【正文】 第二章 z變換和 DTFT 本章主要內容： z變換的定義及收斂域 z變換的反變換 z變換的基本性質和定理 離散信號的 DTFT z變換與 DTFT的關系 離散系統(tǒng)的 z變換法描述 167。 z變換的定義及收斂域 信號和系統(tǒng)的分析方法有兩種： ——時域分析方法 ——變換域分析方法 連續(xù)時間信號與系統(tǒng) —— LT FT 離散時間信號與系統(tǒng) —— ZT FT 一、 ZT的定義 ),(:),()( 21 ??zzXnx ????????nnznxzX )()( z 是復變量，所在的復平面稱為 z平面 二、 ZT的收斂域 ? 對于任意給定序列 x(n)，使其 z變換 X(z)收斂的所有 z值的集合稱為 X(z)的收斂域。 ? 級數(shù)收斂的充要條件是滿足絕對可和 () nnx n z M??? ??? ? ??1）有限長序列 12()()0x n n n nxnn???? ?? 其它21Z ( ) ( )nnnnX z x n z ??? ?其 變換：0R o c z? ? ?至少為： Re[ ]zIm[ ]jz0? 除 0和 ∞ 兩點是否收斂與 n1和 n2取值情況有關外，整個 z 平面均收斂。 11 ( 1 ) 111( ) ( ) ( 1 ) ( 1 )nnX z x n z x n z x z? ? ?? ? ? ? ? ?22( 1 )01 22( 0 ) ( 1 ) ( 1 ) ( )nnx z x z x n z x n z? ? ??? ? ? ? ? ?????? z0 0,0 21 時，nn????? z0 0,0 21 時，nn????? z0 0,0 21 時，nn? 如果 n2≤ 0 ，則收斂域不包括 ∞ 點 ? 如果 n1≥ 0 ，則收斂域不包括 0點 ? 如果 n10n2，收斂域不包括 0 、 ∞ 點 2）右邊序列 11()()0x n n nxnnn??? ???110:0:xxn Roc R zn Roc R z??? ? ? ? ?? ? ? ?當 時， 當 時，Re[ ]zIm[ ]jz0xR?z ??包括 處1 0n ??因果序列 的 z變換必在 ∞ 處收斂 ?在 ∞ 處收斂的 z變換， 其序列必為 因果序列 3）左邊序列 220()()nnxnx n n n??? ???220 : 00 : 0xxn Roc z Rn Roc z R??? ? ? ?? ? ?當 時， 當 時，Re[ ]zIm[ ]jz0 xR?2 0n ?4）雙邊序列 n 為任意值時皆有值::xxx x x xR R Ro cR R Ro c R z R??? ? ? ?? ? ?? ? ?當 時， 當 時，Re[ ]zIm[ ]jz0xR?xR?10z ( ) ( ) ( )nnnnX z x n z x n z????? ?? ?????其 變換：R o c : 0 xzR ???前式R o c : xRz? ? ? ?后式例 1 ???? ?? zn ZT 0,1][?收斂域應是整個 z的閉平面 1δ ???????nnzn ][?例 2：求 x(n)=RN(n)的 z變換及其收斂域 Re[ ]zIm[ ]jz0X ( z ) = ( ) = ( )nn Nnnx n z R n z????? ?? ? ????解：10=Nnnz????2 1 , ... , 1rjNz e r N?? ? ?零點：01zN??極點： （ ）階: 0R o c z? ? ?122111nnnnnnqqqq??????111Nzz?????2 1nq? ? ?時須滿足11( 1 )NNzzz????例 3：求 x(n)=anu(n)的變換及其收斂域 Re[ ]zIm[ ]jz0a0X ( z ) = ( ) = ( ) =n n n n nn n nx n z a u n z a z? ? ?? ? ?? ?? ? ?? ?? ? ?解：0z ?零點：za?極點：: R o c z a?111 az ?? ?1 1az ? ?