【正文】 ）上 因?yàn)樵?AB外的任一點(diǎn) p’ , (雙方 )滿意度低于 AB上的點(diǎn) p 兩族曲線切點(diǎn)連線記作 AB A B p 交換方案的進(jìn)一步確定 交換方案 ~ 交換后甲的占有量 (x,y) 0?x?x0, 0?y?y0矩形內(nèi)任一點(diǎn) 交換路徑 AB 雙方的無(wú)差別曲線族 等價(jià)交換原則 X,Y用貨幣衡量其價(jià)值，設(shè)交換前 x0,y0價(jià)值相同，則等價(jià)交換原則下交換路徑為 C D (x0,0), (0,y0) 兩點(diǎn)的連線 CD AB與 CD的交點(diǎn) p 設(shè) X單價(jià) a, Y單價(jià) b, 則等價(jià)交換下 ax+by=s (s=ax0=by0) y yo 0 xo . . x 核軍備競(jìng)賽 ? 冷戰(zhàn)時(shí)期美蘇聲稱為了保衛(wèi)自己的安全，實(shí)行“核威懾戰(zhàn)略”，核軍備競(jìng)賽不斷升級(jí)。 1 t 2 ?? cos)cos1(21 tkv ?? ])21(cos41[ 222 tttk ??? ?v1最大 2),21(21cos12 ??? ????sstt備注 ? 只討論起航時(shí)的航向，是靜態(tài)模型 ? 航行過(guò)程中終點(diǎn) B將不在正東方 記 t=1+2s2/s1, k2=k1w/2 =( k1w/2)[1(1+2p/w)cos?]cos ? w=ks1, p=ks2 1/4cos ?1/2 模型求解 v1=k1 [w(1cos?)/2 pcos?]cos ? s1 s2 量綱分析與無(wú)量綱化 物理量的量綱 長(zhǎng)度 l 的量綱記 L=[l] 質(zhì)量 m的量綱記 M=[m] 時(shí)間 t 的量綱記 T=[t] 動(dòng)力學(xué)中基本量綱 L, M, T 速度 v 的量綱 [v]=LT1 導(dǎo)出量綱 221rmmkf ?加速度 a 的量綱 [a]=LT2 力 f 的量綱 [f]=LMT2 引力常數(shù) k 的量綱 [k] 對(duì)無(wú)量綱量 ?， [?]=1(=L0M0T0) 量綱齊次原則 =[f][l]2[m]2=L3M1T2 量綱齊次原則 等式兩端的量綱一致 量綱分析 ~利用量綱齊次原則尋求物理量之間的關(guān)系 例：?jiǎn)螖[運(yùn)動(dòng) )1(321 ???? glmt ?321 ][][][][ ??? glmt ?l mg m 求擺動(dòng)周期 t 的表達(dá)式 設(shè)物理量 t, m, l, g 之間有關(guān)系式 ?1, ?2, ?3 為待定系數(shù)， ?為無(wú)量綱量 ?????????2/12/10321???glt ??(1)的量綱表達(dá)式 glt ?2?對(duì)比 3321 2 ???? ??? TLMT??????????12003321????對(duì) x,y,z的兩組測(cè)量值 x1,y1,z1 和 x2,y2,z2， p1 = f( x1,y1,z1), p2 = f( x2, y2,z2 ) 2121ppp???為什么假設(shè)這種形式 321 ???? glmt ?設(shè) p= f(x,y,z) ),(),(),(),(222111222111czbyaxfczbyaxfzyxfzyxf ?x,y,z的量綱單位縮小 a,b,c倍 ???? zyxzyxf ?),(p= f(x,y,z)的形式為 ),(),( 22221111 czbyaxfpczbyaxfp ????0002010010101004321)()()()(TMLTMLTMLTMLTMLyyyy?? 000241243 TMLTML yyyyy ??????????????? 201001010100][][][][TMLgTMLlTMLmTMLt單擺運(yùn)動(dòng)中 t, m, l, g 的一般表達(dá)式 0),( ?glmtf?????????020041243yyyyy??glt 12 )/( glt ?? TTyyyyy)1,1,0,2(),( 4321???