【正文】 本章主要內(nèi)容 ? 序列的 傅里葉變換的定義和性質(zhì) ? 周期序列 的離散傅里葉級數(shù)及傅里葉變換表示式 ? 時域離散信號的傅里葉變換與模擬信號的傅里葉變換之間的關(guān)系 ? 序列的 Z變換 ? 利用 Z變換分析信號和系統(tǒng)的頻域特性 第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 信號和系統(tǒng)的 兩種分析方法 ： (1)模擬信號和系統(tǒng) 信號用 連續(xù)變量時間 t的函數(shù)表示 ； 系統(tǒng)則用 微分方程描述 ； 信號和系統(tǒng)的頻域分析方法： 拉普拉斯變換 和 傅里葉變換 ； (2)時域離散信號和系統(tǒng) 信號用 序列 表示； 系統(tǒng)用 差分方程 描述； 頻域分析的方法是： Z變換 或 傅里葉變換 ； 引言 時域分析方法 和 頻率分析方法 序列的傅里葉變換的定義和性質(zhì) 序列傅里葉變換的定義 稱為序列 x(n)的傅里葉變換 ， 用 FT(Fourier Transform)縮寫字母表示 。 FT成立的 充要條件 是序列 x(n)滿足 絕對可和的條件 ， 即滿足下式： ( ) ( )j j nnX e x n e????? ??? ?()nxn?? ????? 序列的傅里葉變換的定義和性質(zhì) 求 FT的反變換， 用 e jωm 乘上式兩邊， 并在 π~π 內(nèi)對 ω 進(jìn)行積分， 得到 ()()( ) [ ( ) ]()2 ( )1( ) ( )2j j m j n j nnj m nnj m nj j mX e e d x n e e dx n e de d n mx n X e e d??? ? ? ??? ??? ??????? ? ??????? ? ? ?? ????? ? ????????????? ???因此 ??????????????de)n(xdee)n(xde)e(X)nm(jnmjnnjmjj???? ? ??????????????? ???????? ?? ? ?? ?? de)e(X2 1)n(x mjj( ) ( )j j nnX e x n e????? ??? ?傅里葉變換對 序列的傅里葉變換的定義和性質(zhì) [例 ]:設(shè) x(n)=RN(n) ， 求 x(n)的 FT ?????jNj1N0nnjnjn Nje1e1ee)n(R)e(X?????????? ???????2s i n)2Ns i n(e 2)1N(j??????設(shè) N=4， 幅度 與 相位 隨ω 變化曲線如下圖所示 序列的傅里葉變換的定義和性質(zhì) 序列傅里葉變換的性質(zhì) 1. FT的周期性 在 FT定義式中， n取整數(shù)， 因此下式成立 結(jié)論： (1) 序列的傅里葉變換 是頻率 ω 的連續(xù)周期函數(shù) ，周期是 2π 。 (2) X(ejω )可展成 傅里葉級數(shù) ， x(n)是其系數(shù)。 X(ejω )表示了信號在頻域中的 分布規(guī)律 。 (3) 在 ω ＝ 0,177。 2π, 177。 4π …表示信號的 直流分量 ，在 ω ＝ (2M＋ 1)π時是 最高的頻率分量 。一般只分析信號在 一個周期的 FT ( 2 )( ) ( ) ,j j M nnX e x n e? ? ????? ? ?? ?M為整數(shù) 序列的傅里葉變換的定義和性質(zhì) 2. 線性 3. 時移與頻移 設(shè) X(e jω )=FT[x(n)]， 那么 1 1 2 21 2 1 2( ) [ ( ) ] , ( ) [ ( ) ] ,[ ( ) ( ) ] ( ) ( )jjjjX e F T x n X e F T x nF T a x n b x n a X e b X e??????? ? ?設(shè)： 1 1 2 21 2 1 2( ) [ ( ) ] , ( ) [ ( ) ] ,[ ( ) ( ) ] ( ) ( )jjjjX e F T x n X e F T x nF T a x n b x n a X e b X e??????? ? ?則： 式中 a, b為常數(shù) 0000([ ( )] ( )[ ( )] ( )jn jj n jF T x n n e X eF T e x n X e? ?? ? ??????0000([ ( )] ( )[ ( )] ( )jn jj n jF T x n n e X eF T e x n X e? ?? ? ??????) 1 1 2 21 2 1 2( ) [ ( ) ] , ( ) [ ( ) ] ,[ ( ) ( ) ] ( ) ( )jjjjX e F T x n X e F T x nF T a x n b x n a X e b X e??????? ? ?