【正文】 00個數(shù)的和。3．有一串?dāng)?shù)，前兩個數(shù)是9和7，從第三個數(shù)起，每個數(shù)是它前面兩個數(shù)乘積的個位數(shù)。這串?dāng)?shù)中第100個數(shù)是幾？前100個數(shù)之和是多少？4．有一列數(shù)，第一個數(shù)是6，以后每一個數(shù)都是它前面一個數(shù)與7的和的個位數(shù)。這列數(shù)中第88個數(shù)是幾？5．小明按1～3報(bào)數(shù)，小紅按1～4報(bào)數(shù)。兩人以同樣的速度同時(shí)開始報(bào)數(shù)，當(dāng)兩人都報(bào)了100個數(shù)時(shí)，有多少次兩人報(bào)的數(shù)相同？6．A，B，C，D四個盒子中依次放有9，6，3，0個小球。第1個小朋友找到放球最多的盒子，從中拿出3個球放到其它盒子中各1個球；第2綠藤星教育（***）小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程個小朋友也找到放球最多的盒子，也從中拿出3個球放到其它盒子中各1個球??當(dāng)100個小朋友放完后，A，B，C，D四個盒子中各放有幾個球？第8講 找規(guī)律（二）整數(shù)a與它本身的乘積，即aa叫做這個數(shù)的平方，記作a2，即a2＝aa；同樣，三個a的乘積叫做a的三次方，記作a3，即a3＝aaa。一般地，n個a相乘，叫做a的n次方，記作an，即本講主要講an的個位數(shù)的變化規(guī)律，以及an除以某數(shù)所得余數(shù)的變化規(guī)律。因?yàn)榉e的個位數(shù)只與被乘數(shù)的個位數(shù)和乘數(shù)的個位數(shù)有關(guān)，所以an的個位數(shù)只與a的個位數(shù)有關(guān)，而a的個位數(shù)只有0，1，2，?，9共十種情況，故我們只需討論這十種情況。為了找出一個整數(shù)a自乘n次后，乘積的個位數(shù)字的變化規(guī)律，我們列出下頁的表格，看看a，a2，a3，a4，?的個位數(shù)字各是什么。從表看出，an的個位數(shù)字的變化規(guī)律可分為三類：（1）當(dāng)a的個位數(shù)是0，1，5，6時(shí)，an的個位數(shù)仍然是0，1，5，6。（2）當(dāng)a的個位數(shù)是4，9時(shí)，隨著n的增大，an的個位數(shù)按每兩個數(shù)為一周期循環(huán)出現(xiàn)。其中a的個位數(shù)是4時(shí)，按4，6的順序循環(huán)出現(xiàn)；a的個位數(shù)是9時(shí)，按9，1的順序循環(huán)出現(xiàn)。（3）當(dāng)a的個位數(shù)是2，3，7，8時(shí)，隨著n的增大，an的個位數(shù)按每四個數(shù)為一周期循環(huán)出現(xiàn)。其中a的個位數(shù)是2時(shí)，按2，4，8，6的順序循環(huán)出現(xiàn)；a的個位數(shù)是3時(shí)，按3，9，7，1的順序循環(huán)出現(xiàn)；當(dāng)a的綠藤星教育（***）小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程個位數(shù)是7時(shí)，按7，9，3，1的順序循環(huán)出現(xiàn)；當(dāng)a的個位數(shù)是8時(shí)，按8，4，2，6的順序循環(huán)出現(xiàn)。例1 求67999的個位數(shù)字。分析與解：因?yàn)?7的個位數(shù)是7，所以67n的個位數(shù)隨著n的增大，按7，9，3，1四個數(shù)的順序循環(huán)出現(xiàn)。999247。4＝249??3，所以67999的個位數(shù)字與73的個位數(shù)字相同，即67999的個位數(shù)字是3。例2 求291+3291的個位數(shù)字。分析與解：因?yàn)?n的個位數(shù)字按2，4，8，6四個數(shù)的順序循環(huán)出現(xiàn)，91247。4＝22??3，所以，291的個位數(shù)字與23的個位數(shù)字相同，等于8。類似地，3n的個位數(shù)字按3，9，7，1四個數(shù)的順序循環(huán)出現(xiàn)，291247。4＝72??3，所以3291與33的個位數(shù)相同，等于7。最后得到291+3291的個位數(shù)字與8+7的個位數(shù)字相同，等于5。例3 求281282929的個位數(shù)字。解：由128247。