初等模型數(shù)學(xué)模型(第三版)電子課件姜啟源、謝金星、葉俊編制(已改無錯字)
2023-01-17 20:04:00 本頁面
【正文】 乙安全線 y=f(x) ?PP ???帆船在海面上乘風(fēng)遠(yuǎn)航，確定最佳的航行方向及帆的朝向 簡化問題 A B ? ? ? 風(fēng)向 北 航向 帆船 海面上東風(fēng)勁吹，設(shè)帆船要從 A點(diǎn)駛向正東方的 B點(diǎn)，確定起航時(shí)的航向 ?， 帆 ? 以及帆的朝向 ? 啟帆遠(yuǎn)航 模型分析 ? 風(fēng) (通過帆 )對船的推力 w ? 風(fēng)對船體部分的阻力 p 推力 w的分解 ? ? ? w p 阻力 p的分解 w=w1+w2 w1 w2 w1=f1+f2 f1 f2 p2 p1 p=p1+p2 模型假設(shè) ? w與帆迎風(fēng)面積 s1成正比， p與船迎風(fēng)面積s2成正比，比例系數(shù)相同且 s1遠(yuǎn)大于 s2， f1~航行方向的推力 p1 ~航行方向的阻力 w1=wsin(??) f1=w1sin?=wsin? sin(??) p1=pcos? 模型假設(shè) ? ? ? w p w1 w2 f1 f2 p2 p1 ? w2與帆面平行，可忽略 ? f2, p2垂直于船身，可由舵抵消 模型建立 w=ks1, p=ks2 船在正東方向速度分量 v1=vcos? ? 航向速度 v與力 f=f1p1成正比 v=k1(f1p1) v1 v 2) 令 ? =? /2, v1=k1 [w(1cos?)/2 pcos?]cos ? 求 ?使 v1最大 （ w=ks1, p=ks2） 1) 當(dāng) ?固定時(shí)求 ?使 f1最大 f1=w[cos(?2?)cos?]/2 ? =? /2 時(shí) f1=w(1cos?)/2最大 = k1(f1p1)cos? f1=w1sin?=wsin? sin(??) p1=pcos? 求 ?,? ,使 v1最大 模型建立 v1=vcos? ? ? ? w p w1 w2 f1 f2 p2 p1 v1 v 模型求解 60186。 ? 75186。 1 t 2 ?? cos)cos1(21 tkv ?? ])21(cos41[ 222 tttk ??? ?v1最大 2),21(21cos12 ??? ????sstt備注 ? 只討論起航時(shí)的航向，是靜態(tài)模型 ? 航行過程中終點(diǎn) B將不在正東方 記 t=1+2s2/s1, k2=k1w/2 =( k1w/2)[1(1+2p/w)cos?]cos ? w=ks1, p=ks2 1/4cos ?1/2 模型求解 v1=k1 [w(1cos?)/2 pcos?]cos ? s1 s2 量綱分析與無量綱化 物理量的量綱 長度 l 的量綱記 L=[l] 質(zhì)量 m的量綱記 M=[m] 時(shí)間 t 的量綱記 T=[t] 動力學(xué)中基本量綱 L, M, T 速度 v 的量綱 [v]=LT1 導(dǎo)出量綱 221rmmkf ?加速度 a 的量綱 [a]=LT2 力 f 的量綱 [f]=LMT2 引力常數(shù) k 的量綱 [k] 對無量綱量 ?， [?]=1(=L0M0T0) 量綱齊次原則 =[f][l]2[m]2=L3M1T2 量綱齊次原則 等式兩端的量綱一致 量綱分析 ~利用量綱齊次原則尋求物理量之間的關(guān)系 例：單擺運(yùn)動 )1(321 ???? glmt ?321 ][][][][ ??? glmt ?l mg m 求擺動周期 t 的表達(dá)式 設(shè)物理量 t, m, l, g 之間有關(guān)系式 ?1, ?2, ?3 為待定系數(shù)， ?為無量綱量 ?????????2/12/10321???glt ??(1)的量綱表達(dá)式 glt ?2?對比 3321 2 ???? ??? TLMT??????????12003321????對 x,y,z的兩組測量值 x1,y1,z1 和 x2,y2,z2， p1 = f( x1,y1,z1), p2 = f( x2, y2,z2 ) 2121ppp???為什么假設(shè)這種形式 321 ???? glmt ?設(shè) p= f(x,y,z) ),(),(),(),(222111222111czbyaxfczbyaxfzyxfzyxf ?x,y,z的量綱單位縮小 a,b,c倍 ???? zyxzyxf ?),(p= f(x,y,z)的形式為 ),(),( 22221111 czbyaxfpczbyaxfp ????0002010010101004321)()()()(TMLTMLTMLTMLTMLyyyy?? 000241243 TMLTML yyyyy ??????????????? 201001010100][][][][TMLgTMLlTMLmTMLt單擺運(yùn)動中 t, m, l, g 的一般表達(dá)式 0),( ?glmtf?????????020041243yyyyy??glt 12 )/( glt ?? TTyyyyy)1,1,0,2(),( 4321???基本解??4321 yyyy glmty1~y4 為待定常數(shù) , ?為無量綱量 0)(?F設(shè) f(q1, q2, ?, qm) = 0 mjXq niaijij ,2,1,][1??? ??ys = (ys1, ys2, …,y sm)T , s = 1,2,…, mr F(? 1, ?2,…, ?mr ) = 0 與 f (q1, q2, ?, qm) =0 等價(jià) , F未定 Pi定理 (Buckingham) 是與量綱單位無關(guān)的物理定律， X1,X2, ? , Xn 是基本量綱 , n?m, q1, q2, ? , qm 的量綱可表為 ,}{ mnijaA ??量綱矩陣記作 rA ?ra nk若線性齊次方程組 0?Ay有 mr 個(gè)基本解，記作 ???mjyjssjq1?為 mr 個(gè)相互獨(dú)立的無量綱量 , 且 則 )()()()()()()(202302)(100100)(121311fsvlgTMLA????????????????[g] = LT2, [l] = L, [?] = L3M, [v] = LT1, [s] = L2, [f] = LMT2 量綱分析示例： 波浪對航船的阻力 航船阻力 f mjXqniaijij,2,1,][1??? ??航船速度 v, 船體尺寸 l, 浸沒面積 s, 海水密度 ?, 重力加速度 g。 mnijaA ?? }{m=6, n=3 0),,( ?fsvlg ?? 0),( 21 ?mqqqf ?????????TTTyyy)1,0,0()0,1,0()0,0,1(321????????????????flgslvlg13132221211????,1,3,1,0,2,0,0,2/1,2/1??????Ay=0 有 mr=3個(gè)基本解 rank A = 3 rank A = r Ay=0 有 mr個(gè)基本解 ys =
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