【正文】 得到鋼材規(guī)定的長(zhǎng)度 粗軋 鋼材長(zhǎng)度正態(tài)分布 均值可以調(diào)整 方差由設(shè)備精度確定 粗軋鋼材長(zhǎng)度大于規(guī)定 切掉多余 部分 粗軋鋼材長(zhǎng)度小于規(guī)定 整根報(bào)廢 隨機(jī)因素影響 精軋 問(wèn)題：如何調(diào)整粗軋的均值，使精軋的浪費(fèi)最小 背景 福 州 大 學(xué) 19 分析 設(shè)已知精軋后鋼材的規(guī)定長(zhǎng)度為 l， 粗軋后鋼材長(zhǎng)度的均方差為 ? 記粗軋時(shí)可以調(diào)整的均值為 m，則粗軋得到的鋼材長(zhǎng)度為正態(tài)隨機(jī)變量，記作 x~N(m, ? 2) 切掉多余部分的概率 )( lxPP ??整根報(bào)廢的概率 )( lxPP ???????? PPm ,存在最佳的 m使總的浪費(fèi)最小 l P ????? PPm ,0 p(概率密度 ) m x P180。 （ s, S) 存貯策略 制訂下界 s, 上界 S，當(dāng)周末庫(kù)存小于 s 時(shí)訂貨，使下周初的庫(kù)存達(dá)到 S。 福 州 大 學(xué) 5 模型假設(shè) 1） n個(gè)工作臺(tái) 均勻排列， n個(gè)工人生產(chǎn)相互獨(dú)立，生產(chǎn)周期是常數(shù)； 2）生產(chǎn)進(jìn)入穩(wěn)態(tài)，每人生產(chǎn)完一件產(chǎn)品的時(shí)刻在一個(gè)周期內(nèi)是 等可能 的； 3）一周期內(nèi) m個(gè)均勻排列的掛鉤 通過(guò)每一工作臺(tái)的上方，到達(dá)第一個(gè)工作臺(tái)的掛鉤都是空的； 4）每人在生產(chǎn)完一件產(chǎn)品時(shí)都 能且只能觸到一只掛鉤 ，若這只掛鉤是空的，則可將產(chǎn)品掛上運(yùn)走；若該鉤非空，則這件產(chǎn)品被放下，退出運(yùn)送系統(tǒng)。 ? 可以用一個(gè)周期內(nèi)傳送帶運(yùn)走的產(chǎn)品數(shù)占產(chǎn)品總數(shù)的 比例 ，作為衡量傳送帶效率的數(shù)量指標(biāo)。福 州 大 學(xué) 1 第九章 概率模型 傳送系統(tǒng)的效率 報(bào)童的訣竅 隨機(jī)存貯策略 軋鋼中的浪費(fèi) 隨機(jī)人口模型 福 州 大 學(xué) 2 確定性因素和隨機(jī)性因素 隨機(jī)因素可以忽略 隨機(jī)因素影響可以簡(jiǎn)單地以平均值的作用出現(xiàn) 隨機(jī)因素影響必須考慮 概率模型 統(tǒng)計(jì)回歸模型 馬氏鏈模型 隨機(jī)模型 確定性模型 隨機(jī)性模型 福 州 大 學(xué) 3 傳送帶 掛鉤 產(chǎn)品 工作臺(tái) 工人將生產(chǎn)出的產(chǎn)品掛在經(jīng)過(guò)他上方的空鉤上運(yùn)走，若工作臺(tái)數(shù)固定，掛鉤數(shù)量越多，傳送帶運(yùn)走的產(chǎn)品越多。 背景 在生產(chǎn)進(jìn)入穩(wěn)態(tài)后，給出衡量傳送帶效率的指標(biāo)，研究提高 傳送帶效率 的途徑 傳送系統(tǒng)的效率 福 州 大 學(xué) 4 問(wèn)題分析 ? 進(jìn)入穩(wěn)態(tài)后為保證生產(chǎn)系統(tǒng)的周期性運(yùn)轉(zhuǎn)，應(yīng)假定工人們的 生產(chǎn)周期相同 ，即每人作完一件產(chǎn)品后，要么恰有空鉤經(jīng)過(guò)他的工作臺(tái)，使他可將產(chǎn)品掛上運(yùn)走，要么沒(méi)有空鉤經(jīng)過(guò)，迫使他放下這件產(chǎn)品并立即投入下件產(chǎn)品的生產(chǎn)。 ? 工人們生產(chǎn)周期雖然相同，但穩(wěn)態(tài)下每人生產(chǎn)完一件產(chǎn)品的時(shí)刻不會(huì)一致，可以認(rèn)為是隨機(jī)的，并且在一個(gè)周期內(nèi) 任一時(shí)刻的可能性相同 。 福 州 大 學(xué) 6 模型建立 ? 定義 傳送帶效率 為一周期內(nèi)運(yùn)走的產(chǎn)品數(shù)（記作 s,待定）與生產(chǎn)總數(shù) n（已知）之比，記作 D=s /n ? 若求出一周期內(nèi)每只掛鉤非空的概率 p，則 s=mp 為確定 s，從 工人 考慮還是從 掛鉤 考慮，哪個(gè)方便？ 設(shè)每只掛鉤為空的概率為 q，則 p=1q 如何求概率 設(shè)每只掛鉤不被一工人觸到的概率為 r，則 q=rn 設(shè)每只掛鉤被一工人觸到的概率為 u，則 r=1u u=1/m p=1(11/m)n D=m[1(11/m)n]/n 一周期內(nèi)有 m個(gè)掛鉤通過(guò)每一工作臺(tái)的上方 福 州 大 學(xué) 7 模型解釋 若 (一周期運(yùn)行的 )掛鉤數(shù) m遠(yuǎn)大于工作臺(tái)數(shù) n, 則 )]2 )1(1(1[ 2mnnmnnmD ????? 傳送帶效率 (一周期內(nèi)運(yùn)走產(chǎn)品數(shù)與生產(chǎn)總數(shù)之比） ])11(1[ nmnmD ???定義 E=1D (一周期內(nèi)未運(yùn)走產(chǎn)品數(shù)與生產(chǎn)總數(shù)之比） 提高效率的途徑： ? 增加 m ? 習(xí)題 1 當(dāng) n遠(yuǎn)大于 1時(shí) , E ? n/2m ~ E與 n成正比，與 m成反比 若 n=10, m=40, D?% (%) mn211 ???福 州 大 學(xué) 8 報(bào)童的訣竅 問(wèn)題 報(bào)童售報(bào)： a (零售價(jià) ) b(購(gòu)進(jìn)價(jià) ) c(退回價(jià) ) 售出一份賺 ab；退回一份賠 bc 每天購(gòu)進(jìn)多少份可使收入最大？ 分析 購(gòu)進(jìn)太多 ?賣(mài)不完退回 ?賠錢(qián) 購(gòu)進(jìn)太少 ?不夠銷(xiāo)售 ?賺錢(qián)少 應(yīng)根據(jù)需求確定購(gòu)進(jìn)量 每天需求量是隨機(jī)的 優(yōu)化問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)應(yīng)是長(zhǎng)期的日平均收入 每天收入是隨機(jī)的 存在一個(gè)合適的購(gòu)進(jìn)量 等于每天收入的期望 福 州 大 學(xué) 9 建模 ? 設(shè)每天購(gòu)進(jìn) n 份， 日平均收入為 G(n) 調(diào)查需求量的隨機(jī)規(guī)律 ——每天需求量為 r 的概率 f(r), r=0,1,2… 準(zhǔn)備 ))(()(rncbrnrbarnr?????????賠退回賺售出nbannr )( ???? 賺售出? ????????????nr nrrnfbarfrncbrbanG0 1)()()()])(()[()(求 n 使 G(n) 最大 ? 已知售出一份賺 ab；退回一份賠 bc 福 州 大 學(xué) 10 ? ? ? ??????? n n drrnpbadrrprncbrbanG 0 )()()()])(()[()(?dndG求解 將 r視為連續(xù)變量 概率密度）()()( rprf ?0?dndGcbbadrrpdrrpnn??????)