當時Re[ ]zIm[ ]jz0aX ( z ) = ( ) = ( 1 )n n nnnx n z a u n z????? ?? ? ??? ? ???解：0z ?零點： za?極點：: R o c z a?111111aza z az????????1 1az? ?當時11== n n n nnna z a z?? ???? ? ?????例 4：求 x(n)=anu(n1)的變換及其收斂域 10X ( z ) = ( ) = =nn n n n n nn n n nx n z a z a z a z? ? ? ?? ? ? ? ?? ?? ? ?? ? ?? ??? ? ? ?解：10= n n n nnna z a z????????1 1nnnazazaz??? ?? 1 1 /a z z a? ? ?1011nnnaz az????? ?? 1 1az z a? ? ? ?例 5：求 x(n)=a|n|， a為實數(shù)，求 ZT及其收斂域 Re[ ]zIm[ ]jz0a1/a211 ( 1 )1 ( )1 1 ( 1 ) ( )az z aa X zaz az az z a??? ? ? ?? ? ? ?當 時，0,z ??零點：1,z a a ??極點：: 1 /R o c a z a?1 X ( )az??當 時，無公共收斂域， 不存在? 給定 z變換 X(z)不能唯一地確定一個序列，只有同時給出收斂域才能唯一確定。 ? X(z)在收斂域內解析，不能有極點，故： –右邊序列 的 z變換收斂域一定在 模最 大的有限極點所在圓 之外 –左邊序列 的 z變換收斂域一定在 模最 小的有限極點所在圓 之內 Re[ ]zIm[ ]jz0abcRe[ ]zIm[ ]jz0abcRe[ ]zIm[ ]jz0a bcRe[]zIm[ ]jz0abc167。 z反變換 ? 實質：求 X(z)冪級數(shù)展開式 ? z反變換的求解方法： 圍線積分法（留數(shù)法） 部分分式法 長除法 ( ) [ ( )]x n IZ T X z?z反變換 : 從 X(z)中還原出原序列 x(n) ( ) [ ( ) ] ( ) nnX z Z T x n x n z??? ???? ? 圍數(shù)積分法求解（留數(shù)法） 若函數(shù) X(z)zn1在圍數(shù) C上連續(xù)，在 C以內有 K個極點 zk，而在 C以外有 M個極點 zm，則有： ????????????mzznkzzncnmkzzXsorzzXsdzzzXjnx])([Re])([Re)(21)(111?Re[ ]zIm[ ]jz0xR? xR?CR e [ ( )] [( ) ( )]rrz z r z zs F z z z F z???? 圍數(shù)積分法求解（留數(shù)法） 根據(jù)復變函數(shù)理論，若函數(shù) X(z)在環(huán)狀區(qū)域 內是解析的，則在此區(qū)域內 X(z)可展開成羅朗級數(shù)，即 而 其中圍線 c是在 X(z)的環(huán)狀 收斂域內環(huán)繞原點的一條 反時針方向的閉合單圍線。 , 0 ,x x x xR z R R R? ? ? ?? ? ? ? ? （）() nn xxnX z C z R z R????? ??? ? ??11 ()2nn cC X z z dzj??? ?Re[ ]zIm[ ]jz0xR? xR?C0 , 1 , 2 ,n ? ? ?? 若 F(z)在 c外 M個極點 zm，且分母多項式 z的階次比分子多項式高二階或二階以上，則： 11( ) ( ) ( , )2nxxcx n X z z dz c R Rj? ??????1( ) ( ) nF z X z z ??( ) R e [ ( ) ] kzzkx n s F z ?? ?( ) R e [ ( ) ] mzzmx n s F z ??? ?? 利用留數(shù)定理求圍線積分，令 ? 若 F(z)在圍線 c上連續(xù)，在 c內有 K個極點 zk，則： R e [ ( )] [( ) ( )]rrz z r z zs F z z z F z????單階極點的留數(shù)：