的元素，按任一確定方式分成n個(gè)集合，則至少有一個(gè)集合中含有至少二個(gè)元素。從六人集會(huì)問題的證明中，我們又一次看到了抽屜原理的應(yīng)用。如果BC，BD，CD 3條連線中有一條（不妨設(shè)為BC）也為紅色，那么三角形ABC即一個(gè)紅色三角形，A、B、C代表的3個(gè)人以前彼此相識(shí)：如果BC、BD、CD 3條連線全為藍(lán)色，那么三角形BCD即一個(gè)藍(lán)色三角形，B、C、D代表的3個(gè)人以前彼此不相識(shí)?！边@個(gè)問題可以用如下方法簡(jiǎn)單明了地證出：在平面上用6個(gè)點(diǎn)A、B、C、D、E、F分別代表參加集會(huì)的任意6個(gè)人。如果問題所討論的對(duì)象有無限多個(gè)，抽屜原理還有另一種表述：“把無限多個(gè)東西任意分放進(jìn)n個(gè)空抽屜（n是自然數(shù)），那么一定有一個(gè)抽屜中放進(jìn)了無限多個(gè)東西。這相當(dāng)于把6個(gè)東西放入5個(gè)抽屜，至少有2個(gè)東西在同一抽屜里。”在上面的第一個(gè)結(jié)論中，由于一年最多有366天，因此在367人中至少有2人出生在同月同日。”“從數(shù)1，2，...，10中任取6個(gè)數(shù)，其中至少有2個(gè)數(shù)為奇偶性不同。例題１：：生日從1月1日排到12月31日，共有366個(gè)不相同的生日，我們把366個(gè)不同的生日看作366個(gè)抽屜，400人視為400個(gè)蘋果，由表現(xiàn)形式1可知，至少有兩人在同一個(gè)抽屜里，：將一年中的366天視為366個(gè)抽屜，400個(gè)人看作400個(gè)蘋果，由抽屜原理的表現(xiàn)形式1可以得知：：任取5個(gè)整數(shù)，必然能夠從中選出三個(gè)，：任意給一個(gè)整數(shù)，它被3除，余數(shù)可能為0，1，2，我們把被3除余數(shù)為0，1，2的整數(shù)各歸入類r０，r1，：１176。（用反證法）假設(shè)結(jié)論不成立，即對(duì)每一個(gè)ai都有ai＜[n/k]，于是有：a1＋a2＋…＋ak＜[n/k]+[n/k]+…+[n/k] ＝k?[n/k]≤k?(n/k)＝nk個(gè)[n/k] ∴ a1＋a2＋…＋ak＜n 這與題設(shè)相矛盾。所以，至少有一個(gè)ai≥2，即必有一個(gè)集合中含有兩個(gè)或兩個(gè)以上的元素。抽屜原則有時(shí)也被稱為鴿巢原理，它是德國(guó)數(shù)學(xué)家狄利克雷首先明確的提出來并用以證明一些數(shù)論中的問題，因此，也稱為狄利克雷原則。例4：某校校慶，來了n位校友，在這n個(gè)校友中至少有兩人握手的次數(shù)一樣多。另外還有4個(gè)不能配對(duì)的數(shù)｛9｝，｛10｝，｛11｝，｛12｝，共制成12個(gè)抽屜（每個(gè)括號(hào)看成一個(gè)抽屜）.只要有兩個(gè)數(shù)取自同一個(gè)抽屜，那么它們的差就等于12，根據(jù)抽屜原理至少任選13個(gè)數(shù)，即可辦到（取12個(gè)數(shù)：從12個(gè)抽屜中各取一個(gè)數(shù)（例如取1，2，3，…，12），那么這12個(gè)數(shù)中任意兩個(gè)數(shù)的差必不等于12）。分析與解答 我們用題目中的15個(gè)偶數(shù)制造8個(gè)抽屜：凡是抽屜中有兩個(gè)數(shù)的，都具有一個(gè)共同的特點(diǎn)：這兩個(gè)數(shù)的和是34。這樣又由鴿籠原理知B至少與另三位討論同一問題，不妨設(shè)這三位是C，D，E，且討論的是乙問題。解：不妨設(shè)A是某科學(xué)家，他與其余16位討論僅三個(gè)問題，由鴿籠原理知，他至少與其中的6位討論同一問題。因而無論怎樣著色，在這六點(diǎn)之間的所有線段中至少能找到一個(gè)同色三角形。于是點(diǎn)H有確定的位置（它在正方形一對(duì)對(duì)邊中點(diǎn)的連線上，且|MH|:|NH|＝２:３）.由幾何上的對(duì)稱性，這種點(diǎn)共有四個(gè)（即圖中的H、J、I、K）.