初等模型數(shù)學(xué)模型(第三版)電子課件姜啟源、謝金星、葉俊編制(已修改)
2025-01-06 20:04 本頁面
【正文】 第 二 章 初等模型 公平的席位分配 錄像機計數(shù)器的用途 雙層玻璃窗的功效 汽車剎車距離 劃艇比賽的成績 實物交換 核軍備競賽 啟帆遠航 量綱分析與無量綱化 公平的席位分配 系別 學(xué)生 比例 20席的分配 人數(shù) （ %） 比例 結(jié)果 甲 103 乙 63 丙 34 總和 200 20 21席的分配 比例 結(jié)果 21 問題 三個系學(xué)生共 200名（甲系 100，乙系 60，丙系 40），代表會議共 20席，按比例分配，三個系分別為 10， 6， 4席。 現(xiàn)因?qū)W生轉(zhuǎn)系， 三系人數(shù)為 103, 63, 34, 問 20席如何分配。 若增加為 21席，又如何分配。 比例加慣例 對丙系公平嗎 （ ）甲 乙 .5 丙 .0 （ ）甲 10 乙 6 丙 4 5 11 7 3 “公平”分配方法 衡量公平分配的數(shù)量指標 人數(shù) 席位 A方 p1 n1 B方 p2 n2 當(dāng) p1/n1= p2/n2 時，分配公平 p1/n1– p2/n2 ~ 對 A的絕對不公平度 p1=150, n1=10, p1/n1=15 p2=100, n2=10, p2/n2=10 p1=1050, n1=10, p1/n1=105 p2=1000, n2=10, p2/n2=100 p1/n1– p2/n2=5 但后者對 A的 不公平程度已大大降低 ! 雖二者 的絕對不公平度相同 若 p1/n1 p2/n2 ， 對 不公平 A p1/n1– p2/n2=5 公平分配方案應(yīng)使 rA , rB 盡量小 設(shè) A, B已分別有 n1, n2 席，若增加 1席，問應(yīng)分給 A, 還是 B 不妨設(shè)分配開始時 p1/n1 p2/n2 ， 即對 A不公平 ),(///21222211 nnrnpnpnpA??~ 對 A的相對不公平度 將絕對度量改為相對度量 類似地定義 rB(n1,n2) 將一次性的席位分配轉(zhuǎn)化為動態(tài)的席位分配 , 即 “公平”分配方法 若 p1/n1 p2/n2 ， 定義 1）若 p1/(n1+1) p2/n2 ， 則這席應(yīng)給 A 2）若 p1/(n1+1) p2/n2 ， 3）若 p1/n1 p2/(n2+1)， 應(yīng)計算 rB(n1+1, n2) 應(yīng)計算 rA(n1, n2+1) 若 rB(n1+1, n2) rA(n1, n2+1), 則這席應(yīng)給 應(yīng)討論以下幾種情況 初始 p1/n1 p2/n2 問： p1/n1p2/(n2+1) 是否會出現(xiàn)？ A 否 ! 若 rB(n1+1, n2) rA(n1, n2+1), 則這席應(yīng)給 B 當(dāng) rB(n1+1, n2) rA(n1, n2+1), 該席給 A rA, rB的定義 )1()1( 11212222??? nnpnnp該席給 A 否則 , 該席給 B ,2,1,)1(2??? innpQiiii 定義 該席給 Q值較大的一方 推廣到 m方分配席位 該席給 Q值最大的一方 Q 值方法 minnpQiiii ,2,1,)1(2????計算 ， 三系用 Q值方法重新分配 21個席位 按人數(shù)比例的整數(shù)部分已將 19席分配完畢 甲系： p1=103, n1=10 乙系： p2= 63, n2= 6 丙系： p3= 34, n3= 3 用 Q值方法分配第 20席和第 21席 第 20席 4334,7663,1110103 232221 ????????? Q第 21席 3221 ,103 Q ???