初等模型 《數(shù)學(xué)模型》(第三版)電子課件姜啟源、謝金星、葉 俊編制-文庫吧
2024-12-19 20:04 本頁面
【正文】 數(shù) , kvwr一種確定參數(shù)的辦法是測量或調(diào)查，請設(shè)計測量方法。 ????mivtwir1)(2 ?wvtrwknr ??? ])[( 22? vdtkdnwknr ?? ?2)(思 考 參數(shù)估計 另一種確定參數(shù)的方法 ——測試分析 將模型改記作 ,2 bnant ??只需估計 a,b 理論上，已知 t=184, n=6061, 再有一組 (t, n)數(shù)據(jù)即可 實際上，由于測試有誤差，最好用足夠多的數(shù)據(jù)作擬合 現(xiàn)有一批測試數(shù)據(jù)： t 0 20 40 60 80 n 0000 1141 2023 2760 3413 t 100 120 140 160 184 n 4004 4545 5051 5525 6061 用最小二乘法可得 .,26??????ba模 型 檢 驗 應(yīng)該另外測試一批數(shù)據(jù)檢驗?zāi)Ｐ停? bnant ??2 ),( 26 ?? ???? ba模 型 應(yīng) 用 回答提出的問題：由模型算得 n = 4450 時 t = ， 剩下的錄像帶能錄 = 。 揭示了 “ t 與 n 之間呈二次函數(shù)關(guān)系” 這一普遍規(guī)律， 當(dāng)錄像帶的狀態(tài)改變時，只需重新估計 a,b 即可。 2d 墻 室內(nèi) T1 室外 T2 d d 墻 l 室內(nèi) T1 室外 T2 問題 雙層玻璃窗與同樣多材料的單層玻璃窗相比，減少多少熱量損失 假設(shè) 熱量傳播只有傳導(dǎo)，沒有對流 T1,T2不變，熱傳導(dǎo)過程處于穩(wěn)態(tài) 材料均勻，熱傳導(dǎo)系數(shù)為常數(shù) 建模 熱傳導(dǎo)定律 dTkQ ??Q1 Q2 Q ~單位時間單位面積傳導(dǎo)的熱量 ?T~溫差 , d~材料厚度 , k~熱傳導(dǎo)系數(shù) 雙層玻璃窗的功效 d d 墻 l 室內(nèi) T1 室外 T2 Q1 Ta Tb 記雙層玻璃窗傳導(dǎo)的熱量 Q1 Ta~內(nèi)層玻璃的外側(cè)溫度 Tb~外層玻璃的內(nèi)側(cè)溫度 k1~玻璃的熱傳導(dǎo)系數(shù) k2~空氣的熱傳導(dǎo)系數(shù) dTTklTTkdTTkQ bbaa 212111??????dlhkkhssdTTkQ ????? ,)2( 212111建模 記單層玻璃窗傳導(dǎo)的熱量 Q2 dTTkQ22112??2d 墻 室內(nèi) T1 室外 T2 Q2 雙層與單層窗傳導(dǎo)的熱量之比 dlhkkhssQ ???? ,22212121 ?k1=4?103 ~8 ?103, k2=?104, k1/k2=16 ~32 對 Q1比 Q2的減少量作最保守的估計， 取 k1/k2 =16 dlhhQ ??? ,18121)2(2111 ???sdTTkQ建模 h Q1/Q2 4 2 0 6 模型應(yīng)用 取 h=l/d=4, 則 Q1/Q2= 即雙層玻璃窗與同樣多材料的單層玻璃窗相比，可減少 97%的熱量損失。 結(jié)果分析 Q1/Q2所以如此小，是由于層間空氣極低的熱傳導(dǎo)系數(shù) k2, 而這要求空氣非常干燥、不流通。 房間通過天花板、墻壁 … … 損失的熱量更多。 dlhh ??? ,18121雙層窗的功效不會如此之大 汽車剎車距離 美國的某些司機培訓(xùn)課程中的駕駛規(guī)則： 背景與問題 ? 正常駕駛條件下 , 車速每增 10英里 /小時， 后面與前車的距離應(yīng)增一個車身的長度。 ? 實現(xiàn)這個規(guī)則的簡便辦法是 “ 2秒準(zhǔn)則” ： ? 后車司機從前車經(jīng)過某一標(biāo)志開始默數(shù) 2秒鐘后到達同一標(biāo)志 ， 而不管車速如何 判斷 “ 2秒準(zhǔn)則” 與 “車身”規(guī)則是否一樣； 建立數(shù)學(xué)模型 ， 尋求更好的駕駛規(guī)則 。 問題分析 常識：剎車距離與車速有關(guān) 10英里 /小時 (?16公里 /小時 )車速下 2秒鐘行駛29英尺 (? 9米 ) 車身的平均長度 15英尺 (= ) “ 2秒準(zhǔn)則”與“ 10英里 /小時加一車身”規(guī)則不同 剎車距離 反應(yīng)時間 司機狀況 制動系統(tǒng) 靈活性 制動器作用力、車重、車速、道路、氣候 … … 最大制動力與車質(zhì)量成正比，使汽車作勻減速運動。 車速 常數(shù) 反應(yīng)距離 制動距離 常數(shù) 假 設(shè) 與 建 模 1. 剎車距離 d 等于反應(yīng)距離 d1 與制動距離 d2 之和 2. 反應(yīng)距離 d1與車速 v成正比 3. 剎車時使用最大制動力 F，F(xiàn)作功等于汽車動能的改變 。 vtd 11 ?F d2= m v2/2 F ? m 21 kvvtd ??t1為反應(yīng)時間 21 ddd ??且 F與車的質(zhì)量 m成正比 22 kvd ?? 反應(yīng)時間 t1的經(jīng)驗估計值為 參數(shù)估計 ? 利用交通部門提供的一組實際數(shù)據(jù)擬合 k 21 kvvtd ??模 型 最小二乘法 ? k= 計算剎車距離、剎車時間 車速 (英里 /小時 ) (英尺 /秒 ) 實際剎車距離（英尺） 計算剎車距離（英尺） 剎車時間 （秒） 20 42（ 44） 30 （ 78） 40 116（ 124） 50 173（ 186） 60 248（ 268） 70 343（ 372） 80 464（ 506） “ 2秒準(zhǔn)則”應(yīng)修正為 “ t 秒準(zhǔn)則” 221 vvkvvtd ????模 型 車速 (英里 /小時 ) 剎車時間 （秒） 20 30 40 50 60 70 80 車速（英里 /小時） 0~10 10~40 40~60 60~80 t（秒） 1 2 3 4 劃艇比賽的成績 賽艇 2023米成績 t (分 ) 種類 1 2 3 4 平均 單人 雙人 四人 八人 艇長 l 艇寬 b (米 ) (米 ) l/b 空艇重 w0(kg) 漿手數(shù) n 對四種賽艇（ 單人、雙人、四人、八人） 4次國際大賽冠軍的成績進行比較，發(fā)現(xiàn)與漿手數(shù)有某種關(guān)系。試建立數(shù)學(xué)模型揭示這種關(guān)系。 問題 準(zhǔn)備 調(diào)查賽艇的尺寸和重量 l /b, w0/n 基本不變 問題分析 ? 前進阻力 ~ 浸沒部分與水的摩擦力 ? 前進動力 ~ 漿手的劃漿功率 分析賽艇速度與漿手數(shù)量之間的關(guān)系 賽艇速度由前進動力和前進阻力決定 劃漿 功率 賽艇 速度 賽艇 速度 前進 動力 前進 阻力 漿手數(shù)量 艇 重 浸沒 面積 ? 對漿手體重、功率、阻力與艇速的關(guān)系等作出假定 ? 運用合適的物理定律建立模型 模型假設(shè) 1）艇形狀相同 (l/b為常數(shù) ), w0與 n成正比 2） v是常數(shù)，阻力 f與 sv2成正比 符號：艇速 v, 浸沒面積 s, 浸沒體積 A, 空艇重 w0, 阻力 f, 漿手數(shù) n, 漿手功率 p, 漿手體重 w, 艇重
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