【正文】 ??? ,)2( 212111建模 記單層玻璃窗傳導(dǎo)的熱量 Q2 dTTkQ22112??2d 墻 室內(nèi) T1 室外 T2 Q2 雙層與單層窗傳導(dǎo)的熱量之比 dlhkkhssQ ???? ,22212121 ?k1=4?103 ~8 ?103, k2=?104, k1/k2=16 ~32 對 Q1比 Q2的減少量作最保守的估計(jì)， 取 k1/k2 =16 dlhhQ ??? ,18121)2(2111 ???sdTTkQ建模 h Q1/Q2 4 2 0 6 模型應(yīng)用 取 h=l/d=4, 則 Q1/Q2= 即雙層玻璃窗與同樣多材料的單層玻璃窗相比，可減少 97%的熱量損失。 房間通過天花板、墻壁 … … 損失的熱量更多。 ? 實(shí)現(xiàn)這個規(guī)則的簡便辦法是 “ 2秒準(zhǔn)則” ： ? 后車司機(jī)從前車經(jīng)過某一標(biāo)志開始默數(shù) 2秒鐘后到達(dá)同一標(biāo)志 ， 而不管車速如何 判斷 “ 2秒準(zhǔn)則” 與 “車身”規(guī)則是否一樣； 建立數(shù)學(xué)模型 ， 尋求更好的駕駛規(guī)則 。 車速 常數(shù) 反應(yīng)距離 制動距離 常數(shù) 假 設(shè) 與 建 模 1. 剎車距離 d 等于反應(yīng)距離 d1 與制動距離 d2 之和 2. 反應(yīng)距離 d1與車速 v成正比 3. 剎車時使用最大制動力 F，F(xiàn)作功等于汽車動能的改變 。試建立數(shù)學(xué)模型揭示這種關(guān)系。研究實(shí)物交換方案。設(shè)交換前甲占有 X的數(shù)量為 x0, 乙占有 Y的數(shù)量為 y0, 作圖： 若不考慮雙方對 X,Y的偏愛，則矩形內(nèi)任一點(diǎn) p(x,y) 都是一種交換方案：甲占有 (x,y) ，乙占有 (x0 x, y0 y) x y yo 0 xo ? ? 實(shí)物交換 x y yo y1 y2 0 x1 x2 xo p1 p2 . . 甲的無差別曲線 分析與建模 如果甲占有 (x1,y1)與占有 (x2,y2)具有同樣的滿意程度，即 p1, p2對甲是無差別的， M N 將 所有與 p1, p2無差別的點(diǎn)連接起來，得到一條 無差別曲線 MN, 線上各點(diǎn)的滿意度相同 , 線的形狀反映對 X,Y的偏愛程度， N1 M1 p3(x3,y3) . 比 MN各點(diǎn)滿意度更高的點(diǎn)如 p3，在另一條無差別曲線 M1N1上。 y?xp1 . y?xp2 . c1? y 0 x f(x,y)=c1 無差別曲線族的性質(zhì)： ? 單調(diào)減 (x增加 , y減小 ) ? 下凸 (凸向原點(diǎn) ) ? 互不相交 在 p1點(diǎn)占有 x少、 y多，寧愿以較多的 ? y換取較少的 ? x。 甲的無差別曲線族記作 f(x,y)=c1 c1~滿意度 （ f ~等滿意度曲線） x y O g(x,y)=c2 c2? 乙的無差別曲線族 g(x,y)=c2具有相同性質(zhì)（形狀可以不同） 雙方的交換路徑 x y yo O xo f=c1 O‘ x’ y’ g=c2 乙的無差別曲線族 g=c2 (坐標(biāo)系 x’ O’ y’ , 且反向） 甲的無差別曲線族 f=c1 A B p ? P’ ? 雙方滿意的交換方案必在 AB（交換路徑）上 因?yàn)樵?AB外的任一點(diǎn) p’ , (雙方 )滿意度低于 AB上的點(diǎn) p 兩族曲線切點(diǎn)連線記作 AB A B p 交換方案的進(jìn)一步確定 交換方案 ~ 交換后甲的占有量 (x,y) 0?x?x0, 0?y?y0矩形內(nèi)任一點(diǎn) 交換路徑 AB 雙方的無差別曲線族 等價交換原則 X,Y用貨幣衡量其價值，設(shè)交換前 x0,y0價值相同，則等價交換原則下交換路徑為 C D (x0,0), (0,y0) 兩點(diǎn)的連線 CD AB與 CD的交點(diǎn) p 設(shè) X單價 a, Y單價 b, 則等價交換下 ax+by=s (s=ax0=by0) y yo 0 xo . . x 核軍備競賽 ? 