()(0? ? ?????? n n drrpbadrrpcb 0 )()()()(? ? ???? n drrpbannpba )()()()(? ??? n drrpcbnnpba 0 )()()()(福 州 大 學(xué) 11 cbbadrrpdrrpnn??????)()(0結(jié)果解釋 ?? ? ?? nn PdrrpPdrrp 20 1 )(,)(n P1 P2 cbbaPP???21取 n使 ab ~售出一份賺的錢(qián) bc ~退回一份賠的錢(qián) ???????? ncbnba )(,)(0 r p 福 州 大 學(xué) 12 隨機(jī)存貯策略 問(wèn)題 以周為時(shí)間單位；一周的商品銷(xiāo)售量為隨機(jī)；周末根據(jù)庫(kù)存決定是否訂貨，供下周銷(xiāo)售。 否則，不訂貨。 m P P180。 ?=l/?=10 z*= ?*= ?z*= m*= ?*?=(米 ) 求解 0 z z F(z) F(z) zzF ?? ?)( 0 10 5 F(z) z 福 州 大 學(xué) 25 隨機(jī)人口模型 背景 ? 一個(gè)人的出生和死亡是隨機(jī)事件 一個(gè)國(guó)家或地區(qū) 平均生育率平均死亡率 確定性模型 一個(gè)家族或村落 出生概率死亡概率 隨機(jī)性模型 對(duì)象 X(t) ~ 時(shí)刻 t 的人口 , 隨機(jī)變量 . Pn(t) ~概率 P(X(t)=n), n=0,1,2,… 研究 Pn(t)的變化規(guī)律；得到 X(t)的期望和方差 福 州 大 學(xué) 26 若 X(t)=n, 對(duì) t到 t+?t的出生和死亡概率作以下假設(shè) 1)出生一人的概率與 ?t成正比，記 bn?t 。死亡二人及二人以上的概率為 o(?t). 3)出生和死亡是相互獨(dú)立的隨機(jī)事件。 進(jìn)一步假設(shè) 模型假設(shè) 福 州 大 學(xué) 27 )()1)(()()()( 1111totdtbtPtdtPtbtPttPnnnnnnnn????????????? ????建模 為得到 Pn(t) P(X(t)=n),的變化規(guī)律，考察 Pn(t+?t) =P(X(t +?t)=n). 事件 X(t +?t)=n的分解 X(t)=n1, ?t內(nèi)出生一人 X(t)=n+1, ?t內(nèi)死亡一人 X(t)=n, ?t內(nèi)沒(méi)有出生和死亡 其它 (出生或死亡二人，出生且死亡一人， … …) 概率 Pn(t+?t) Pn1(t), bn1?t Pn+1(t), dn+1?t Pn(t), 1bn?t dn ?t o(?t) 福 州 大 學(xué) 28 )()()()1()()1( 11 tnPtPntPndtdP nnnn ???? ?????? ??)()()()( 1111 tPdbtPdtPbdtdP nnnnnnnn ???? ????~一組遞推微分方程 ——求解的困難和不必要 ??????00,0,1)0(nnnnP n (t=0時(shí)已知人口為 n0) 轉(zhuǎn)而考察 X(t)的期望和方差 bn=?n， dn=?n 微分方程 建模 福 州 大 學(xué) 29 ???????1)()()()(nn tEtnPdtdE ????)()()()1()()1(121111tPntPnntPnndtdEnnnnnn????????????????????? ????1)()(nn tnPtEX(t)的期望 求解 )()()()1()()1( 11 tnPtPntPndtdP nnnn ???? ?????? ??基本方程 ?????1)()1(kk tPkk?n1=k ????1nndtdPndtdE