第3章離散時間系統(tǒng)的頻域分析——傅里葉變換(已修改)
2024-10-27 13:40 本頁面
【正文】 第 3 章 離散時間系統(tǒng)的頻域分析 —— 傅里葉變換 第 3章 離散時間系統(tǒng)的頻域分析 —— 傅里葉變換 非周期序列的傅里葉變換及性質(zhì) 周期序列的離散傅里葉級數(shù) (DFS)及性質(zhì) 有限長序列的離散傅里葉變換 (DFT) 頻率抽樣理論 利用 DFT對連續(xù)時間信號處理時應注意的問題 第 3 章 離散時間系統(tǒng)的頻域分析 —— 傅里葉變換 非周期序列的傅里葉變換及性質(zhì) 非周期序列傅里葉變換 設(shè)離散時間非周期信號為 x(n)，則 x(n)的序列傅里葉變 換 (DTFT)為： 正變換 ： 逆變換： [ ( ) ] ( ) ( )j j nnD TF T x n X e x n e????? ? ??? ?1[ ( ) ] ( ) ( )2j j j nI D T F T X e x n X e e d?? ? ?? ?? ??? ?記為 ( ) ( )F jx n X e ?? ?? 其中 稱為信號序列的頻譜。 若將頻譜 表示為 則 稱為頻譜 的幅度特性， 稱 為頻譜 的相位特性。 ()jXe?()jXe?()jXe?()jXe?()( ) ( )jjX e X e e? ? ???()jXe ? ( ) a r g [ ( ) ]jXe ????第 3 章 離散時間系統(tǒng)的頻域分析 —— 傅里葉變換 例 31 設(shè)序列 x(n)的波形如圖所示，求 x(n)的傅里葉變換。 解：由定義得： 65601( ) ( )1jj j n j njnneX e R n e ee?? ? ???????? ? ? ??? ? ????56 3 3 321 1 12 2 21 ( ) si n 31 si n / 2()j j j j jj j j je e e e ee e e e? ? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ????? ? ?? ?()xnn0 1 2 1 3 4 5 n第 3 章 離散時間系統(tǒng)的頻域分析 —— 傅里葉變換 2. 離散時間序列傅立葉變換的存在的條件 離散時間序列 x(n)的傅里葉變換存在的且連續(xù)的條件是 x(n)滿足絕對可和，即 ()nxn?? ?????反之，序列的傅里葉變換存在且連續(xù)，則序列一定絕對可 和。 非周期序列傅里葉變換的性質(zhì) 設(shè) 1 1 2 2[ ( ) ] ( ) , [ ( ) ] ( ) ,jjD TF T x n X e D TF T x n X e????則 1 2 1 2[ ( ) ( ) ] ( ) ( )jjD TF T a x n b x n a X e b X e??? ? ? 設(shè) [ ( ) ] ( )jD T F T x n X e ?? 則 00[ ( ) ] ( )jn jD TFT x n n e X e? ????第 3 章 離散時間系統(tǒng)的頻域分析 —— 傅里葉變換 [ ( ) ] ( )jD T F T x n X e ??設(shè) ，則 **[ ( ) ] ( )jD T F T x n X e ??? 共軛對稱序列： 設(shè)一復序列，如果滿足 xe(n)=xe*(n) 則稱序列為共軛對稱序列。 共軛反對稱序列： 設(shè)一復序列，如果滿足 xo(n)=xo*(n) 則稱序列為共軛反對稱序列。 任一序列可表為共軛對稱序列與共軛反對稱序列之和 對于序列 進行運算，則 ( ) ( ) ( )eox n x n x n??* * *( ) ( ) ( ) ( ) ( )e o e ox n x n x n x n x n? ? ? ? ? ? ?相加，則有 ( ) ( ) ( )eox n x n x n??第 3 章 離散時間系統(tǒng)的頻域分析 —— 傅里葉變換 *1( ) [ ( ) ( ) ]2ex n x n x n? ? ?相減，則 *1( ) [ ( ) ( ) ]2ox n x n x n? ? ? 序列的傅里葉變換可表為共軛對稱分量與共軛反對稱分量之和： 其中 由此看出，序列 x(n)的傅里葉變換具有如下性質(zhì)： (1)序列 x(n)的實部的傅里葉變換等于序列傅里葉變換的共 軛對稱分量，即 **1( ) [ ( ) ( ) ]21( ) [ ( ) ( ) ]2j j jej j joX e X e X eX e X e X e? ? ?? ? ???????( ) ( ) ( )j j jeoX e X e X e? ? ???第 3 章 離散時間系統(tǒng)的頻域分析 —— 傅里葉變換 *1{Re [ ( ) ] } { [ ( ) ( ) ] } ( )2jeD TFT x n D TFT x n x n X e?? ? ?(2)序列 x(n)的虛部乘 j后的傅里葉變換等于序列傅里葉變換的共軛反對稱分量，即 *1{ I m [ ( ) ] } { [ ( ) ( ) ] } ( )2joD TF T j x n D TF T x n x n X e?? ? ?(3)序列 x(n)的共軛對稱分量 和共軛反對稱分量 的傅里葉變化等于序列的傅里葉變換的實部和 j乘以虛部： ()oxn()exn**1[ ( ) ] Re [ ( ) ] [ ( ) ( ) ]21[ ( ) ] I m [ ( ) ] [ ( ) ( ) ]2j j jej j joD T F T x n X e X e X eD T F T x n j X e X e X e? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?(4)若序列 x(n)實序列 ，則其傅里葉變換 滿足共軛對稱性，即： *( ) ( )x n x n? ()jXe?*( ) ( )jjX e X e?? ??第 3 章 離散時間系統(tǒng)的頻域分析 —— 傅里葉變換 (5) 序列 x(n)的傅里葉變換 的極坐標表現(xiàn)形式為： ()jXe?a r g [ ( ) ]( ) ( ) jj j j X eX e X e e ????對實數(shù)序列 ，有 *( ) ( )x n x n?( ) ( )jjX e X e?? ??a r g [ ( ) ] a r g [ ( ) ]jjX e
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