已知的九條適合條件的分割直線中的每一條必須經(jīng)過H、J、I、J、I、K看成四個(gè)抽屜，九條直線當(dāng)成９個(gè)物體，即可得出必定有３條分割線經(jīng)過同一點(diǎn).（三）染色問題例1正方體各面上涂上紅色或藍(lán)色的油漆（每面只涂一種色），：把兩種顏色當(dāng)作兩個(gè)抽屜，把正方體六個(gè)面當(dāng)作物體，那么6=22+2，根據(jù)原理二， 有5個(gè)小朋友，這5個(gè)人中至少有兩個(gè)小朋友摸出的棋子的顏色的配組是一樣的。例1 證明：任取8個(gè)自然數(shù)，必有兩個(gè)數(shù)的差是7的倍數(shù)?！崩?： 幼兒園買來了不少白兔、熊貓、長(zhǎng)頸鹿塑料玩具，每個(gè)小朋友任意選擇兩件，那么不管怎樣挑選，在任意七個(gè)小朋友中總有兩個(gè)彼此選的玩具都相同， ：從三種玩具中挑選兩件，搭配方式只能是下面六種：（兔、兔），（兔、熊貓），（兔、長(zhǎng)頸鹿），（熊貓、熊貓），（熊貓、長(zhǎng)頸鹿），（長(zhǎng)頸鹿、長(zhǎng)頸鹿）。[證明]（反證法）：若每個(gè)抽屜都有不少于m個(gè)物體，則總共至少有mn個(gè)物體，與題設(shè)矛盾，故不可能二．應(yīng)用抽屜原理解題抽屜原理的內(nèi)容簡(jiǎn)明樸素，易于接受，它在數(shù)學(xué)問題中有重要的作用。它是組合數(shù)學(xué)中一個(gè)重要的原理。這一現(xiàn)象就是我們所說的抽屜原理。提示：三個(gè)球中根據(jù)紅球的個(gè)數(shù)可分為4種不同情況。（41）=43……1。問：至少有幾名同學(xué)拿球的情況完全一樣？、白兩種顏色的球，有若干人輪流從袋中取球，每人取三個(gè)球。共有1＋3＋3＝7（種）情況。根據(jù)抽屜原理2，至少有8＋1＝9（個(gè)）小朋友拿的水果相同。所以不同的水果搭配共有4＋6＝10（種）。因?yàn)?00＝147＋2。問：至少有多少名學(xué)生訂閱的雜志種類相同？分析與解：首先應(yīng)當(dāng)弄清訂閱雜志的種類共有多少種不同的情況。問：一次至少要取出多少木塊，才能保證其中至少有3塊號(hào)碼相同的木塊？ 分析與解：將1，2，3，4四種號(hào)碼看成4個(gè)抽屜。今有玩具122件，122=340＋2。這就說明了抽屜原理2。這說明一開始的假定不能成立。抽屜原理2：將多于mn件的物品任意放到n個(gè)抽屜中，那么至少有一個(gè)抽屜中的物品的件數(shù)不少于m+1。道理很簡(jiǎn)單。練習(xí)難度：困難 類型：填空題 答案：22 36．一副撲克牌共54張，其中有2張王牌，還有黑桃、紅心、草花和方塊4種花色的牌各13張．那么至少抽出_______張牌，才能保證取出的牌中至少包含3種花色，并且這3種花色的牌至少都有4張． 來源：2015練習(xí)難度：簡(jiǎn)單 類型：填空題 答案：31 34．一副撲克牌共54張，其中有2張王牌，還有黑桃、紅心、草花和方塊4種花色的牌各13張．那么至少抽出_______張牌，才能保證取出的牌中至少包含3種花色，并且這3種花色的牌至少都有2張． 來源：2015練習(xí)難度：簡(jiǎn)單 類型：填空題 答案：29 32．籠子里有一些包子，其中雞肉餡的5個(gè)，魚肉餡的8個(gè)，牛肉餡的10個(gè)，白菜餡的15個(gè)，那么至少吃_______個(gè)包子，才能保證一定能吃到雞肉餡和魚肉餡的． 來源：2015練習(xí)難度：簡(jiǎn)單 類型：填空題 答案：25 30．盒子里有白色、紅色、黃色、綠色的粉筆各20根，一次性至少取出_______根粉筆，才能保證取出的粉筆中一定會(huì)有白色和紅色的粉筆． 來源：2015練習(xí)難度：簡(jiǎn)單 類型：填空題 答案：13 28．盒子里有白色、紅色、黃色、綠色的粉筆各10根，一次性至少取出_______根粉筆，才能保證取出的粉筆中一定會(huì)有白色和紅色的粉筆． 來源：2015練習(xí)難度：簡(jiǎn)單 類型：填空題 答案：11 26．袋子里有紅色的球6個(gè)，黑色的球7個(gè)，黃色的球10個(gè)，綠色的球8個(gè)，那么一次至少拿_______個(gè)球，才能保證取出的球至少有三種顏