空中飛行器無(wú)源定位數(shù)學(xué)模型(已修改)
2025-06-22 01:33 本頁(yè)面
【正文】 空中飛行器無(wú)源定位數(shù)學(xué)模型摘 要：本文根據(jù)題目要求，綜合運(yùn)用數(shù)據(jù)擬合、預(yù)測(cè)等數(shù)學(xué)模型，結(jié)合無(wú)源定位技術(shù)[1] 孫仲康 郭福成 馮道旺. 單站無(wú)源定位跟蹤技術(shù). 國(guó)防大學(xué)出版社. 算出了飛行器的位置參數(shù)以及在可用衛(wèi)星數(shù)較少時(shí)，飛行器在不同時(shí)刻的位置，最后考慮到定位的精度與效率問(wèn)題，綜合分析了衛(wèi)星的數(shù)量與空間幾何分布等因素的影響，給出了衛(wèi)星優(yōu)選方法。對(duì)于問(wèn)題（1）,通過(guò)建立地心坐標(biāo)系，將物理幾何關(guān)系與題中所給數(shù)據(jù)聯(lián)立成非線性方程組，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成了用求解方程組，在求解過(guò)程中將固定在飛行器上的兩個(gè)測(cè)向陣方向定義為單位向量，考慮到測(cè)量精度，通過(guò)聯(lián)立九顆衛(wèi)星參數(shù)得出的18個(gè)方程與兩個(gè)單位向量的性質(zhì)3個(gè)方程共21個(gè)方程求解得出飛行器的位置參數(shù)，距地表高度， 。對(duì)于問(wèn)題（2），同樣利用問(wèn)題（1）聯(lián)立方程組的方法，得出五個(gè)不同時(shí)刻飛行器的位置參數(shù)，再利用最小二乘法將各時(shí)刻飛行器的位置在各個(gè)坐標(biāo)軸上的參數(shù)值進(jìn)行擬合，得到擬合方程；， 。將不同時(shí)刻的擬合值與計(jì)算所得值之間的空間距離作為原始非負(fù)時(shí)間序列，建立模型，對(duì)距離進(jìn)行灰色預(yù)測(cè)，得到其距離誤差的預(yù)測(cè)值，最后綜合考慮得出，時(shí)飛行器的位置為以為圓心，以為半徑的球體內(nèi)，將距離誤差值作為其預(yù)測(cè)的可靠度。問(wèn)題（3）考慮當(dāng)定位衛(wèi)星較多時(shí)，飛行器的最優(yōu)定位方式。通過(guò)用第問(wèn)的數(shù)據(jù)進(jìn)行仿真，比較不同衛(wèi)星組合測(cè)得的飛行器位置參數(shù)，發(fā)現(xiàn)衛(wèi)星數(shù)量越多，空間分布越均勻，飛行器定位經(jīng)度越高。而衛(wèi)星數(shù)量的增加會(huì)降低定位的效率，綜合考慮定位精度和效率，得到選取顆在空間均勻分布的衛(wèi)星是最優(yōu)的定位方式。最后用最大誤差限對(duì)最優(yōu)衛(wèi)星組合方式進(jìn)行檢驗(yàn)。將誤差看成均勻正態(tài)分布，建立非線性最小二乘擬合模型，即可算出相對(duì)于誤差限為時(shí)的角誤差。關(guān)鍵詞：飛行器；無(wú)源定位；最小二乘法；預(yù)測(cè)1 問(wèn)題重述目標(biāo)定位技術(shù)是導(dǎo)航與制導(dǎo)技術(shù)的重要基礎(chǔ)。在現(xiàn)有的導(dǎo)航與制導(dǎo)技術(shù)中，衛(wèi)星定位技術(shù)是精度最高的，也是較為理想的導(dǎo)航與制導(dǎo)技術(shù)。 對(duì)于空中飛行器，在其飛行過(guò)程中很容易接收到太空衛(wèi)星的信號(hào)?，F(xiàn)在考慮通過(guò)測(cè)量飛行器與地球同步衛(wèi)星的方向角來(lái)實(shí)現(xiàn)空中飛行器的自定位。在球心坐標(biāo)系下，空中飛行器的空間坐標(biāo)記為，不妨設(shè)它同時(shí)能接收到顆同步衛(wèi)星的信號(hào)，其顆同步衛(wèi)星空間坐標(biāo)分別記為。為了方便檢測(cè)與同步衛(wèi)星的方向角，在空中飛行器上固定安裝了兩個(gè)相互垂直的測(cè)向陣列，它們的指向分別為和。地球同步衛(wèi)星與空中飛行器的位置關(guān)系示意圖如圖1所示，分別表示空中飛行器P的測(cè)向陣列方向與地球同步衛(wèi)星的夾角?