初等模型 《數(shù)學(xué)模型》(第三版)電子課件姜啟源、謝金星、葉 俊編制-文庫(kù)吧
2024-12-19 20:04 本頁(yè)面
【正文】 數(shù) , kvwr一種確定參數(shù)的辦法是測(cè)量或調(diào)查，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)測(cè)量方法。 ????mivtwir1)(2 ?wvtrwknr ??? ])[( 22? vdtkdnwknr ?? ?2)(思 考 參數(shù)估計(jì) 另一種確定參數(shù)的方法 ——測(cè)試分析 將模型改記作 ,2 bnant ??只需估計(jì) a,b 理論上，已知 t=184, n=6061, 再有一組 (t, n)數(shù)據(jù)即可 實(shí)際上，由于測(cè)試有誤差，最好用足夠多的數(shù)據(jù)作擬合 現(xiàn)有一批測(cè)試數(shù)據(jù)： t 0 20 40 60 80 n 0000 1141 2023 2760 3413 t 100 120 140 160 184 n 4004 4545 5051 5525 6061 用最小二乘法可得 .,26??????ba模 型 檢 驗(yàn) 應(yīng)該另外測(cè)試一批數(shù)據(jù)檢驗(yàn)?zāi)Ｐ停? bnant ??2 ),( 26 ?? ???? ba模 型 應(yīng) 用 回答提出的問(wèn)題：由模型算得 n = 4450 時(shí) t = ， 剩下的錄像帶能錄 = 。 揭示了 “ t 與 n 之間呈二次函數(shù)關(guān)系” 這一普遍規(guī)律， 當(dāng)錄像帶的狀態(tài)改變時(shí)，只需重新估計(jì) a,b 即可。 2d 墻 室內(nèi) T1 室外 T2 d d 墻 l 室內(nèi) T1 室外 T2 問(wèn)題 雙層玻璃窗與同樣多材料的單層玻璃窗相比，減少多少熱量損失 假設(shè) 熱量傳播只有傳導(dǎo)，沒(méi)有對(duì)流 T1,T2不變，熱傳導(dǎo)過(guò)程處于穩(wěn)態(tài) 材料均勻，熱傳導(dǎo)系數(shù)為常數(shù) 建模 熱傳導(dǎo)定律 dTkQ ??Q1 Q2 Q ~單位時(shí)間單位面積傳導(dǎo)的熱量 ?T~溫差 , d~材料厚度 , k~熱傳導(dǎo)系數(shù) 雙層玻璃窗的功效 d d 墻 l 室內(nèi) T1 室外 T2 Q1 Ta Tb 記雙層玻璃窗傳導(dǎo)的熱量 Q1 Ta~內(nèi)層玻璃的外側(cè)溫度 Tb~外層玻璃的內(nèi)側(cè)溫度 k1~玻璃的熱傳導(dǎo)系數(shù) k2~空氣的熱傳導(dǎo)系數(shù) dTTklTTkdTTkQ bbaa 212111??????dlhkkhssdTTkQ ????? ,)2( 212111建模 記單層玻璃窗傳導(dǎo)的熱量 Q2 dTTkQ22112??2d 墻 室內(nèi) T1 室外 T2 Q2 雙層與單層窗傳導(dǎo)的熱量之比 dlhkkhssQ ???? ,22212121 ?k1=4?103 ~8 ?103, k2=?104, k1/k2=16 ~32 對(duì) Q1比 Q2的減少量作最保守的估計(jì)， 取 k1/k2 =16 dlhhQ ??? ,18121)2(2111 ???sdTTkQ建模 h Q1/Q2 4 2 0 6 模型應(yīng)用 取 h=l/d=4, 則 Q1/Q2= 即雙層玻璃窗與同樣多材料的單層玻璃窗相比，可減少 97%的熱量損失。 結(jié)果分析 Q1/Q2所以如此小，是由于層間空氣極低的熱傳導(dǎo)系數(shù) k2, 而這要求空氣非常干燥、不流通。 房間通過(guò)天花板、墻壁 … … 損失的熱量更多。 dlhh ??? ,18121雙層窗的功效不會(huì)如此之大 汽車(chē)剎車(chē)距離 美國(guó)的某些司機(jī)培訓(xùn)課程中的駕駛規(guī)則： 背景與問(wèn)題 ? 正常駕駛條件下 , 車(chē)速每增 10英里 /小時(shí)， 后面與前車(chē)的距離應(yīng)增一個(gè)車(chē)身的長(zhǎng)度。 ? 實(shí)現(xiàn)這個(gè)規(guī)則的簡(jiǎn)便辦法是 “ 2秒準(zhǔn)則” ： ? 后車(chē)司機(jī)從前車(chē)經(jīng)過(guò)某一標(biāo)志開(kāi)始默數(shù) 2秒鐘后到達(dá)同一標(biāo)志 ， 而不管車(chē)速如何 判斷 “ 2秒準(zhǔn)則” 與 “車(chē)身”規(guī)則是否一樣； 建立數(shù)學(xué)模型 ， 尋求更好的駕駛規(guī)則 。 