初等模型數(shù)學模型(第三版)電子課件姜啟源、謝金星、葉俊編制-文庫吧在線文庫
【正文】 003321????對 x,y,z的兩組測量值 x1,y1,z1 和 x2,y2,z2， p1 = f( x1,y1,z1), p2 = f( x2, y2,z2 ) 2121ppp???為什么假設這種形式 321 ???? glmt ?設 p= f(x,y,z) ),(),(),(),(222111222111czbyaxfczbyaxfzyxfzyxf ?x,y,z的量綱單位縮小 a,b,c倍 ???? zyxzyxf ?),(p= f(x,y,z)的形式為 ),(),( 22221111 czbyaxfpczbyaxfp ????0002010010101004321)()()()(TMLTMLTMLTMLTMLyyyy?? 000241243 TMLTML yyyyy ??????????????? 201001010100][][][][TMLgTMLlTMLmTMLt單擺運動中 t, m, l, g 的一般表達式 0),( ?glmtf?????????020041243yyyyy??glt 12 )/( glt ?? TTyyyyy)1,1,0,2(),( 4321???基本解??4321 yyyy glmty1~y4 為待定常數(shù) , ?為無量綱量 0)(?F設 f(q1, q2, ?, qm) = 0 mjXq niaijij ,2,1,][1??? ??ys = (ys1, ys2, …,y sm)T , s = 1,2,…, mr F(? 1, ?2,…, ?mr ) = 0 與 f (q1, q2, ?, qm) =0 等價 , F未定 Pi定理 (Buckingham) 是與量綱單位無關的物理定律， X1,X2, ? , Xn 是基本量綱 , n?m, q1, q2, ? , qm 的量綱可表為 ,}{ mnijaA ??量綱矩陣記作 rA ?ra nk若線性齊次方程組 0?Ay有 mr 個基本解，記作 ???mjyjssjq1?為 mr 個相互獨立的無量綱量 , 且 則 )()()()()()()(202302)(100100)(121311fsvlgTMLA????????????????[g] = LT2, [l] = L, [?] = L3M, [v] = LT1, [s] = L2, [f] = LMT2 量綱分析示例： 波浪對航船的阻力 航船阻力 f mjXqniaijij,2,1,][1??? ??航船速度 v, 船體尺寸 l, 浸沒面積 s, 海水密度 ?, 重力加速度 g。 摧毀這個基地的可能性是常數(shù)，它由一方的攻擊精度和另一方的防御能力決定。 甲的無差別曲線族記作 f(x,y)=c1 c1~滿意度 （ f ~等滿意度曲線） x y O g(x,y)=c2 c2? 乙的無差別曲線族 g(x,y)=c2具有相同性質（形狀可以不同） 雙方的交換路徑 x y yo O xo f=c1 O‘ x’ y’ g=c2 乙的無差別曲線族 g=c2 (坐標系 x’ O’ y’ , 且反向） 甲的無差別曲線族 f=c1 A B p ? P’ ? 雙方滿意的交換方案必在 AB（交換路徑）上 因為在 AB外的任一點 p’ , (雙方 )滿意度低于 AB上的點 p 兩族曲線切點連線記作 AB A B p 交換方案的進一步確定 交換方案 ~ 交換后甲的占有量 (x,y) 0?x?x0, 0?y?y0矩形內任一點 交換路徑 AB 雙方的無差別曲線族 等價交換原則 X,Y用貨幣衡量其價值，設交換前 x0,y0價值相同，則等價交換原則下交換路徑為 C D (x0,0), (0,y0) 兩點的連線 CD AB與 CD的交點 p 設 X單價 a, Y單價 b, 則等價交換下 ax+by=s (s=ax0=by0) y yo 0 xo . . x 核軍備競賽 ? 冷戰(zhàn)時期美蘇聲稱為了保衛(wèi)自己的安全，實行“核威懾戰(zhàn)略”，核軍備競賽不斷升級。試建立數(shù)學模型揭示這種關系。 2d 墻 室內 T1 室外 T2 d d 墻 l 室內 T1 室外 T2 問題 雙層玻璃窗與同樣多材料的單層玻璃窗相比，減少多少熱量損失 假設 熱量傳播只有傳導，沒有對流 T1,T2不變，熱傳導過程處于穩(wěn)態(tài) 材料均勻，熱傳導系數(shù)為常數(shù) 建模 熱傳導定律 dTkQ ??Q1 Q2 Q ~單位時間單位面積傳導的熱量 ?T~溫差 , d~材料厚度 , k~熱傳導系數(shù) 雙層玻璃窗的功效 d d 墻 l 室內 T1 室外 T2 Q1 Ta Tb 記雙層玻璃窗傳導的熱量 Q1 Ta~內層玻璃的外側溫度 Tb~外層玻璃的內側溫度 k1~玻璃的熱傳導系數(shù) k2~空氣的熱傳導系數(shù) dTTklTTkdTTkQ bbaa 212111??????dlhkkhssdTTkQ ????? ,)2( 212111建模 記單層玻璃窗傳導的熱量 Q2 dTTkQ22112??2d 墻 室內 T1 室外 T2 Q2 雙層與單層窗傳導的熱量之比 dlhkkhssQ ???? ,22212121 ?k1=4?103 ~8 ?103, k2=?104, k1/k2=16 ~32 對 Q1比 Q2的減少量作最保守的估計， 取 k1/k2 =16 dlhhQ ??? ,18121)2(2111 ???sdTTkQ建模 h Q1/Q2 4 2 0 6 模型應用 取 h=l/d=4, 則 Q1/Q2= 即雙層玻璃窗與同樣多材料的單層玻璃窗相比，可減少 97%的熱量損失。 比例加慣例 對丙系公平嗎 （ ）甲 乙 .5 丙 .0 （ ）甲 10 乙 6 丙 4 5 11 7 3 “公平”分配方法 衡量公平分配的數(shù)量指標 人數(shù) 席位 A方 p1 n1 B方 p2 n2 當 p1/n1= p2/n2 時，分配公平 p1/n1– p2/n2 ~ 對 A的絕對不公平度 p1=150, n1=10, p1/n1=15 p2=100, n2=10, p2/n2=10 p1=1050, n1=10, p1/n1=105 p2=1000, n2=10, p2/n2=100 p1/n1– p2/n2=5 但后者對 A的 不公平程度已大大降低 ! 雖二者 的絕對不公平度相同 若 p1/n1 p2/n2 ， 對 不公平 A p1/n1– p2/n2=5 公平分配方案應使 rA , rB 盡量小 設 A, B已分別有 n1, n2
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