數(shù)字信號(hào)處理(程佩青 第三版 課件) 第二章 z變換與離散時(shí)間傅里葉變換（dtft）-文庫(kù)吧
2025-01-05 06:26 本頁(yè)面
【正文】 2( ) 1/4 4( 4 ) ( 1 / 4 )zX z zzz????例1： ， ，求其z反 變換Re[ ]zIm[ ]jz0C41/4211( ) ( , )2 ( 4 ) ( 1 / 4 )nxxczx n z dz c R Rj z z? ????????解：211()( 4 ) ( 1 / 4 ) ( 4 ) ( 1 / 4 )nnzzF z zz z z z????? ? ? ?其中： 11()4nF z c z???當(dāng)時(shí)在圍線 內(nèi)只有一階極點(diǎn)14( ) R e [ ( ) ]zx n s F z??1141()4 ( 4 ) ( 1 / 4 )nzzzzz????????????415n??11( ) ( 1 ) 04nF z c z n z??? ? ?當(dāng)時(shí)在圍線 內(nèi)有一階極點(diǎn) 和 階極點(diǎn)4( ) R e [ ( )] zx n s F z ???? ? ? ? ? ?1444 1 / 4nzzzzz????? ? ???????2415n??c z =4 F ( z )而圍線 外只有一階極點(diǎn) ，且 的分母多項(xiàng)式階次高于分子多項(xiàng)式階次兩次以上244( ) ( 1 ) ( 2 )15 15nnx n u n u n??? ? ? ? ? ?Re[ ]zIm[ ]jz0C41/42( ) 4( 4 ) ( 1 / 4 )zX z zzz????例2： ， ，求其z反 變換Re[ ]zIm[ ]jz0C41/4解： 收斂域是圓的外部 li m ( ) 1X( z ) z =zXz?????又，即 在 處收斂( ) ( ) 0 0x n x n n? ? ?是一個(gè)因果序列，即 ，()xn? 是右邊序列10 ( ) c( 4 ) ( 1 / 4 )0 ( ) 0nzn F zzzxn??????同樣當(dāng) 時(shí)，由 在 外無(wú)極點(diǎn)，且分母階次比分子階次高兩階以上，由圍線外極點(diǎn)留數(shù)為 可得0n ?當(dāng)時(shí)1() ( 4 ) ( 1 / 4 )nzFz zz?? ??144cz ?在圍線 內(nèi)有一階極點(diǎn) ， Re[ ]zIm[ ]jz0C41/44 1 / 4( ) R e [ ( )] R e [ ( )]zzx n s F z s F z????111441( 4 ) ( )11 4( 4 ) ( ) ( 4 ) ( )44nnzzzzzzz z z z????? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?21 ( 4 4 )15nn????21( ) ( 4 4 ) ( )15nnx n u n??? ? ?思考： n=0,1時(shí)， F(z)在圍線 c外也無(wú)極點(diǎn)，為何 ( ) 0xn ?部分分式展開(kāi)法求解 IZT ： ? ? ????? ??????????NMnrNkrkkikkknn zzCzzAzBzAzBzX0 1 111 )1(1)()()(? 常見(jiàn)序列的 ZT參見(jiàn)書(shū) 21 若函數(shù) X(z) 是 z的有理分式，可表示為： ? 利用部分分式的 z反變換和可以得到函數(shù)X(z) 的 z反變換。 ()Re 1 , 2 , ,kkzzXzA s k N rz ???? ? ?????用留數(shù)定理求系數(shù)：1125( ) 2 316zX z zzz???????例： ， ，求z反 變換Re[]zIm[ ]jz03? 2? ? ? ?? ? ? ?2 3 353123zzXzA R e s zz z z??????? ? ? ? ??? ????? ? ? ? ? ?11 2 25 5 51 6 6 2 3z z zXzz z z z z z???? ? ?? ? ? ? ? ?解 ：? ?? ? ? ?1252 3 2 3Xz AAz z z z z? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?1 2 252123zzXzA R e s zz z z????? ? ? ??? ????? ? 