基本解??4321 yyyy glmty1~y4 為待定常數(shù) , ?為無(wú)量綱量 0)(?F設(shè) f(q1, q2, ?, qm) = 0 mjXq niaijij ,2,1,][1??? ??ys = (ys1, ys2, …,y sm)T , s = 1,2,…, mr F(? 1, ?2,…, ?mr ) = 0 與 f (q1, q2, ?, qm) =0 等價(jià) , F未定 Pi定理 (Buckingham) 是與量綱單位無(wú)關(guān)的物理定律， X1,X2, ? , Xn 是基本量綱 , n?m, q1, q2, ? , qm 的量綱可表為 ,}{ mnijaA ??量綱矩陣記作 rA ?ra nk若線性齊次方程組 0?Ay有 mr 個(gè)基本解，記作 ???mjyjssjq1?為 mr 個(gè)相互獨(dú)立的無(wú)量綱量 , 且 則 )()()()()()()(202302)(100100)(121311fsvlgTMLA????????????????[g] = LT2, [l] = L, [?] = L3M, [v] = LT1, [s] = L2, [f] = LMT2 量綱分析示例： 波浪對(duì)航船的阻力 航船阻力 f mjXqniaijij,2,1,][1??? ??航船速度 v, 船體尺寸 l, 浸沒(méi)面積 s, 海水密度 ?, 重力加速度 g。( ?txx ??為無(wú)量綱量 )/( 3 smrg ???? ?1） 2） 3）的共同點(diǎn) 只含 1個(gè)參數(shù) ——無(wú)量綱量 ? )。 ),( mm yxP ???（其它因素不變） 乙安全線 y=f(x)上移 模型解釋 平衡點(diǎn) P?P180。設(shè)交換前甲占有 X的數(shù)量為 x0, 乙占有 Y的數(shù)量為 y0, 作圖： 若不考慮雙方對(duì) X,Y的偏愛(ài)，則矩形內(nèi)任一點(diǎn) p(x,y) 都是一種交換方案：甲占有 (x,y) ，乙占有 (x0 x, y0 y) x y yo 0 xo ? ? 實(shí)物交換 x y yo y1 y2 0 x1 x2 xo p1 p2 . . 甲的無(wú)差別曲線 分析與建模 如果甲占有 (x1,y1)與占有 (x2,y2)具有同樣的滿意程度，即 p1, p2對(duì)甲是無(wú)差別的， M N 將 所有與 p1, p2無(wú)差別的點(diǎn)連接起來(lái)，得到一條 無(wú)差別曲線 MN, 線上各點(diǎn)的滿意度相同 , 線的形狀反映對(duì) X,Y的偏愛(ài)程度， N1 M1 p3(x3,y3) . 比 MN各點(diǎn)滿意度更高的點(diǎn)如 p3，在另一條無(wú)差別曲線 M1N1上。 錄像機(jī)計(jì)數(shù)器的工作原理 主動(dòng)輪 壓輪 0000 左輪盤(pán) 右輪盤(pán) 磁頭 計(jì)數(shù)器 錄像帶 錄像帶運(yùn)動(dòng)方向 錄像帶運(yùn)動(dòng) 右輪盤(pán)半徑增大 右輪轉(zhuǎn)速不是常數(shù) 錄像帶運(yùn)動(dòng)速度是常數(shù) 計(jì)數(shù)器讀數(shù)增長(zhǎng)變慢 問(wèn)題分析 觀察 計(jì)數(shù)器讀數(shù)增長(zhǎng)越來(lái)越慢！ 模型假設(shè) ? 錄像帶的運(yùn)動(dòng)速度是常數(shù) v ； ? 計(jì)數(shù)器讀數(shù) n與右輪轉(zhuǎn)數(shù) m成正比，記 m=kn； ? 錄像帶厚度（加兩圈間空隙）為常數(shù) w； ? 空右輪盤(pán)半徑記作 r ； ? 時(shí)間 t=0 時(shí)讀數(shù) n=0 . 建模目的 建立 時(shí)間 t與讀數(shù) n之間的關(guān)系 （設(shè) v,k,w ,r為已知參數(shù)） 模型建立 建立 t與 n的函數(shù)關(guān)系有多種