問(wèn)題分析 常識(shí)：剎車(chē)距離與車(chē)速有關(guān) 10英里 /小時(shí) (?16公里 /小時(shí) )車(chē)速下 2秒鐘行駛29英尺 (? 9米 ) 車(chē)身的平均長(zhǎng)度 15英尺 (= ) “ 2秒準(zhǔn)則”與“ 10英里 /小時(shí)加一車(chē)身”規(guī)則不同 剎車(chē)距離 反應(yīng)時(shí)間 司機(jī)狀況 制動(dòng)系統(tǒng) 靈活性 制動(dòng)器作用力、車(chē)重、車(chē)速、道路、氣候 … … 最大制動(dòng)力與車(chē)質(zhì)量成正比，使汽車(chē)作勻減速運(yùn)動(dòng)。 車(chē)速 常數(shù) 反應(yīng)距離 制動(dòng)距離 常數(shù) 假 設(shè) 與 建 模 1. 剎車(chē)距離 d 等于反應(yīng)距離 d1 與制動(dòng)距離 d2 之和 2. 反應(yīng)距離 d1與車(chē)速 v成正比 3. 剎車(chē)時(shí)使用最大制動(dòng)力 F，F(xiàn)作功等于汽車(chē)動(dòng)能的改變 。 vtd 11 ?F d2= m v2/2 F ? m 21 kvvtd ??t1為反應(yīng)時(shí)間 21 ddd ??且 F與車(chē)的質(zhì)量 m成正比 22 kvd ?? 反應(yīng)時(shí)間 t1的經(jīng)驗(yàn)估計(jì)值為 參數(shù)估計(jì) ? 利用交通部門(mén)提供的一組實(shí)際數(shù)據(jù)擬合 k 21 kvvtd ??模 型 最小二乘法 ? k= 計(jì)算剎車(chē)距離、剎車(chē)時(shí)間 車(chē)速 (英里 /小時(shí) ) (英尺 /秒 ) 實(shí)際剎車(chē)距離（英尺） 計(jì)算剎車(chē)距離（英尺） 剎車(chē)時(shí)間 （秒） 20 42（ 44） 30 （ 78） 40 116（ 124） 50 173（ 186） 60 248（ 268） 70 343（ 372） 80 464（ 506） “ 2秒準(zhǔn)則”應(yīng)修正為 “ t 秒準(zhǔn)則” 221 vvkvvtd ????模 型 車(chē)速 (英里 /小時(shí) ) 剎車(chē)時(shí)間 （秒） 20 30 40 50 60 70 80 車(chē)速（英里 /小時(shí)） 0~10 10~40 40~60 60~80 t（秒） 1 2 3 4 劃艇比賽的成績(jī) 賽艇 2023米成績(jī) t (分 ) 種類(lèi) 1 2 3 4 平均 單人 雙人 四人 八人 艇長(zhǎng) l 艇寬 b (米 ) (米 ) l/b 空艇重 w0(kg) 漿手?jǐn)?shù) n 對(duì)四種賽艇（ 單人、雙人、四人、八人） 4次國(guó)際大賽冠軍的成績(jī)進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)與漿手?jǐn)?shù)有某種關(guān)系。試建立數(shù)學(xué)模型揭示這種關(guān)系。 問(wèn)題 準(zhǔn)備 調(diào)查賽艇的尺寸和重量 l /b, w0/n 基本不變 問(wèn)題分析 ? 前進(jìn)阻力 ~ 浸沒(méi)部分與水的摩擦力 ? 前進(jìn)動(dòng)力 ~ 漿手的劃漿功率 分析賽艇速度與漿手?jǐn)?shù)量之間的關(guān)系 賽艇速度由前進(jìn)動(dòng)力和前進(jìn)阻力決定 劃漿 功率 賽艇 速度 賽艇 速度 前進(jìn) 動(dòng)力 前進(jìn) 阻力 漿手?jǐn)?shù)量 艇 重 浸沒(méi) 面積 ? 對(duì)漿手體重、功率、阻力與艇速的關(guān)系等作出假定 ? 運(yùn)用合適的物理定律建立模型 模型假設(shè) 1）艇形狀相同 (l/b為常數(shù) ), w0與 n成正比 2） v是常數(shù)，阻力 f與 sv2成正比 符號(hào)：艇速 v, 浸沒(méi)面積 s, 浸沒(méi)體積 A, 空艇重 w0, 阻力 f, 漿手?jǐn)?shù) n, 漿手功率 p, 漿手體重 w, 艇重
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