目標(biāo)規(guī)劃的數(shù)學(xué)模型概述(已修改)
2025-03-15 15:52 本頁面
【正文】 ? 問題的提出： ? 目標(biāo)規(guī)劃是在線性規(guī)劃的基礎(chǔ)上，為適應(yīng)經(jīng)濟(jì)管理多目標(biāo)決策的需要而由線性規(guī)劃逐步發(fā)展起來的一個(gè)分支。 ? 由于現(xiàn)代化企業(yè)內(nèi)專業(yè)分工越來越細(xì)，組織機(jī)構(gòu)日益復(fù)雜，為了統(tǒng)一協(xié)調(diào)企業(yè)各部門圍繞一個(gè)整體的目標(biāo)工作，產(chǎn)生了目標(biāo)管理這種先進(jìn)的管理技術(shù)。目標(biāo)規(guī)劃是實(shí)行目標(biāo)管理的有效工具，它根據(jù)企業(yè)制定的經(jīng)營(yíng)目標(biāo)以及這些目標(biāo)的輕重緩急次序，考慮現(xiàn)有資源情況，分析如何達(dá)到規(guī)定目標(biāo)或從總體上離規(guī)定目標(biāo)的差距為最小。 目標(biāo)規(guī)劃的數(shù)學(xué)模型 1 ? 引例 某企業(yè)計(jì)劃生產(chǎn)甲，乙兩種產(chǎn)品，這些產(chǎn)品分別要在 A,B,C,D四種不同設(shè)備上加工。按工藝文件規(guī)定，如表所示。 A B C D 單件利潤(rùn) 甲 2 1 4 0 2 乙 2 2 0 4 3 最大負(fù)荷 12 8 16 12 問該企業(yè)應(yīng)如何安排計(jì)劃，使得計(jì)劃期內(nèi)的總利潤(rùn)收入為最大？ 2 ? 解：設(shè)甲、乙產(chǎn)品的產(chǎn)量分別為 x1， x2，建立線性規(guī)劃模型： ??????????????????0,124164821222.32m ax2121212121xxxxxxxxtsxxz其最優(yōu)解為 x1＝ 4， x2＝ 2， z＊＝ 14元 3 (1) 力求使利潤(rùn)指標(biāo)不低于 12元； (2) 考慮到市場(chǎng)需求，甲、乙兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)量需保持 1:1的比例； (3) C和 D為貴重設(shè)備，嚴(yán)格禁止超時(shí)使用； (4) 設(shè)備 B必要時(shí)可以加班，但加班時(shí)間要控制；設(shè)備 A即要求充分利用，又盡可能不加班。 要考慮上述多方面的目標(biāo)，需要借助目標(biāo)規(guī)劃的方法。 但企業(yè)的經(jīng)營(yíng)目標(biāo)不僅僅是利潤(rùn)，而且 要考慮多個(gè)方面，如： 4 ?線性規(guī)劃模型存在的局限性： ? 1）要求問題的解必須滿足全部約束條件，實(shí)際問題中并非所有約束都需要嚴(yán)格滿足。 ? 2）只能處理單目標(biāo)的優(yōu)化問題。實(shí)際問題中，目標(biāo)和約束可以相互轉(zhuǎn)化。 ? 3）線性規(guī)劃中各個(gè)約束條件都處于同等重要地位，但現(xiàn)實(shí)問題中，各目標(biāo)的重要性即有層次上的差別，同一層次中又可以有權(quán)重上的區(qū)分。 ? 4）線性規(guī)劃尋求最優(yōu)解，但很多實(shí)際問題中只需找出滿意解就可以。 5 例如 某廠生產(chǎn)兩種產(chǎn)品 A和 B，已知生產(chǎn) A產(chǎn)品 100kg需 8個(gè)工時(shí)，生產(chǎn) B產(chǎn)品 100kg需10個(gè)工時(shí)，假定每日可用的工時(shí)數(shù)為 40，且希望不雇臨時(shí)工，也不加班生產(chǎn)。這兩種產(chǎn)品每 100kg 均可獲利 100元。此外，有個(gè)顧客要求每日供應(yīng)他 B種產(chǎn)品 ？ 解 設(shè)生產(chǎn) A、 B兩種產(chǎn)品的數(shù)量各為 12xx和1212212m a x 100 1008 10 40 . 6 , 0Z x xxxs t xxx????????? ??兩個(gè)約束條件矛盾，故無可行解；但是，它是一個(gè)實(shí)際問題，應(yīng)該存在某種解決辦法?！盁o解”的原因有兩個(gè)：一是顧客對(duì) B產(chǎn)品的需求太大，該工廠供應(yīng)不了，僅能供給一部分；二是人力少了，不加班不雇臨時(shí)工完成不了任務(wù)。 