4＝32知，28128的個位數(shù)與84的個位數(shù)相同，等于6。由29247。2＝14??1知，2929的個位數(shù)與91的個位數(shù)相同，等于9。因?yàn)?＜9，在減法中需向十位借位，所以所求個位數(shù)字為16－9＝7。綠藤星教育（***）小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程例4 求下列各除法運(yùn)算所得的余數(shù)：（1）7855247。5；（2）555247。3。分析與解：（1）由55247。4＝13??3知，7855的個位數(shù)與83的個位數(shù)相同，等于2，所以7855可分解為10a＋2。因?yàn)?0a能被5整除，所以7855除以5的余數(shù)是2。（2）因?yàn)閍247。3的余數(shù)不僅僅與a的個位數(shù)有關(guān)，所以不能用求555的個位數(shù)的方法求解。為了尋找5n247。3的余數(shù)的規(guī)律，先將5的各次方除以3的余數(shù)列表如下：注意：表中除以3的余數(shù)并不需要計(jì)算出5n，然后再除以3去求，而是用上次的余數(shù)乘以5后，再除以3去求。比如，52除以3的余數(shù)是1，53除以3的余數(shù)與15=5除以3的余數(shù)相同。這是因?yàn)?2＝38+1，其中38能被3整除，而53=（38+1）5=（38）5+15，（38）5能被3整除，所以53除以3的余數(shù)與15除以3的余數(shù)相同。由上表看出，5n除以3的余數(shù)，隨著n的增大，按2，1的順序循環(huán)出現(xiàn)。由55247。2=27??1知，555247。3的余數(shù)與51247。3的余數(shù)相同，等于2。例5 某種細(xì)菌每小時(shí)分裂一次，每次1個細(xì)茵分裂成3個細(xì)菌。20時(shí)后，將這些細(xì)菌每7個分為一組，還剩下幾個細(xì)菌？分析與解：1時(shí)后有13=31（個）細(xì)菌，2時(shí)后有313=32（個）細(xì)菌??20時(shí)后，有320個細(xì)菌，所以本題相當(dāng)于“求320247。7的余數(shù)”。綠藤星教育（***）小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程由例4（2）的方法，將3的各次方除以7的余數(shù)列表如下：由上表看出，3n247。7的余數(shù)以六個數(shù)為周期循環(huán)出現(xiàn)。由20247。6＝3??2知，320247。7的余數(shù)與32247。7的余數(shù)相同，等于2。所以最后還剩2個細(xì)菌。最后再說明一點(diǎn)，an247。b所得余數(shù)，隨著n的增大，必然會出現(xiàn)周期性變化規(guī)律，因?yàn)樗糜鄶?shù)必然小于b，所以在b個數(shù)以內(nèi)必會重復(fù)出現(xiàn)。練習(xí)81．求下列各數(shù)的個位數(shù)字：（1）3838；（2）2930；（3）6431；（4）172．求下列各式運(yùn)算結(jié)果的個位數(shù)字：（1）9222＋5731；（2）615+487+349；（3）4696211；（4）3748+59610。3．求下列各除法算式所得的余數(shù)：（1）5100247。4；（2）8111247。6；（3）488247。7 第9講 數(shù)字謎（一）我們在三年級已經(jīng)學(xué)習(xí)過一些簡單的數(shù)字謎問題。這兩講除了復(fù)習(xí)鞏固學(xué)過的知識外，還要學(xué)習(xí)一些新的內(nèi)容。例1 在下面算式等號左邊合適的地方添上括號，使等式成立：5+78+12247。42＝20。分析：等式右邊是20，而等式左邊算式中的78所得的積比20大得多。因此必須設(shè)法使這個積縮小一定的倍數(shù)，化大為小。從整個算式來看，78是4的倍數(shù)，12也是4的倍數(shù)，5不能被4整除，因此可在78+12前后添上小括號，再除以4得17，5＋172=20。綠藤星教育（***）小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程解：5+（78+12）247。42=20。例2 把1～9這九個數(shù)字填到下面的九個□里，組成三個等式（每個數(shù)字只能填一次）：分析與解：如果從加法與減法兩個算式入手，那么會出現(xiàn)許多種情形。如果從乘法算式入手，那么只有下面兩種可能：23＝6或24＝8，所以應(yīng)當(dāng)從乘法算式入手。因?yàn)樵诩臃ㄋ闶健?