1123Xzz z z?????? ? 11112 3 1 2 1 3zzXz z z z z????? ? ? ?? ? ? ?23z?? 11[ ( ) ] 1nZT a u n z aaz ????11[ ( 1 ) ]1nZT a u n z aaz ??? ? ? ??1112z?? 2 ( )n un2z ?1113z??? ? ?3 ( 1 )n un? ? ?3z ?? ? ? ? ? ? ? ?2 3 1nnx n u n u n? ? ? ? ? ?例 2 設(shè) 利用部分分式法求 z反變換。 2||,))(21(1)(11 ???? ?? zzzzX1234))(2()(2?????????zzzzzzzzX)()(31234)( nunx nn?????? ?????解： 冪級(jí)數(shù)展開(kāi)法求解（長(zhǎng)除法） : ? 一般 X(z)是有理分式，可利用分子多項(xiàng)式除分母多項(xiàng)式（長(zhǎng)除法法）得到冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式，從而得到 x(n)。 ??????? ???????nn zxxzxznxzX ?? 1)1()0()1()()(? 根據(jù)收斂域判斷 x(n)的性質(zhì)，在展開(kāi)成相應(yīng)的 z的冪級(jí)數(shù) 將 X(z) X(z)的 x(n) 展成 z的 分子分母 按 z的 因果序列 負(fù)冪級(jí)數(shù) 降冪排列 左邊序列 正冪級(jí)數(shù) 升冪排列 xzR ??xzR ??例 1 111??? azzX )(az ?ROC1: ) 11 ?? az 1 11 ?? az1?az221 ?? ? zaaz22 ?za.. .??? ?? 2211 zaaz111?? az...???? ?? 2211 zaaz,...},{][ 21 aanx ? 長(zhǎng)除法示例 解：由 Roc判定 x(n)是因果序列，用長(zhǎng)除法展成 z的負(fù)冪級(jí)數(shù) az ?ROC2: }0,{ . . . ,][ 12 ?? ??? aanx111?? az...???? ?? 221 zaza) 11 ?? ?az 1 za 1?221 zaaz ??22za.. .??? ?? 221 zazaza 11 ??解：由 Roc判定x(n)是左邊序列，用長(zhǎng)除法展成 z的正冪級(jí)數(shù) 2( ) 1/4 4( 4 ) ( 1 / 4 )zX z zzz????例： ， ，求z反變換解： X(z)的 Roc為環(huán)狀，故 x(n)是雙邊序列 極點(diǎn) z=1/4對(duì)應(yīng)右邊序列，極點(diǎn) z=4對(duì)應(yīng)左邊序列 先把 X(z)展成部分分式 16 1() 15 15( 4 ) ( ) 41 / 4 1 / 4X z zz z z z z? ? ?? ? ? ?1 16()15 1 / 44zzXzzz??? ??????＋222334 1616 4 44 zzzzzzzz??? 23144z z z? ? ?1114114 161 141 146 zzzzz????? 12114 1 6zz??? ? ?2 1 2 31 1 1( ) 1 415 4 4X z z z z z z????? ? ? ? ? ? ?????1+16244( ) ( ) ( 1 )15 15nnx n u n u n??? ? ? ? ?20111415 4nn n nnnzz? ??? ? ?? ? ?????????????????線性性 167。 Z變換的基本性質(zhì)和定理 )()()()( zbYzaXnbynax ???)()( zXzNnx N???)()( azXnxa n ?)()( zXdzdznnx ??R1∩R2 R |a|R R 序列的移位 z域尺度變換 （乘以指數(shù)序列） z域求導(dǎo) （序列線性加權(quán)） Z變換的基本性質(zhì)（續(xù)） )(l i m)0( zXxz ???)()1(lim)(1zXzxz????)1()(zXnx ??翻褶序列
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