【正文】 再由B=5推知G=0或5。由于乘數(shù)的百位數(shù)與被乘數(shù)的乘積的末位數(shù)是5，故B，C中必有一個是5。分析與解：為清楚起見，我們用A，B，C，D，?表示□內(nèi)應填入的數(shù)字（見右上式）。所以，被乘數(shù)是142857。7＝142857，符合題意。（4）若“賽”＝7，則“數(shù)”＝9，積=999999。666666247。綠藤星教育（***）小學奧數(shù)基礎教程（2）若“賽”＝3，則“數(shù)”=9，仿（1）討論，也不行。被乘數(shù)為444444247。下面采用逐一試驗的方法求解。例3 下面豎式中每個漢字代表一個數(shù)字，不同的漢字代表不同的數(shù)字，求被乘數(shù)。滿足條件的算式如右下式。由千、百、十、個位上都有“努”，54324444=988，可將豎式簡化為左下式。滿足條件的解如右式。綠藤星教育（***）小學奧數(shù)基礎教程如果“學”＝7，那么要使三個“數(shù)”所代表的數(shù)字相加再加上個位進位的2，和的個位數(shù)字為8，“數(shù)”只能代表數(shù)字2。此時，百位上的和為“學”＋“學”＋1＝2＋2＋1＝5≠4。從個位相同數(shù)相加的情況來看，和的個位數(shù)字是8，有兩種可能情況：2＋2＋2＋2＝8與7＋7＋7＋7＝28，即“學”＝2或7。由例1看出，考慮減法算式時，借位是一個重要條件。由于個位向十位借1，十位又向百位借1，所以被減數(shù)十位上的實際數(shù)值是18，18分解成兩個一位數(shù)的和，只能是9與9，因此，減數(shù)與差的十位數(shù)字都是9。由于被減數(shù)個位數(shù)字是0，差的個位數(shù)字是1，所以減數(shù)的個位數(shù)字是9。由于被減數(shù)是四位數(shù)，減數(shù)是三位數(shù)，差是兩位數(shù)，所以減數(shù)的百位應填9，被減數(shù)的千位應填1，百位應填0，且十位相減時必須向百位借1。由此我們找出解決本題的突破口在百位數(shù)上。第10講 數(shù)字謎（二）例1 把下面算式中缺少的數(shù)字補上：分析與解：一個四位數(shù)減去一個三位數(shù)，差是一個兩位數(shù)，也就是說被減數(shù)與減數(shù)相差不到100。6．將1～9分別填入下式的九個□內(nèi)，使算式取得最大值：□□□□□□□□□。5．將2～7這六個數(shù)字分別填入下式的□中，使得等式成立：□+□□=□□247。4．在下面的□里填上+，，247。2．加上適當?shù)倪\算符號和括號，使下式成立：＝100。65=48；（4）46+24247。65=15；（2）46+24247。1（8＋7）]－[23＋4－6]=131。于是得到A=9，C=8，D=7，H=6，B=1，E=2，F(xiàn)=3，G=4，其中C與D，E與F的值可互換。B（C＋D）][EF＋G－H]。分析與解：為使算式的結果盡可能大，應當使前一個中括號內(nèi)的結果盡量大，后一個中括號內(nèi)的結果盡量小。例5 從1～9這九個自然數(shù)中選出八個填入下式的八個○內(nèi)，使得算式的結果盡可能大：[○247。綠藤星教育（***）小學奧數(shù)基礎教程例2～例4都是對題目經(jīng)過初步分析后，將滿足題目條件的所有可能情況全部列舉出來，再逐一試算，決定取舍。答案如下：2＋4＝6，18＝8，9－3＝6，56247。對于（1），還剩3，6，7，8，9五個數(shù)字未填，減式只能是93，此時除式無法滿足；對于（2），還剩3，5，6，7，9五個數(shù)字未填，減式只能是93，此時除式可填56247。分析與解：因為每個□中要填不同的數(shù)字，對于加式只有兩種填法：1＋5或2＋4；對于乘式也只有兩種填法：18或24。例4 將1～9九個數(shù)字分別填入下面四個算式的九個□中，使得四個等式都成立：□+□=6，□□=8，□□=6，□□247。64=53=97，或 164247。分析與解：因為左端除法式子的商必大于等于2，所以右端被減數(shù)只能填9，由此知左端被除數(shù)的百位數(shù)只能填1，故中間減式有86，64，53和42四種可能。