初等模型數(shù)學(xué)模型(第三版)電子課件姜啟源、謝金星、葉俊編制-展示頁(yè)
2025-01-04 20:04本頁(yè)面
【正文】 分別為 10， 6， 4席。 現(xiàn)因?qū)W生轉(zhuǎn)系， 三系人數(shù)為 103, 63, 34, 問 20席如何分配。 比例加慣例 對(duì)丙系公平嗎 （ ）甲 乙 .5 丙 .0 （ ）甲 10 乙 6 丙 4 5 11 7 3 “公平”分配方法 衡量公平分配的數(shù)量指標(biāo) 人數(shù) 席位 A方 p1 n1 B方 p2 n2 當(dāng) p1/n1= p2/n2 時(shí)，分配公平 p1/n1– p2/n2 ~ 對(duì) A的絕對(duì)不公平度 p1=150, n1=10, p1/n1=15 p2=100, n2=10, p2/n2=10 p1=1050, n1=10, p1/n1=105 p2=1000, n2=10, p2/n2=100 p1/n1– p2/n2=5 但后者對(duì) A的 不公平程度已大大降低 ! 雖二者 的絕對(duì)不公平度相同 若 p1/n1 p2/n2 ， 對(duì) 不公平 A p1/n1– p2/n2=5 公平分配方案應(yīng)使 rA , rB 盡量小 設(shè) A, B已分別有 n1, n2 席，若增加 1席，問應(yīng)分給 A, 還是 B 不妨設(shè)分配開始時(shí) p1/n1 p2/n2 ， 即對(duì) A不公平 ),(///21222211 nnrnpnpnpA??~ 對(duì) A的相對(duì)不公平度 將絕對(duì)度量改為相對(duì)度量 類似地定義 rB(n1,n2) 將一次性的席位分配轉(zhuǎn)化為動(dòng)態(tài)的席位分配 , 即 “公平”分配方法 若 p1/n1 p2/n2 ， 定義 1）若 p1/(n1+1) p2/n2 ， 則這席應(yīng)給 A 2）若 p1/(n1+1) p2/n2 ， 3）若 p1/n1 p2/(n2+1)， 應(yīng)計(jì)算 rB(n1+1, n2) 應(yīng)計(jì)算 rA(n1, n2+1) 若 rB(n1+1, n2) rA(n1, n2+1), 則這席應(yīng)給 應(yīng)討論以下幾種情況 初始 p1/n1 p2/n2 問： p1/n1p2/(n2+1) 是否會(huì)出現(xiàn)？ A 否 ! 若 rB(n1+1, n2) rA(n1, n2+1), 則這席應(yīng)給 B 當(dāng) rB(n1+1, n2) rA(n1, n2+1), 該席給 A rA, rB的定義 )1()1( 11212222??? nnpnnp該席給 A 否則 , 該席給 B ,2,1,)1(2??? innpQiiii 定義 該席給 Q值較大的一方 推廣到 m方分配席位 該席給 Q值最大的一方 Q 值方法 minnpQiiii ,2,1,)1(2????計(jì)算 ， 三系用 Q值方法重新分配 21個(gè)席位 按人數(shù)比例的整數(shù)部分已將 19席分配完畢 甲系： p1=103, n1=10 乙系： p2= 63, n2= 6 丙系： p3= 34, n3= 3 用 Q值方法分配第 20席和第 21席 第 20席 4334,7663,1110103 232221 ????????? Q第 21席 3221 ,103 Q ???同上 Q3最大，第21席給丙系 甲系 11席，乙系 6席，丙系 4席 Q值方法分配結(jié)果 公平嗎？ Q1最大，第 20席給甲系 進(jìn)一步的討論 Q值方法比“比例加慣例”方法更公平嗎？ 席位分配的理想化準(zhǔn)則 已知 : m方人數(shù)分別為 p1, p2,… , pm, 記總?cè)藬?shù)為 P= p1+p2+…+ pm, 待分配的總席位為 N。 令人遺憾！ 問 題 在一次使用中錄像帶已經(jīng)轉(zhuǎn)過大半，計(jì)數(shù)器讀數(shù)為 4450，問剩下的一段還能否錄下 1小時(shí)的節(jié)目？ 要求 不僅回答問題，而且建立計(jì)數(shù)器讀數(shù)與 錄像帶轉(zhuǎn)過時(shí)間的關(guān)系。 