冷戰(zhàn)時期美蘇聲稱為了保衛(wèi)自己的安全，實(shí)行“核威懾戰(zhàn)略”，核軍備競賽不斷升級。 ? 在什么情況下雙方的核軍備競賽不會無限擴(kuò)張，而存在暫時的平衡狀態(tài)。 ? 估計(jì)平衡狀態(tài)下雙方擁有的最少的核武器數(shù)量，這個數(shù)量受哪些因素影響。 假定雙方采取如下同樣的 核威懾戰(zhàn)略： ? 認(rèn)為對方可能發(fā)起所謂第一次核打擊，即傾其全部核導(dǎo)彈攻擊己方的核導(dǎo)彈基地； ? 乙方在經(jīng)受第一次核打擊后，應(yīng)保存足夠的核導(dǎo)彈，給對方重要目標(biāo)以毀滅性的打擊。 摧毀這個基地的可能性是常數(shù)，它由一方的攻擊精度和另一方的防御能力決定。 sx個基地未摧毀， y–x個基地未攻擊。 ),( mm yxP ???（其它因素不變） 乙安全線 y=f(x)上移 模型解釋 平衡點(diǎn) P?P180。 ? 雙方發(fā)展多彈頭導(dǎo)彈，每個彈頭可以獨(dú)立地摧毀目標(biāo) (x , y仍為雙方核導(dǎo)彈的數(shù)量 ) 雙方威懾值減小，殘存率不變，交換比增加 y0減小 ? y下移且變平 x y 0 y0 x0 P(xm,ym) x=g(y) y=f(x) ?P?a 變大 ? y增加且變陡 雙方導(dǎo)彈增加還是減少，需要更多信息及更詳細(xì)的分析 ?PP ??模型解釋 乙安全線 y=f(x) ?PP ???帆船在海面上乘風(fēng)遠(yuǎn)航，確定最佳的航行方向及帆的朝向 簡化問題 A B ? ? ? 風(fēng)向 北 航向 帆船 海面上東風(fēng)勁吹，設(shè)帆船要從 A點(diǎn)駛向正東方的 B點(diǎn)，確定起航時的航向 ?， 帆 ? 以及帆的朝向 ? 啟帆遠(yuǎn)航 模型分析 ? 風(fēng) (通過帆 )對船的推力 w ? 風(fēng)對船體部分的阻力 p 推力 w的分解 ? ? ? w p 阻力 p的分解 w=w1+w2 w1 w2 w1=f1+f2 f1 f2 p2 p1 p=p1+p2 模型假設(shè) ? w與帆迎風(fēng)面積 s1成正比， p與船迎風(fēng)面積s2成正比，比例系數(shù)相同且 s1遠(yuǎn)大于 s2， f1~航行方向的推力 p1 ~航行方向的阻力 w1=wsin(??) f1=w1sin?=wsin? sin(??) p1=pcos? 模型假設(shè) ? ? ? w p w1 w2 f1 f2 p2 p1 ? w2與帆面平行，可忽略 ? f2, p2垂直于船身，可由舵抵消 模型建立 w=ks1, p=ks2 船在正東方向速度分量 v1=vcos? ? 航向速度 v與力 f=f1p1成正比 v=k1(f1p1) v1 v 2) 令 ? =? /2, v1=k1 [w(1cos?)/2 pcos?]cos ? 求 ?使 v1最大 （ w=ks1, p=ks2） 1) 當(dāng) ?固定時求 ?使 f1最大 f1=w[cos(?2?)cos?]/2 ? =? /2 時 f1=w(1cos?)/2最大 = k1(f1p1)cos? f1=w1sin?=wsin? sin(??) p1=pcos? 求 ?,? ,使 v1最大 模型建立 v1=vcos? ? ? ? w p w1 w2 f1 f2 p2 p1 v1 v 模型求解 60186。 1 t 2 ?? cos)cos1(21 tkv ?? ])21(cos41[ 222 tttk ??? ?v1最大 2),21(21cos12 ??? ????sstt備注 ? 只討論起航時的航向，是靜態(tài)模型 ? 航行過