[信息與通信]第三章離散時(shí)間信號(hào)的變換(已修改)
2025-03-05 13:11 本頁(yè)面
【正文】 第三章 離散時(shí)間信號(hào)的變換 Z變換基礎(chǔ) ?定義：序列 x[n]的 z變換定義為 : ? x[n]的 z變換 [稱為 X(z)]處于 z域 , z域是含有復(fù)數(shù)的頻域 ,但 z變換并不是對(duì) z域內(nèi)所有的值都有定義，有定義的 z值構(gòu)成了 z變換的 收斂域 . ?信號(hào) y[n]的 z變換記為 Y(z)，簡(jiǎn)記為 : ?????0][)(nnznxzX)(]}[{ zYnyZ ? Z變換基礎(chǔ) ?由 Y(n)計(jì)算 y[n]要進(jìn)行逆 z變換 ?例 31: ? 計(jì)算下列序列的 z變換 X(z) )}({][ 1 zYZny ??][][ nnx ?? Z變換基礎(chǔ) ?解 : ? 信號(hào) x[n]只在 n=0處有非零值 ,因此 : ? 此 z變換對(duì)所有的 z值都有定義 ,故起收斂域?yàn)檎麄€(gè)z平面 1]0[][)(]}[{0???? ???? ??nnznzXnxZ Z變換基礎(chǔ) ?例 32: ? 計(jì)算下列序列的 z變換 X(z) ?解 : ? 信號(hào) x[n]只在 n=1處有非零值 ,因此 : ? 除 z=0外其余的 z都有意義 ,因此其收斂域?yàn)?z≠ 0的整個(gè)平面 ]1[][ ?? nnx ?110]0[]1[)(]}[{ ????? ????? ? zzznzXnxZnn ?? Z變換基礎(chǔ) ?例 33: ? 計(jì)算下列序列的 z變換 X(z) ?解 : ? 這是首項(xiàng) a=1及乘數(shù) 的幾何級(jí)數(shù) : ][][ nunx ?????????????????????????? ???543210001][][)(zzzzzzznuznxzXnnnnnn1?? zr???? 2arara Z變換基礎(chǔ) ? 求和 ,若 有 ? 得 : ? 其中 ,即 z變換的收斂域?yàn)?: raS??? 11?r111)(1 ???? ? zzzzX11 ??z 1?z Z變換基礎(chǔ) ?例 34: ? 信號(hào) x[n]如圖所示 ,計(jì)算信號(hào)的 z變換 Z變換基礎(chǔ) ?解 : ? 信號(hào)可以寫成 ? 它只有 3個(gè)非零值 ,因此 z變換的項(xiàng)數(shù)相同 ,其 z變換為 : ? 在 z≠0時(shí) .此式有定義 ]2[]1[][2][ ????? nnnnx ???21210]2[]1[]0[][)(?????????????? ?zzzxzxxznxzXnn Z變換基礎(chǔ) ?例 35: ? 計(jì)算下列序列的 z變換 ?解 : ? 因?yàn)樵?n?0時(shí) ,u[n]=1,所以 ][)(][ nunx n????????????????????????? ???3210100)()(][)(zzzzzznxzXnnnnnnn Z變換基礎(chǔ) ? 這個(gè)無窮級(jí)數(shù)的首項(xiàng) a=1及乘數(shù) ,因此其和為 : ? 此 z變換的收斂域?yàn)?: 或 ??? zr1)(1 ???? ? zzzzX 1 ?? ?z ?z Z變換基礎(chǔ) ? Z變換的一個(gè)重要性質(zhì)是時(shí)移特性 . ? 設(shè) X(z)是序列 x[n]的 z變換 , x[n]在 n=0以前為零 ,此信號(hào)的時(shí)移 x[n1]的 z變換 ,由定義知為 : ? 令 m=n1,則 n=m+1,那么 ??????0]1[)(nnznxzY???????11][)(mmzmxzY Z變換基礎(chǔ) ? 由于 x[1]=0，所以有： ?如果 x[n]的 z變換為 X(z)，則 x[n1]的 z變換為z1X(z) ? Z域中的因子 z1相當(dāng)于時(shí)域中的一個(gè)采樣的延遲 )()][(][)( 10101 zXzzmxzzzmxzYmmmm ????????? ??? ?? Z變換基礎(chǔ) ?