所以答案為 與綠藤星教育（***）小學奧數(shù)基礎教程例3 下面的算式是由1～9九個數(shù)字組成的，其中“7”已填好，請將其余各數(shù)填入□，使得等式成立：□□□247。于是可知，原題加減法算式中的六個數(shù)的和應該是偶數(shù)。如果從乘法算式入手，那么只有下面兩種可能：23＝6或24＝8，所以應當從乘法算式入手。42=20。從整個算式來看，78是4的倍數(shù)，12也是4的倍數(shù)，5不能被4整除，因此可在78+12前后添上小括號，再除以4得17，5＋172=20。分析：等式右邊是20，而等式左邊算式中的78所得的積比20大得多。例1 在下面算式等號左邊合適的地方添上括號，使等式成立：5+78+12247。7 第9講 數(shù)字謎（一）我們在三年級已經(jīng)學習過一些簡單的數(shù)字謎問題。4；（2）8111247。練習81．求下列各數(shù)的個位數(shù)字：（1）3838；（2）2930；（3）6431；（4）172．求下列各式運算結果的個位數(shù)字：（1）9222＋5731；（2）615+487+349；（3）4696211；（4）3748+59610。最后再說明一點，an247。7的余數(shù)相同，等于2。6＝3??2知，320247。7的余數(shù)以六個數(shù)為周期循環(huán)出現(xiàn)。7的余數(shù)”。例5 某種細菌每小時分裂一次，每次1個細茵分裂成3個細菌。3的余數(shù)與51247。由55247。這是因為52＝38+1，其中38能被3整除，而53=（38+1）5=（38）5+15，（38）5能被3整除，所以53除以3的余數(shù)與15除以3的余數(shù)相同。3的余數(shù)的規(guī)律，先將5的各次方除以3的余數(shù)列表如下：注意：表中除以3的余數(shù)并不需要計算出5n，然后再除以3去求，而是用上次的余數(shù)乘以5后，再除以3去求。3的余數(shù)不僅僅與a的個位數(shù)有關，所以不能用求555的個位數(shù)的方法求解。因為10a能被5整除，所以7855除以5的余數(shù)是2。分析與解：（1）由55247。5；（2）555247。因為6＜9，在減法中需向十位借位，所以所求個位數(shù)字為16－9＝7。由29247。解：由128247。最后得到291+3291的個位數(shù)字與8+7的個位數(shù)字相同，等于5。類似地，3n的個位數(shù)字按3，9，7，1四個數(shù)的順序循環(huán)出現(xiàn)，291247。分析與解：因為2n的個位數(shù)字按2，4，8，6四個數(shù)的順序循環(huán)出現(xiàn)，91247。4＝249??3，所以67999的個位數(shù)字與73的個位數(shù)字相同，即67999的個位數(shù)字是3。分析與解：因為67的個位數(shù)是7，所以67n的個位數(shù)隨著n的增大，按7，9，3，1四個數(shù)的順序循環(huán)出現(xiàn)。其中a的個位數(shù)是2時，按2，4，8，6的順序循環(huán)出現(xiàn)；a的個位數(shù)是3時，按3，9，7，1的順序循環(huán)出現(xiàn)；當a的綠藤星教育（***）小學奧數(shù)基礎教程個位數(shù)是7時，按7，9，3，1的順序循環(huán)出現(xiàn)；當a的個位數(shù)是8時，按8，4，2，6的順序循環(huán)出現(xiàn)。其中a的個位數(shù)是4時，按4，6的順序循環(huán)出現(xiàn)；a的個位數(shù)是9時，按9，1的順序循環(huán)出現(xiàn)。從表看出，an的個位數(shù)字的變化規(guī)律可分為三類：（1）當a的個位數(shù)是0，1，5，6時，an的個位數(shù)仍然是0，1，5，6。因為積的個位數(shù)只與被乘數(shù)的個位數(shù)和乘數(shù)的個位數(shù)有關，所以an的個位數(shù)只與a的個位數(shù)有關，而a的個位數(shù)只有0，1，2，?，9共十種情況，故我們只需討論這十種情況。第1個小朋友找到放球最多的盒子，從中拿出3個球放到其它盒子中各1個球；第2綠藤星教育（***）小學奧數(shù)基礎教程個小朋友也找到放球最多的盒子，也從中拿出3個球放到其它盒子中各1個球??