概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第13講(已修改)
2025-02-01 07:40 本頁面
【正文】 第五節(jié) 兩個隨機(jī)變量的函數(shù)的分布 一、問題的引入 二、離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布 三、連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布 四、極值的分布 五、小結(jié) 為確定積分限 ,先找出使被積函數(shù)不為 0的區(qū)域 例 6 若 X和 Y 獨(dú)立 ,具有共同的概率密度 求 Z=X+Y的概率密度 . ??? ???其它,010,1)(xxf? ??? ?? dxxzfxfzf YXZ )()()(解 : 由卷積公式 ????????1010xzx也即 ????????zxzx110為確定積分限 ,先找出使被積函數(shù)不為 0的區(qū)域 ??????????????? ???其它,021,210,)(110zzZzzdxzzdxzf如圖示 : ????????1010xzx也即 ????????zxzx110于是 ? ??? ?? dxxzfxfzf YXZ )()()(設(shè)隨機(jī)變量 X 與 Y 相互獨(dú)立 ,且其分布密 度分別為 ??? ???,0,10,1)( xxfX 其它 . ??? ?? ?,0,0,)( yeyf yY 其它 . 求隨機(jī)變量 Z=2X+Y 的分布密度 . ),( yxf 由于 X 與 Y 相互獨(dú)立 ,所以 ( X,Y ) 的分布密度函數(shù)為 解 )()( yfxf YX ?? ??? ???? ?.,0,0,10,其它yxe y例 7 .dd2yxezYXy??????}{)( zZPzF Z ?? }2{ zYXP ??yxyxfzYXdd),(2?????xyOzyx ??2)0,10( ??? yx隨機(jī)變量 Z 的分布函數(shù)為 ),( yxf )()( yfxf YX ?? ??? ???? ?.,0,0,10,其它yxe y2201200, 0,( ) ( 1 ) d , 0 2,( 1 ) d , 2.zxzZxzzF z e x ze x z??? ???? ? ? ???? ?????xyOzyx ??2.dd2yxezYXy??????}{)( zZPzF Z ?? }2{ zYXP ??yxyxfzYXdd),(2?????)0,10( ??? yx所以隨機(jī)變量 Z 的分布密度為 20, 0,( ) ( ) ( 1 ) 2 , 0 2,( 1 ) 2 , 2.zZZzzf z F z e ze e z??????? ? ? ? ??????20 , 0 ,1( ) ( 1 ), 0 2 ,221 ( 1 ), 2 .2zZzzzF z e zeez???? ???? ? ? ? ????? ? ???注 : }.),({}{)(,),(),(),(zYXgPzZPzFyxfYXYXgZ?????分布函數(shù)的分布服從密度為先求出 Z=g(X,Y)的值域 [c,d],則 .),()(,)3(。1)(,)2(。0)(,)1(),(??????????zyxgdxdyyxfzFdzczFdzzFcz有時當(dāng)有時當(dāng)有時當(dāng).)()( dz zdFzf ?? 密度函數(shù)四、 M=max(X,Y)及 N=min(X,Y)的分布 設(shè) X， Y是兩個相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，它們的分布函數(shù)分別為 FX(x)和 FY(y),我們來求 M=max(X,Y)及 N=min(X,Y)的分布函數(shù) . 又由于 X和 Y 相互獨(dú)立 ,于是得到 M=max(X,Y)的 分布函數(shù)為 : 即有 FM(z)= FX(z)FY(z) FM(z)=P(M≤z) =P(X≤z)P(Y≤z) =P(X≤z,Y≤z) 由于 M=max(X,Y)不大于 z等價 于 X和 Y都不大于 z，故有 分析： P(M≤z)=P(X≤z,Y≤z) 類似地，可得 N=min(X,Y)的分布函數(shù)是
教學(xué)課件相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號-1