初等模型數(shù)學(xué)模型(第三版)電子課件姜啟源、謝金星、葉俊編制-閱讀頁
2025-01-08 20:04本頁面
【正文】 程中終點 B將不在正東方 記 t=1+2s2/s1, k2=k1w/2 =( k1w/2)[1(1+2p/w)cos?]cos ? w=ks1, p=ks2 1/4cos ?1/2 模型求解 v1=k1 [w(1cos?)/2 pcos?]cos ? s1 s2 量綱分析與無量綱化 物理量的量綱 長度 l 的量綱記 L=[l] 質(zhì)量 m的量綱記 M=[m] 時間 t 的量綱記 T=[t] 動力學(xué)中基本量綱 L, M, T 速度 v 的量綱 [v]=LT1 導(dǎo)出量綱 221rmmkf ?加速度 a 的量綱 [a]=LT2 力 f 的量綱 [f]=LMT2 引力常數(shù) k 的量綱 [k] 對無量綱量 ?， [?]=1(=L0M0T0) 量綱齊次原則 =[f][l]2[m]2=L3M1T2 量綱齊次原則 等式兩端的量綱一致 量綱分析 ~利用量綱齊次原則尋求物理量之間的關(guān)系 例：單擺運動 )1(321 ???? glmt ?321 ][][][][ ??? glmt ?l mg m 求擺動周期 t 的表達式 設(shè)物理量 t, m, l, g 之間有關(guān)系式 ?1, ?2, ?3 為待定系數(shù)， ?為無量綱量 ?????????2/12/10321???glt ??(1)的量綱表達式 glt ?2?對比 3321 2 ???? ??? TLMT??????????12003321????對 x,y,z的兩組測量值 x1,y1,z1 和 x2,y2,z2， p1 = f( x1,y1,z1), p2 = f( x2, y2,z2 ) 2121ppp???為什么假設(shè)這種形式 321 ???? glmt ?設(shè) p= f(x,y,z) ),(),(),(),(222111222111czbyaxfczbyaxfzyxfzyxf ?x,y,z的量綱單位縮小 a,b,c倍 ???? zyxzyxf ?),(p= f(x,y,z)的形式為 ),(),( 22221111 czbyaxfpczbyaxfp ????0002010010101004321)()()()(TMLTMLTMLTMLTMLyyyy?? 000241243 TMLTML yyyyy ??????????????? 201001010100][][][][TMLgTMLlTMLmTMLt單擺運動中 t, m, l, g 的一般表達式 0),( ?glmtf?????????020041243yyyyy??glt 12 )/( glt ?? TTyyyyy)1,1,0,2(),( 4321???基本解??4321 yyyy glmty1~y4 為待定常數(shù) , ?為無量綱量 0)(?F設(shè) f(q1, q2, ?, qm) = 0 mjXq niaijij ,2,1,][1??? ??ys = (ys1, ys2, …,y sm)T , s = 1,2,…, mr F(? 1, ?2,…, ?mr ) = 0 與 f (q1, q2, ?, qm) =0 等價 , F未定 Pi定理 (Buckingham) 是與量綱單位無關(guān)的物理定律， X1,X2, ? , Xn 是基本量綱 , n?m, q1, q2, ? , qm 的量綱可表為 ,}{ mnijaA ??量綱矩陣記作 rA ?ra nk若線性齊次方程組 0?Ay有 mr 個基本解，記作 ???mjyjssjq1?為 mr 個相互獨立的無量綱量 , 且 則 )()()()()()()(202302)(100100)(121311fsvlgTMLA????????????????[g] = LT2, [l] = L, [?] = L3M, [v] = LT1, [s] = L2, [f] = LMT2 量綱分析示例： 波浪對航船的阻力 航船阻力 f mjXqniaijij,2,1,][1??? ??航船速度 v, 船體尺寸 l, 浸沒面積 s, 海水密度 ?, 重力加速度 g。 選哪些基本量綱 有目的地構(gòu)造 Ay=0 的基本解 ? 方法的普適性 函數(shù) F和無量綱量未定 不需要特定的專業(yè)知識 量綱分析在物理模擬中的應(yīng)用 例 : 航船阻力的物理模擬 通過航船模型確定原型船所受阻力 gvlsf , ? ~模型船的參數(shù) (均已知 ) 211211112111311,),(lslgvglf?????????????可得原型船所受阻力 已知模型船所受阻力 221213,),(lsglvglf?????????111111 , gvlsf ? ~原型船的參數(shù) (f1未知，其他已知 ) 注意：二者的 ?相同 2211 , ???? ????1gg ? llvv 121 )( ? 211 )( lss ??31311llff ?311 )(llff ?)( 1?? ? 按一定尺寸比例造模型船，量測 f，可算出 f1 ~ 物理模擬 221213,),(lsglvglf?????????211211112111311,),(lslgvglf????????????? 無量綱化 例：火箭發(fā)射 2211 )( rxmmkxm????? vxxrxgrx?????)0(,0)0()(22???),。初速 v, 星球半徑 r, 表面重力加速度 g 研究火箭高度 x 隨時間 t 的變化規(guī)律 t=0 時 x=0, 火箭質(zhì)量 m1, 星球質(zhì)量 m2 牛頓第二定律，萬有引力定律 )0( ??? xgx?? grkm22 ?——3個獨立參數(shù) 用無量綱化方法減少獨立參數(shù)個數(shù) [x]=L, [t]=T, [r]=L, [v]=LT1, [g]=LT2 變量 x,t 和獨立參數(shù) r,v,g 的量綱 用 參數(shù) r,v,g的組合 ,分別構(gòu)造與 x,t具有相同 量綱的 xc, tc （特征尺度） —無量綱變量 tx , vrtrx cc /, ??如 ),。( gvrtxx ?xrvtdxdrvxxvtdxdvx??????2222????),。( ?txx?為無量綱量 rvttrxx /,/ ?? vxxrxgrx?????)0(,0)0()( 22??????????????1)0(,0)0(,)1(122xxrgvxx??? ??gvtgvx cc /,/2 ??3）令 ),。( ?tx ??為無量綱量 ),。( ?txx ??為無量綱量 )/( 3 smrg ???? ?1） 2） 3）的共同點 只含 1個參數(shù) ——無量綱量
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