6 ?目標(biāo)規(guī)劃怎樣解決上述線性規(guī)劃模型建模中的局限性？ 1. 設(shè)置偏差變量，用來表明實(shí)際值同目標(biāo)值之間的差異。 偏差變量用下列符號(hào)表示： d+—— 超出目標(biāo)的偏差，稱正偏差變量 d—— 未達(dá)到目標(biāo)的偏差，稱負(fù)偏差變量 正負(fù)偏差變量?jī)烧弑赜幸粋€(gè)為 0。 當(dāng)實(shí)際值超出目標(biāo)值時(shí)： d+0, d=0。 當(dāng)實(shí)際值未達(dá)到目標(biāo)值時(shí)： d+=0, d0。 當(dāng)實(shí)際值同目標(biāo)值恰好一致時(shí)： d+=0, d=0。 故恒有 d+ d=0 7 2. 統(tǒng)一處理目標(biāo)和約束。 對(duì)有嚴(yán)格限制的資源使用建立系統(tǒng)約束，數(shù)學(xué)形式同線性規(guī)劃中的約束條件。如 C和 D設(shè)備的使用限制。 12416421??xx 對(duì)不嚴(yán)格限制的約束，連同原線性規(guī)劃建模時(shí)的目標(biāo)，均通過目標(biāo)約束來表達(dá)。 1）例如要求甲、乙兩種產(chǎn)品保持 1:1的比例，系統(tǒng)約束表達(dá)為： x1=x2。由于這個(gè)比例允許有偏差， 當(dāng) x1x2時(shí)，出現(xiàn)負(fù)偏差 d，即： x1+d =x2或 x1－ x2+d =0 當(dāng) x1x2時(shí)，出現(xiàn)正偏差 d+，即： x1d+ =x2或 x1－ x2d+ =0 8 ? ∵ 正負(fù)偏差不可能同時(shí)出現(xiàn)，故總有： ?x1－ x2+dd+ =0 ??????? ???0}m in{21 ddxxd 若希望甲的產(chǎn)量不低于乙的產(chǎn)量，即不希望 d0,用目標(biāo)約束可表為 : 若希望甲的產(chǎn)量低于乙的產(chǎn)量，即不希望 d＋ 0,用目標(biāo)約束可表為 : ??????? ???0}m in{21 ddxxd 若希望甲的產(chǎn)量恰好等于乙的產(chǎn)量，即不希望 d＋ 0,也不希望 d0用目標(biāo)約束可表為 : ????????????0}m in{21 ddxxdd9 ? 3）設(shè)備 B必要時(shí)可加班及加班時(shí)間要控制，目標(biāo)約束表示為 ： ??????? ???82}m in{21 ddxxd? 2）力求使利潤(rùn)指標(biāo)不低于 12元，目標(biāo)約束表示為： ??????? ???1232}m in{21 ddxxd? 4）設(shè)備 A既要求充分利用，又盡可能不加班，目標(biāo)約束表示為： ????????????1222}m in{21 ddxxdd10 3. 目標(biāo)的優(yōu)先級(jí)與權(quán)系數(shù) 在一個(gè)目標(biāo)規(guī)劃的模型中，為達(dá)到某一目標(biāo)可犧牲其他一些目標(biāo)，稱這些目標(biāo)是屬于不同層次的優(yōu)先級(jí)。優(yōu)先級(jí)層次的高低可分別通過優(yōu)先因子 P1,P2,… 表示。優(yōu)先因子間的關(guān)系為 PkPk+1 Pk對(duì)應(yīng)的目標(biāo)比 Pk+1對(duì)應(yīng)的目標(biāo)有絕對(duì)的優(yōu)先性。對(duì)于同一層次優(yōu)先級(jí)的不同目標(biāo)，按其重要程度可分別乘上不同的權(quán)系數(shù)。權(quán)系數(shù)是一個(gè)個(gè)具體數(shù)字，乘上的權(quán)系數(shù)越大，表明該目標(biāo)越重要。 現(xiàn)假定： 第 1優(yōu)先級(jí) P1—— 企業(yè)利潤(rùn)； 第 2優(yōu)先級(jí) P2—— 甲乙產(chǎn)品的產(chǎn)量保持 1:1的比例 第 3優(yōu)先級(jí) P3—— 設(shè)備 A,B盡量不超負(fù)荷工作。其中設(shè)備 A的重要性比設(shè)備 B大三倍。 11 ? 上述目標(biāo)規(guī)劃模型可以表示為： ????????????????????
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