□=□中，等號兩邊的數(shù)相等，所以加法算式中的三個□內(nèi)的三個數(shù)的和是偶數(shù)；而減法算式□□=可以變形為加法算式□=□+□，所以減法算式中的三個□內(nèi)的三個數(shù)的和也是偶數(shù)。于是可知，原題加減法算式中的六個數(shù)的和應(yīng)該是偶數(shù)。若乘法算式是24＝8，則剩下的六個數(shù)1，3，5，6，7，9的和是奇數(shù)，不合題意；若乘法算式是23＝6，則剩下的六個數(shù)1，4，5，7，8，9可分為兩組：4＋5＝9，87＝1（或81＝7）；1＋7＝8，9－5＝4（或9－4＝5）。所以答案為 與綠藤星教育（***）小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程例3 下面的算式是由1～9九個數(shù)字組成的，其中“7”已填好，請將其余各數(shù)填入□，使得等式成立：□□□247?！酢?□□=□7。分析與解：因?yàn)樽蠖顺ㄊ阶拥纳瘫卮笥诘扔?，所以右端被減數(shù)只能填9，由此知左端被除數(shù)的百位數(shù)只能填1，故中間減式有86，64，53和42四種可能。經(jīng)逐一驗(yàn)證，86，64和42均無解，只有當(dāng)中間減式為53時(shí)有如下兩組解：128247。64=53=97，或 164247。82＝53＝97。例4 將1～9九個數(shù)字分別填入下面四個算式的九個□中，使得四個等式都成立：□+□=6，□□=8，□□=6，□□247?！?8。分析與解：因?yàn)槊總€□中要填不同的數(shù)字，對于加式只有兩種填法：1＋5或2＋4；對于乘式也只有兩種填法：18或24。加式與乘式的數(shù)字不能相同，搭配后只有兩種可能：（1）加式為1＋5，乘式為24；（2）加式為2+4，乘式為18。對于（1），還剩3，6，7，8，9五個數(shù)字未填，減式只能是93，此時(shí)除式無法滿足；對于（2），還剩3，5，6，7，9五個數(shù)字未填，減式只能是93，此時(shí)除式可填56247。7。答案如下：2＋4＝6，18＝8，9－3＝6，56247。7＝8。綠藤星教育（***）小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程例2～例4都是對題目經(jīng)過初步分析后，將滿足題目條件的所有可能情況全部列舉出來，再逐一試算，決定取舍。這種方法叫做枚舉法，也叫窮舉法或列舉法，它適用于只有幾種可能情況的題目，如果可能的情況很多，那么就不宜用枚舉法。例5 從1～9這九個自然數(shù)中選出八個填入下式的八個○內(nèi)，使得算式的結(jié)果盡可能大：[○247?！穑ā?○）][○○+○○]。分析與解：為使算式的結(jié)果盡可能大，應(yīng)當(dāng)使前一個中括號內(nèi)的結(jié)果盡量大，后一個中括號內(nèi)的結(jié)果盡量小。為敘述方便，將原式改寫為：[A247。B（C＋D）][EF＋G－H]。通過分析，A，C，D，H應(yīng)盡可能大，且A應(yīng)最大，C，D次之，H再次之；B，E，F(xiàn)，G應(yīng)盡可能小，且B應(yīng)最小，E，F(xiàn)次之，G再次之。于是得到A=9，C=8，D=7，H=6，B=1，E=2，F(xiàn)=3，G=4，其中C與D，E與F的值可互換。將它們代入算式，得到[9247。1（8＋7）]－[23＋4－6]=131。練習(xí)91．在下面的算式里填上括號，使等式成立：（1）46+24247。65=15；（2）46+24247。65=35；（3）46+24247。65=48；（4）46+24247。65＝0。2．加上適當(dāng)?shù)倪\(yùn)算符號和括號，使下式成立：＝100。綠藤星教育（***）小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程3．把0～9這十個數(shù)字填到下面的□里，組成三個等式（每個數(shù)字只能填一次）：□+□=□，□□=□，□□=□□。4．在下面的□里填上+，，247。，（）等符號，使各個等式成立：4□4□4□4＝1，4□4□4□4＝3，4□4□4□4＝5，4□4□4□4＝9。5．將2～7這六個數(shù)字分別填入下式的□中，使得等式成立：□+□□=□□247?！?。6．將1～9分別填入下式的九個□內(nèi)，使算式取得最大值：□□□□□□□□□。7．將1～8分別填入下式的八個□內(nèi)，使算式取得最小值： □□□□□□□□。第10講 數(shù)字謎（二）例1 把下面算式中缺少的數(shù)字補(bǔ)上：分析與解：一個四位數(shù)減去一個三位數(shù)，差是一個兩位數(shù)，也就是說被減數(shù)與減數(shù)相差不到100。