當100個小朋友放完后，A，B，C，D四個盒子中各放有幾個球？第8講 找規(guī)律（二）整數(shù)a與它本身的乘積，即aa叫做這個數(shù)的平方，記作a2，即a2＝aa；同樣，三個a的乘積叫做a的三次方，記作a3，即a3＝aaa。這列數(shù)中第88個數(shù)是幾？5．小明按1～3報數(shù)，小紅按1～4報數(shù)。3．有一串數(shù)，前兩個數(shù)是9和7，從第三個數(shù)起，每個數(shù)是它前面兩個數(shù)乘積的個位數(shù)。問：第100顆珠子是什么顏色？前200顆珠子中有多少顆紅珠？2．將1，2，3，4，?除以3的余數(shù)依次排列起來，得到一個數(shù)列。4＝24??3，所以第100次后的情況與第4次（3＋1＝4）后的情況相同，A，B，C，D盒中依次有4，6，3，5個球。第1個小朋友找到放球最少的盒子，然后從其它盒子中各取一個球放入這個盒子；第2個小朋友也找到放球最少的盒子，然后也從其它盒子中各取一個球放入這個盒子??當100位小朋友放完后，A，B，C，D四個盒子中各放有幾個球？ 分析與解：按照題意，前六位小朋友放過后，A，B，C，D四個盒子中的球數(shù)如下表： 綠藤星教育（***）小學奧數(shù)基礎教程可以看出，第6人放過后與第2人放過后四個盒子中球的情況相同，所以從第2人放過后，每經(jīng)過4人，四個盒子中球的情況重復出現(xiàn)一次。那么怎么辦呢？仔細觀察會發(fā)現(xiàn)，這串數(shù)的前四個數(shù)都是奇數(shù)，按照“每個數(shù)都是它前面四個數(shù)之和的個位數(shù)字”，如果不看具體數(shù)，只看數(shù)的奇偶性，那么將這串數(shù)依次寫出來，得到奇奇奇奇偶奇奇奇奇偶奇??可以看出，這串數(shù)是按照四個奇數(shù)一個偶數(shù)的規(guī)律循環(huán)出現(xiàn)的，永遠不會出現(xiàn)四個偶數(shù)連在一起的情況，即不會出現(xiàn)“2000”。那么在這串數(shù)中，能否出現(xiàn)相鄰的四個數(shù)是“2000”？***7134?分析與解：無休止地將這串數(shù)寫下去，顯然不是聰明的做法。從例3看出，周期性規(guī)律有時并不明顯，要找到它還真得動點腦筋。由88247。問：這串數(shù)中第88個數(shù)是幾？628088640448?分析與解：這串數(shù)看起來沒有什么規(guī)律，但是如果其中有兩個相鄰數(shù)字與前面的某兩個相鄰數(shù)字相同，那么根據(jù)這串數(shù)的構成規(guī)律，這兩個相鄰數(shù)字后面的數(shù)字必然與前面那兩個相鄰數(shù)字后面的數(shù)字相同，也就是說將出現(xiàn)周期性變化。4＝9??1知，前77個數(shù)是19個周期零1個數(shù)，其和為2519+3=478。第24個數(shù)與第4個數(shù)相同，是9。前三個數(shù)依次是3，6，7，第四個數(shù)是25（3+6+7）=9。也就是說，這串數(shù)是按照每四個數(shù)為一個周期循環(huán)出現(xiàn)的。進一步可推知，第1，5，9，13，?個數(shù)都相同。已知第1個數(shù)是3，第6個數(shù)是6，第11個數(shù)是7。12=12??6，前150盞燈共有12個周期零6盞燈，12個周期中有藍燈412＝48（盞），最后的6盞燈中有1盞藍燈，所以共有藍燈48＋1=49（盞）。12＝8??4，所以第100盞燈是第9個周期的第4盞燈，是紅燈。彩燈按照5紅、4藍、3黃，每12盞燈一個周期循環(huán)出現(xiàn)。例1 節(jié)日的夜景真漂亮，街上的彩燈按照5盞紅燈、再接4盞藍燈、再接3盞黃燈，然后又是5盞紅燈、4盞藍燈、3盞黃燈、??這樣排下去。再比如，數(shù)列0，1，2，0，1，2，0，1，2，0，?是按照0，1，2三個數(shù)重復出現(xiàn)的，這也是周期性變化問題。什么是周期性變化規(guī)律呢？比如，一年有春夏秋冬四季，百花盛開的春季過后就是夏天，赤日炎炎的夏季過后就是秋天，果實累累的秋季過后就是冬天，白雪皚皚的冬季過后又到了春天。