，F(xiàn)在請(qǐng)你們建立數(shù)學(xué)模型研究解決下面的問(wèn)題： （1）通過(guò)測(cè)量空中飛行器測(cè)向陣列方向和與多顆地球同步衛(wèi)星的夾角和，建立空中飛行器定位的數(shù)學(xué)模型；對(duì)于附表1所給出的9顆同步衛(wèi)星的數(shù)據(jù)，試確定空中飛行器P的位置參數(shù)。 （2）在某些特殊情況下，空中飛行器能直接檢測(cè)到的同步衛(wèi)星數(shù)量較少，可以利用空中飛行器在勻速飛行過(guò)程中多次檢測(cè)的結(jié)果來(lái)實(shí)現(xiàn)定位。針對(duì)這種情況，試建立空中飛行器定位的數(shù)學(xué)模型；對(duì)附表2中給出的3顆同步衛(wèi)星的檢測(cè)數(shù)據(jù)，確定空中飛行器P在第70秒時(shí)的位置參數(shù)，并分析其可靠性。 （3）當(dāng)可用同步衛(wèi)星數(shù)量較多時(shí)，為了提高定位精度和定位效率，需要對(duì)可用的同步衛(wèi)星進(jìn)行一定的優(yōu)選。試研究具體的優(yōu)選策略，并通過(guò)仿真，分析在檢測(cè)方向角誤差限為時(shí)空中飛行器的定位方法和精度。 2 問(wèn)題分析（1）的分析 該問(wèn)題要求確定空中飛行器的位置參數(shù)。題目中給出了地球同步衛(wèi)星的參數(shù)，包括其所在的經(jīng)度和其與固定在飛行器上的垂直測(cè)向陣列方向之間的夾角，于是，我們可以通過(guò)建立球心坐標(biāo)系，把所要求的位置參數(shù)設(shè)成未知數(shù)，并與已知的數(shù)據(jù)相結(jié)合，然后利用空間幾何關(guān)系建立方程組求解：將飛行器上兩個(gè)測(cè)向陣列方向設(shè)成單位向量，則與所求飛行器位置參數(shù)共9個(gè)未知數(shù)，利用向量的余弦定理，每一個(gè)衛(wèi)星可分別與飛行器的兩個(gè)垂直測(cè)向陣列方向建立兩個(gè)方程，利用單位向量本身上數(shù)學(xué)定義建立3個(gè)方程，則任意3個(gè)衛(wèi)星的定位數(shù)據(jù)就可以確定的方程組，即可以求的所設(shè)的未知數(shù)，即可得飛行器的位置參數(shù)。在題目給出的數(shù)據(jù)中共有9組衛(wèi)星，我們可以建立組方程，方程數(shù)大于未知數(shù)，聯(lián)立此超定方程，利用即可求得解值。（2）的分析由問(wèn)題（1），我們可以得知，由三個(gè)衛(wèi)星就可以確定飛行器的位置，但精度存在問(wèn)題。問(wèn)題（2）研究的就是在只有三顆衛(wèi)星的情況下，通過(guò)多次檢測(cè)結(jié)果對(duì)勻速飛行的飛行器進(jìn)行定位。題目中給了我們顆衛(wèi)星在個(gè)時(shí)刻的飛星定位數(shù)據(jù)，通過(guò)這組數(shù)據(jù)我們可以算出飛行器在個(gè)不同時(shí)刻的位置（存在一定的位置誤差）。利用這組不同時(shí)刻的位置信息，再結(jié)合飛行器勻速飛行的條件，進(jìn)行數(shù)據(jù)擬合，可以得到一條飛行器的運(yùn)動(dòng)軌跡（此軌跡在短時(shí)間內(nèi)有效），則可得飛行器在未來(lái)短時(shí)間內(nèi)位置參數(shù)隨時(shí)間的變化關(guān)系，則可得衛(wèi)星在時(shí)的位置參數(shù)。再利用此運(yùn)動(dòng)軌跡對(duì)前組數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn)，可以算得一組殘差值，將此組值代入灰色預(yù)測(cè)模型，得到其殘差預(yù)測(cè)值與擬合值相加即為所要預(yù)測(cè)飛行器更為精確的位置參數(shù)。通過(guò)計(jì)算前五個(gè)殘差值的的方差與飛行器在相應(yīng)階段內(nèi)飛行距離的比值，看其百分比，即可算得飛行器位置參數(shù)的可靠性。（3）的分析 問(wèn)題（3）考慮的是當(dāng)可供選擇的衛(wèi)星較多時(shí)，怎樣優(yōu)選衛(wèi)星，
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