四位數(shù)與三位數(shù)相差不到100，三位數(shù)必然大于900，四位數(shù)必然小于1100。由此我們找出解決本題的突破口在百位數(shù)上。綠藤星教育（***）小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程（1）填百位與千位。由于被減數(shù)是四位數(shù)，減數(shù)是三位數(shù)，差是兩位數(shù)，所以減數(shù)的百位應(yīng)填9，被減數(shù)的千位應(yīng)填1，百位應(yīng)填0，且十位相減時(shí)必須向百位借1。（2）填個位。由于被減數(shù)個位數(shù)字是0，差的個位數(shù)字是1，所以減數(shù)的個位數(shù)字是9。（3）填十位。由于個位向十位借1，十位又向百位借1，所以被減數(shù)十位上的實(shí)際數(shù)值是18，18分解成兩個一位數(shù)的和，只能是9與9，因此，減數(shù)與差的十位數(shù)字都是9。所求算式如右式。由例1看出，考慮減法算式時(shí)，借位是一個重要條件。例2 在下列各加法算式中，相同的漢字代表相同的數(shù)字，不同的漢字代表不同的數(shù)字，求出這兩個算式：分析與解：（1）這是一道四個數(shù)連加的算式，其特點(diǎn)是相同數(shù)位上的數(shù)字相同，且個位與百位上的數(shù)字相同，即都是漢字“學(xué)”。從個位相同數(shù)相加的情況來看，和的個位數(shù)字是8，有兩種可能情況：2＋2＋2＋2＝8與7＋7＋7＋7＝28，即“學(xué)”＝2或7。如果“學(xué)”＝2，那么要使三個“數(shù)”所代表的數(shù)字相加的和的個位數(shù)字為8，“數(shù)”只能代表數(shù)字6。此時(shí)，百位上的和為“學(xué)”＋“學(xué)”＋1＝2＋2＋1＝5≠4。因此“學(xué)”≠2。綠藤星教育（***）小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程如果“學(xué)”＝7，那么要使三個“數(shù)”所代表的數(shù)字相加再加上個位進(jìn)位的2，和的個位數(shù)字為8，“數(shù)”只能代表數(shù)字2。百位上兩個7相加要向千位進(jìn)位1，由此可得“我”代表數(shù)字3。滿足條件的解如右式。（2）由千位看出，“努”=4。由千、百、十、個位上都有“努”，54324444=988，可將豎式簡化為左下式。同理，由左下式看出，“力”=8，988888=100，可將左下式簡化為下中式，從而求出“學(xué)”=9，“習(xí)”=1。滿足條件的算式如右下式。例2中的兩題形式類似，但題目特點(diǎn)并不相同，解法也不同，請同學(xué)們注意比較。例3 下面豎式中每個漢字代表一個數(shù)字，不同的漢字代表不同的數(shù)字，求被乘數(shù)。分析與解：由于個位上的“賽”“賽”所得的積不再是“賽”，而是另一個數(shù)，所以“賽”的取值只能是2，3，4，7，8，9。下面采用逐一試驗(yàn)的方法求解。（1）若“賽”＝2，則“數(shù)”＝4，積=444444。被乘數(shù)為444444247。2＝222222，而被乘數(shù)各個數(shù)位上的數(shù)字各不相同，所以“賽”≠2。綠藤星教育（***）小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程（2）若“賽”＝3，則“數(shù)”=9，仿（1）討論，也不行。（3）若“賽”＝4，則“數(shù)”＝6，積=666666。666666247。4得不到整數(shù)商，不合題意。（4）若“賽”＝7，則“數(shù)”＝9，積=999999。被乘數(shù)為999999247。7＝142857，符合題意。（5）若“賽”＝8或9，仿上討論可知，不合題意。所以，被乘數(shù)是142857。例4 在□內(nèi)填入適當(dāng)?shù)臄?shù)字，使左下式的乘法豎式成立。分析與解：為清楚起見，我們用A，B，C，D，?表示□內(nèi)應(yīng)填入的數(shù)字（見右上式）。由被乘數(shù)大于500知，E=1。由于乘數(shù)的百位數(shù)與被乘數(shù)的乘積的末位數(shù)是5，故B，C中必有一個是5。若C＝5，則有6□□5=（600+□□）5=3000+□□5，不可能等于□5□5，與題意不符，所以B=5。再由B=5推知G=0或5。若G=5，則F=A=9，此時(shí)被