第7講 找規(guī)律（一）我們在三年級已經(jīng)見過“找規(guī)律”這個題目，學習了如何發(fā)現(xiàn)圖形、數(shù)表和數(shù)列的變化規(guī)律。5A634B能被33整除，求A+B。4．求下列各數(shù)除以11的余數(shù)：（1）2485；（2）63582；（3）987654321。所以，A=5，B＝9。在（2）中，上、下兩式相加，得（B＋A）＋（BA）＝14＋4，2B＝18，B=9。化簡得BA＝4或AB＝7。因為六位數(shù)能被9整除，所以A+2+8+7+5+B＝22+A+B應能被9整除，由此推知A＋B＝5或14。例6 六位數(shù)能被99整除，求A和B。此時，4，3在奇數(shù)位，2，1在偶數(shù)位，后四位最大是2413。為了保證這個數(shù)盡可能大，我們盡量調(diào)整低位數(shù)字，只要使奇數(shù)位的數(shù)字和增加3（偶數(shù)位的數(shù)字和自然就減少3），奇數(shù)位的數(shù)字之和與偶數(shù)位的數(shù)字之和的差就變?yōu)?＋32=11，這個數(shù)就能被11整除。例5 用1～9九個數(shù)碼組成能被11整除的沒有重復數(shù)字的最大九位數(shù)。例4 用3，3，7，7四個數(shù)碼能排出哪些能被11整除的四位數(shù)？ 解：只要奇數(shù)位和偶數(shù)位上各有一個3和一個7即可。綠藤星教育（***）小學奧數(shù)基礎教程例3還有其它簡捷解法，例如每個“19”奇偶數(shù)位上的數(shù)字相差91＝8，奇數(shù)位上的數(shù)字和與偶數(shù)位上的數(shù)字和相差899=8911，能被11整除。11=799247。分析與解：奇數(shù)位是101個1，偶數(shù)位是100個9。11＝1??4，所求余數(shù)是114=7。需要說明的是，當奇數(shù)位數(shù)字之和遠遠小于偶數(shù)位數(shù)字之和時，為了計算方便，也可以用偶數(shù)位數(shù)字之和減去奇數(shù)位數(shù)字之和，再除以11，所得余數(shù)與11的差即為所求。因為17＜32，所以應給17增加11的整數(shù)倍，使其大于32。11＝0??7，所以41873除以11的余數(shù)是7。分析與解：（1）[（4＋8＋3）－（1＋7）]247。如果奇數(shù)位上的數(shù)字之和小于偶數(shù)位上的數(shù)字之和，那么應在奇數(shù)位上的數(shù)字之和上再增加11的整數(shù)倍，使其大于偶數(shù)位上的數(shù)字之和。根據(jù)能被11整除的數(shù)的特征，也能求出一個數(shù)除以11的余數(shù)。例1 判斷七位數(shù)1839673能否被11整除。也就是說，個位、百位、萬位??是奇數(shù)位，十位、千位、十萬位??是偶數(shù)位。第6講 數(shù)的整除性（二）這一講主要講能被11整除的數(shù)的特征。4．有一個2000位的數(shù)A能被9整除，數(shù)A的各個數(shù)位上的數(shù)字之和是B，數(shù)B的各個數(shù)位上的數(shù)字之和是C，數(shù)C的各個數(shù)位上的數(shù)字之和是D。6236＝3748；（4）12345247。2．求下列各式除以9的余數(shù)：（1）67235＋82564；（2）9725647823； 綠藤星教育（***）小學奧數(shù)基礎教程（3）27836451；（4）3477+265841。253=1517的正確性，只需檢驗1517253=383801的正確性。說明：因為除法是乘法的逆運算，被除數(shù)=除數(shù)商+余數(shù)，所以當余數(shù)為零時，利用棄九法驗算除法可化為用棄九法去驗算乘法。乘積的九余數(shù)是7。如果不等，那么這個乘法計算肯定不正確。例5 檢驗下面的乘法算式是否正確：468769537＝447156412。利用棄九法檢驗加法、減法、乘法（見例5）運算的結果是否正確時，如果等號兩邊的九余數(shù)不相等，那么這個算式肯定不正確；如果等號兩邊的九余數(shù)相等，那么還不能確定算式是否正確，因為九余數(shù)只有0，1，2，?，8九種情況，不同的數(shù)可能有相同的九余數(shù)