錄像機(jī)計(jì)數(shù)器的工作原理 主動(dòng)輪 壓輪 0000 左輪盤 右輪盤 磁頭 計(jì)數(shù)器 錄像帶 錄像帶運(yùn)動(dòng)方向 錄像帶運(yùn)動(dòng) 右輪盤半徑增大 右輪轉(zhuǎn)速不是常數(shù) 錄像帶運(yùn)動(dòng)速度是常數(shù) 計(jì)數(shù)器讀數(shù)增長(zhǎng)變慢 問題分析 觀察 計(jì)數(shù)器讀數(shù)增長(zhǎng)越來越慢！ 模型假設(shè) ? 錄像帶的運(yùn)動(dòng)速度是常數(shù) v ； ? 計(jì)數(shù)器讀數(shù) n與右輪轉(zhuǎn)數(shù) m成正比，記 m=kn； ? 錄像帶厚度（加兩圈間空隙）為常數(shù) w； ? 空右輪盤半徑記作 r ； ? 時(shí)間 t=0 時(shí)讀數(shù) n=0 . 建模目的 建立 時(shí)間 t與讀數(shù) n之間的關(guān)系 （設(shè) v,k,w ,r為已知參數(shù)） 模型建立 建立 t與 n的函數(shù)關(guān)系有多種方法 1. 右輪盤轉(zhuǎn)第 i 圈的半徑為 r+wi, m圈的總長(zhǎng)度 等于錄像帶在時(shí)間 t內(nèi)移動(dòng)的長(zhǎng)度 vt, 所以 knm ?nvrknvwkt ?? 222 ??????mivtwir1)(2 ?2. 考察右輪盤面積的 變化，等于錄像帶厚度 乘以轉(zhuǎn)過的長(zhǎng)度，即 wvtrwknr ??? ])[(22?nvrknvwkt ?? 222 ??3. 考察 t到 t+dt錄像帶在 右輪盤纏繞的長(zhǎng)度，有 vdtkdnwknr ?? ?2)(??模型建立 思 考 nvrknvwkt ?? 222 ??3種建模方法得到同一結(jié)果 但仔細(xì)推算會(huì)發(fā)現(xiàn)稍有差別，請(qǐng)解釋。 ????mivtwir1)(2 ?wvtrwknr ??? ])[( 22? vdtkdnwknr ?? ?2)(思 考 參數(shù)估計(jì) 另一種確定參數(shù)的方法 ——測(cè)試分析 將模型改記作 ,2 bnant ??只需估計(jì) a,b 理論上，已知 t=184, n=6061, 再有一組 (t, n)數(shù)據(jù)即可 實(shí)際上，由于測(cè)試有誤差，最好用足夠多的數(shù)據(jù)作擬合 現(xiàn)有一批測(cè)試數(shù)據(jù)： t 0 20 40 60 80 n 0000 1141 2023 2760 3413 t 100 120 140 160 184 n 4004 4545 5051 5525 6061 用最小二乘法可得 .,26??????ba模 型 檢 驗(yàn) 應(yīng)該另外測(cè)試一批數(shù)據(jù)檢驗(yàn)?zāi)Ｐ停? bnant ??2 ),( 26 ?? ???? ba模 型 應(yīng) 用 回答提出的問題：由模型算得 n = 4450 時(shí) t = ， 剩下的錄像帶能錄 = 。 2d 墻 室內(nèi) T1 室外 T2 d d 墻 l 室內(nèi) T1 室外 T2 問題 雙層玻璃窗與同樣多材料的單層玻璃窗相比，減少多少熱量損失 假設(shè) 熱量傳播只有傳導(dǎo)，沒有對(duì)流 T1,T2不變，熱傳導(dǎo)過程處于穩(wěn)態(tài) 材料均勻，熱傳導(dǎo)系數(shù)為常數(shù) 建模 熱傳導(dǎo)定律 dTkQ ??Q1 Q2 Q ~單位時(shí)間單位面積傳導(dǎo)的熱量 ?T~溫差 , d~材料厚度 , k~熱傳導(dǎo)系數(shù) 雙層玻璃窗的功效 d d 墻 l 室內(nèi) T1 室外 T2 Q1 Ta Tb 記雙層玻璃窗傳導(dǎo)的熱量 Q1 Ta~內(nèi)層玻璃的外側(cè)溫度 Tb~外層玻璃的內(nèi)側(cè)溫度 k1~玻璃的熱傳導(dǎo)系數(shù) k2~空氣的熱傳導(dǎo)系數(shù) dTTklTTkdTTkQ bbaa 212111??????dlhkkhssdTTkQ ??
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