注意不要混淆延遲項(xiàng) z1和逆 z變換的符號(hào) Z1 )(]}1[{ 1 zXznxZ ???)(]}[{ zXzknxZ k???延遲 x[n1] x[n] z1 x[n1] x[n] Z變換基礎(chǔ) ?例 36: ? 求信號(hào) x[n]=2u[n2]的 z變換 ?解 : ? 因?yàn)? 1]}[{ ?? zznuZ)1(11]}2[{2??????zzzzznuZ Z變換基礎(chǔ) ? 故有 : ? 收斂域?yàn)?:z?0， z?1 ?例 37 ? 用 z1符號(hào)重新表示非遞歸差分方程流圖 )1(2)(?? zzzX Z變換基礎(chǔ) x[n] x[n1] b1 + y[n] b2 b0 bM 延遲 延遲 延遲 x[n2] x[nN] Z變換基礎(chǔ) x[n] x[n1] b1 + y[n] b2 b0 bM z1 z1 z1 x[n2] x[nN] 傳輸函數(shù) ?對(duì)差分方程中每一項(xiàng)進(jìn)行 z變換之后， z域中輸出輸入比為： ? H(z)即為傳輸函數(shù) )()()(zXzYzH ??輸入輸出 傳輸函數(shù)和 差分方程 ?逐項(xiàng)進(jìn)行變換得 : ???????MkkNkk knxbknya00][][)()()()()()()()(2211022110zXzbzXzbzXzbzXbzYzazYzazYzazYaMMNN?????????????????)()()()(2211022110zXzbzbzbbzYzazazaaMMNN????????????????? 傳輸函數(shù)和 差分方程 ?解方程得傳輸函數(shù) : ?例 38 求下列差分方程所描述系統(tǒng)得傳輸函數(shù) : ???????????????????????NkkkMkkkNNMMzazbzazazaazbzbzbbzXzYzH002211022110)()()(??]4[]1[]2[]1[][2 ???????? nxnxnynyny 傳輸函數(shù)和 差分方程 ?解 : ? 逐項(xiàng)進(jìn)行 z變換得 : )()()()()(2 4121 zXzzXzzYzzYzzY ???? ????)()()()( 4121 zXzzzYzz ???? ????2141)()()(?????????zzzzzXzYzH 傳輸函數(shù)和 差分方程 ?例 39 求下列系統(tǒng)傳輸函數(shù)得差分方程 ?解 : ? 將分母展開得 : )14)(12()( ??? zzzzH168)()()(2 ???? zzzzXzYzH))(()168)(( 2 zzXzzzY ??? 傳輸函數(shù)和 差分方程 ?由于最新得輸出項(xiàng)為 y[n+2],而不是 y[n],只要每一項(xiàng)進(jìn)行相同得移位 ,差分方程不變 ]1[]2[]1[6][8 ?????? nxnynyny]1[]2[]1[][ ?????? nxnynyny]1[][]1[6]2[8 ?????? nxnynyny 傳輸函數(shù)和脈沖函數(shù) 差分方程 x[n] y[n] 脈沖響應(yīng) h[n] x[n] y[n]=h[n]*x[n] 傳輸函數(shù) H(z) X(z) Y(z)=H(z)X(z) 傳輸函數(shù)和脈沖函數(shù) ?其中 Y(z)是 y[n]的 z變換 ,X(z)是 x[n]的 z變換。 ? H(z)是 h[n]的 z變換 ,也就是說傳輸函數(shù)是其脈沖響應(yīng)的 z變換 ][][][][][ nxnhknxkhnyk???? ?????)()()( zXzHzY ? 傳輸函數(shù)和脈沖函數(shù) ?例 310 數(shù)字濾波器的脈沖響應(yīng)為 : ? 求此濾波器的傳輸函數(shù) . ?解 :濾波器的傳輸函數(shù)就是脈沖響應(yīng)的 z變換 : ? 注意 :此傳輸函數(shù)得到差分方程 : ]3[]2[]1[][][ ??????? nnnnnh ????321 )( ??? ???? zzzzH]3[]2[]1[][][ ??????? nxnxnxnx
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