改變相位 序列的傅里葉變換的定義和性質(zhì) 4. FT的對稱性 (1) 共軛對稱序列 共軛對稱序列 xe(n)滿足： 將 xe(n)用其實部與虛部表示： 上式兩邊 n用 n代替，取 共軛： 得到： xe(n)=x*e(n) xe(n)=xer(n)+jxei(n) x*e(n)=xer(n)jxei(n) xer(n)=xer(n) xei(n)=xei(n) 實部是偶函數(shù) 虛部是奇函數(shù) 序列的傅里葉變換的定義和性質(zhì) (2) 共軛反對稱序列 共軛反對稱序列滿足： 將 x0(n)用其實部與虛部表示： 上式兩邊 n用 n代替 ， 取 共軛： 對比上面兩公式 ， 左邊相等 ， 因此得到 xo(n)=－ x*o(n) xo(n)=xor(n)+jxoi(n) x*o(n)=xor(n)－ jxoi(n) 實部是奇函數(shù) 虛部是偶函數(shù) xor(n)=－ xor(n) xoi(n)= xoi(n) 序列的傅里葉變換的定義和性質(zhì) [例 1] 試分析 x(n)=e jωn 的對稱性 解： 將 x(n)的 n用 n代替 ， 再取共軛 得到： x*(n)= e jωn 因此 x(n)=x*(n)， x(n)是 共軛對稱序列 。 將序列展成實部與虛部的形式 ， 得到 x(n)=cosωn+j sinωn 上式表明 :共軛對稱序列的實部是偶函數(shù)， 虛部是奇函數(shù)。 序列的傅里葉變換的定義和性質(zhì) (3) 任意序列可表示成共軛對稱序列與共軛反對稱序列之和 xe(n), xo(n)和原序列 x(n)有何關(guān)系？ 將上式中的 n用 n代替， 取共軛： 根據(jù)上面兩式 ， 得到 1( ) [ ( ) ( )]21( ) [ ( ) ( )]2eox n x n x nx n x n x n??? ? ?? ? ?1( ) [ ( ) ( )]21( ) [ ( ) ( )]2eox n x n x nx n x n x n??? ? ?? ? ? x*(n)=xe(n)xo(n) x(n)=xe(n)+xo(n) 序列的傅里葉變換的定義和性質(zhì) (4) 頻域函數(shù) X(ejω )的對稱性 任意頻域函數(shù) X(ejω )可表示成 共軛對稱部分 和 共軛反對稱部分之和 ： X(ejω )=Xe(ejω )+Xo(ejω ) Xe(ejω ) = X*e(e－ jω ) Xo(ejω ) =－ X*o(e－ jω ) Xe(ejω ), Xo(ejω )和原頻域函數(shù) X(ejω )的關(guān)系 1( ) [ ( ) ( )]21( ) [ ( ) ( )]2j j jej j joX e X e X eX e X e X e? ? ?? ? ?????????1( ) [ ( ) ( )]21( ) [ ( ) ( )]2j j jej j joX e X e X eX e X e X e? ? ?? ? ??????? 序列的傅里葉變換的定義和性質(zhì) (5) 研究 FT的對稱性 (a) 將序列 x(n)表示成實部 xr(n)與虛部 xi(n)的形式 x(n)=xr(n)+jxi(n) 將上式進(jìn)行 FT， 得到 : X(e jω )=Xe(e jω )+Xo(e jω ) 結(jié)論 ： 序列分成 實部 與 虛部 兩部分 ， 實部對稱的 FT具有共軛對稱性 ， 虛部和 j一起對應(yīng)的 FT具有共軛反對稱性 。 ( ) [ ( ) ] ( )( ) [ ( ) ] ( )j j nrrnj j no i rnX e FT x n x n eX e FT jx n j x n e????? ????? ????????( ) [ ( )] ( )( ) [ ( )] ( )j j nrrnj j no i rnXe FTx n x neXe FTjxn j x ne??????????????????1( ) [ ( ) ( )]21( ) [ ( ) ( )]2j j jej j joX e X e X eX e X e X e? ? ?? ? ?????????( ) [ ( ) ] ( )( ) [ ( ) ] ( )j j nrrnj j no i rnX e FT x n x n eX e FT jx n j x n e????? ????? ??????( ) [ ()] ()( ) [ ()] ()j j nrrnj j no i rnXe FTxn xneXe FTjxn j xne????????????????( ) [ ( )] ( )( ) [ ( )] ( )j j nrrnj j no i rnX e FT x n x n eX e FT jx n j x n e??????????????????( ) [ ( )] ( )( ) [ ( )] ( )j j nrrnj j no i rnX e FT x n x n eX e FT jx n j x n e?????????????????xi(n) 序列的傅里葉變換的定義和性質(zhì) (b) 序列表示成共軛對稱部分 xe(n)和共軛反對稱部分 xo(n)之和 其中： 將上面兩式 分別進(jìn)行 FT， 得到 FT[xe(n)]=1/2[X(ejω )+X*(ejω )]=Re[X(ejω )]=XR(ejω ) FT[xo(n)]=1/2[X(ejω )X*(ejω )]=jIm[X(ejω )]=jXI(ejω ) 結(jié)論： 序列的 共軛對稱部分 xe(n)對應(yīng)著 FT的實部 XR(ejω )， 而序列的 共軛反對稱部分 xo(n)對應(yīng)著 FT的 虛部 [jXI(ejω )] 。 1( ) [ ( ) ( )]21( ) [ ( ) ( )]2eox n x n x nx n x n x