同上 Q3最大，第21席給丙系 甲系 11席，乙系 6席，丙系 4席 Q值方法分配結(jié)果 公平嗎？ Q1最大，第 20席給甲系 進一步的討論 Q值方法比“比例加慣例”方法更公平嗎？ 席位分配的理想化準則 已知 : m方人數(shù)分別為 p1, p2,… , pm, 記總?cè)藬?shù)為 P= p1+p2+…+ pm, 待分配的總席位為 N。 設(shè)理想情況下 m方分配的席位分別為 n1,n2,… , nm (自然應(yīng)有 n1+n2+…+ nm=N)， 記 qi=Npi /P, i=1,2, … , m, ni 應(yīng)是 N和 p1, … , pm 的函數(shù)，即 ni = ni (N, p1, … , pm ) 若 qi 均為整數(shù)，顯然應(yīng) ni=qi qi=Npi /P不全為整數(shù)時， ni 應(yīng)滿足的準則： 記 [qi]– =floor(qi) ~ 向 ? qi方向取整； [qi]+ =ceil(qi) ~ 向 ? qi方向取整 . 1) [qi]– ? ni ? [qi]+ (i=1,2, … , m), 2) ni (N, p1, … , pm ) ? ni (N+1, p1, … , pm) (i=1,2, … , m) 即 ni 必取 [qi]– , [qi]+ 之一 即當(dāng)總席位增加時， ni不應(yīng)減少 “比例加慣例”方法滿足 1），但不滿足 2） Q值方法滿足 2） , 但不滿足 1） 。 令人遺憾！ 問 題 在一次使用中錄像帶已經(jīng)轉(zhuǎn)過大半，計數(shù)器讀數(shù)為 4450，問剩下的一段還能否錄下 1小時的節(jié)目？ 要求 不僅回答問題，而且建立計數(shù)器讀數(shù)與 錄像帶轉(zhuǎn)過時間的關(guān)系。 思考 計數(shù)器讀數(shù)是均勻增長的嗎？ 錄像機計數(shù)器的用途 經(jīng)試驗，一盤標明 180分鐘的錄像帶從頭走到尾，時間用了 184分，計數(shù)器讀數(shù)從 0000變到 6061。 錄像機計數(shù)器的工作原理 主動輪 壓輪 0000 左輪盤 右輪盤 磁頭 計數(shù)器 錄像帶 錄像帶運動方向 錄像帶運動 右輪盤半徑增大 右輪轉(zhuǎn)速不是常數(shù) 錄像帶運動速度是常數(shù) 計數(shù)器讀數(shù)增長變慢 問題分析 觀察 計數(shù)器讀數(shù)增長越來越慢！ 模型假設(shè) ? 錄像帶的運動速度是常數(shù) v ； ? 計數(shù)器讀數(shù) n與右輪轉(zhuǎn)數(shù) m成正比，記 m=kn； ? 錄像帶厚度（加兩圈間空隙）為常數(shù) w； ? 空右輪盤半徑記作 r ； ? 時間 t=0 時讀數(shù) n=0 . 建模目的 建立 時間 t與讀數(shù) n之間的關(guān)系 （設(shè) v,k,w ,r為已知參數(shù)） 模型建立 建立 t與 n的函數(shù)關(guān)系有多種方法 1. 右輪盤轉(zhuǎn)第 i 圈的半徑為 r+wi, m圈的總長度 等于錄像帶在時間 t內(nèi)移動的長度 vt, 所以 knm ?nvrknvwkt ?? 222 ??????mivtwir1)(2 ?2. 考察右輪盤面積的 變化，等于錄像帶厚度 乘以轉(zhuǎn)過的長度，即 wvtrwknr ??? ])[(22?nvrknvwkt ?? 222 ??3. 考察 t到 t+dt錄像帶在 右輪盤纏繞的長度，有 vdtkdnwknr ?? ?2)(??模型建立 思 考 nvrknvwkt ?? 222 ??3種建模方法得到同一結(jié)果 但仔細推算會發(fā)現(xiàn)稍有差別，請解釋。 模型中有待定參
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