【正文】 1 第三章 隨機(jī)信號 2 學(xué)習(xí)目標(biāo) ? 隨機(jī)過程的基本概念 。 ? 隨機(jī)過程的數(shù)字特征（均值、方差、相關(guān)函數(shù)） 。 ? 隨機(jī)過程的平穩(wěn)性、各態(tài)歷經(jīng)性、自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)、 維納－辛欽定理 。 ? 高斯隨機(jī)過程的定義、性質(zhì)，其一維概率密度函數(shù)和正態(tài)分布函數(shù)，高斯白噪聲 。 ? 平穩(wěn)隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)，其輸出過程的均值、自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度、帶限白噪聲 。 ? 窄帶隨機(jī)過程的表達(dá)式，其包絡(luò)、相位的統(tǒng)計(jì)特性，其同相分量、正交分量的統(tǒng)計(jì)特性； ? 余弦波加窄帶高斯過程的合成包絡(luò)的統(tǒng)計(jì)特性 ? 匹配濾波器 ? 循環(huán)平穩(wěn)隨機(jī)過程 3 引言 ? 自然界中事物的變化過程大致分成為兩類： ?確定性過程 ：其變化過程具有確定的形式，或者說具有必然的變化規(guī)律，用數(shù)學(xué)語言來說，其變化過程可以用一個(gè)或幾個(gè)時(shí)間（ t）的確定函數(shù)來描述。 ?隨機(jī)過程 ：該過程沒有確定的變化形式，也就是說，每次對它的測量結(jié)果沒有一個(gè)確定的變化規(guī)律，用數(shù)學(xué)語言來說， 這類事物變化的過程不可能用一個(gè)或幾個(gè)時(shí)間 t的確定函數(shù)來描述。 4 ? 通信過程是信號和噪聲通過通信系統(tǒng)的過程。而通信系統(tǒng)中遇到的信號和噪聲總帶有隨機(jī)性，從統(tǒng)計(jì)數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)看， 隨機(jī)信號和噪聲統(tǒng)稱為隨機(jī)過程 。 隨機(jī)過程 ：設(shè) Sk(k=1, 2,…)是隨機(jī)試驗(yàn) 。 每一次試驗(yàn)都有一條時(shí)間波形 （ 稱為樣本函數(shù)或?qū)崿F(xiàn) ） ， 記作 xi(t)，所 有 可 能 出 現(xiàn) 的 結(jié) 果 的 總 體 {x1(t), x2(t) ， …, xn(t)， …}就構(gòu)成一隨機(jī)過程 ， 記作 X(t)。 簡言之 ， 無窮多個(gè) 樣本函數(shù) 的總體叫做隨機(jī)過程 ， 如圖所示 ： 5 x1( t )x2( t )xn( t )ttt樣 本 空 間S1S2SnX ( t )tk圖 2 1樣本函數(shù)的總體 6 隨機(jī)過程 X(t)具有兩個(gè)基本特征： （ 1） X(t)是時(shí)間 t的函數(shù)； （ 2） 在某一觀察時(shí)刻 t1， 樣本的取值 X(t1)是一個(gè)隨機(jī)變量 。 因此 ， 我們又可以把隨機(jī)過程看成依賴時(shí)間參數(shù)的一族隨機(jī)變量 。 可見 ， 隨機(jī)過程具有隨機(jī)變量和時(shí)間函數(shù)的特點(diǎn) 。 7 （概率）特性 設(shè) X(t)表示一個(gè)隨機(jī)過程，在 任意給定 的時(shí)刻 t1∈ T， 其取值 X(t1)是一個(gè)一維隨機(jī)變量。而隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)特性可以用分布函數(shù)或概率密度函數(shù)來描述。把隨機(jī)變量 X(t1)小于或等于某一數(shù)值 x1的概率 P[X(t1)≤x1]，簡記為 F1(x1, t1)，即 F1(x1,t1)=P［ X(t1)≤x1］ 上式稱為隨機(jī)過程 X(t)的 一維分布函數(shù) 。 隨機(jī)過程的分布函數(shù)和概率密度： 隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)可以由其分布函數(shù)和概率密度來描述 8 ),(),( 1111111 txfxtxF ??? 則稱 f1(x1, t1)為 X(t)的 一維概率密度函數(shù) 。 顯然 ， 隨機(jī)過程的一維分布函數(shù)或一維概率密度函數(shù)僅僅描述了隨機(jī)過程在各個(gè)孤立時(shí)刻的統(tǒng)計(jì)特性 ， 而沒有說明隨機(jī)過程在不同時(shí)刻取值之間的內(nèi)在聯(lián)系 。 任給兩個(gè)時(shí)刻 t1, t2∈T ， 則隨機(jī)變量 X(t1)和 X(t2)構(gòu)成一個(gè)二元隨機(jī)變量 {X(t1), X(t2)}， 稱 F2(x1,x2,t1,t2)=P ｛ X(t1)≤x 1,X(t2)≤x 2 ｝ 為隨機(jī)過程 X(t)的 二維分布函數(shù) 。 如果 F1(x1, t1)對 x1的偏導(dǎo)數(shù)存在 9 22 1 2 21 2 1 212F ( x , x , t , t ) f ( x , x , t , t )xx? ??? 則稱 為 X(t)的 二維概率密度函數(shù) 。 ? ? ? ?2 1 2 1 21 2 1 212n , nnnnF x , x . . . , t t . . . , tf x , x . . . , x , t , t . . . , tx x . . . x??? ? ?, 2 如果存在 : 1 2 1 2f ( x , x , t , t )? ? ? ? ? ? ? ?1 2 1 2 1 1 2 2n n n n nF x , x , x , t , t , t P X t x , X t x , X t x??? ? ? ???X(t)的 n維概率密度 : 同理， X(t)的 n維分布函數(shù) : 10 如果對于 X(t)任意時(shí)刻和任意 n都給定了分布函數(shù)或概率密度 ， 即 n越大 ， 對隨機(jī)過程統(tǒng)計(jì)特性的描述就越充分 ， 但問題的復(fù)雜性也隨之增加 。 在一般實(shí)際問題中 ， 掌握二維分布函數(shù)就已經(jīng)足夠了 。 11 隨機(jī)過程的數(shù)字特征 分布函數(shù)或概率密度函數(shù)雖然能夠較全面地描述隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)特性 , 但在實(shí)際工作中，有時(shí)不易或不需求出分布函數(shù)和概率密度函數(shù)，而 用隨機(jī)過程的數(shù)字特征來描述隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)特性，更簡單直觀。 （ 1） 數(shù)學(xué)期望 （ 均值 ） ? ? ? ?1E X t x f x , t d x????? ??? ? （ 2） 方差 ? ? ? ?? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?2212212 2 2XXXXD X t E X ( t ) E X ( t )x m t f x , t dxx f x , t dx m tE x m t t????????? ????????????? ? ???12 均值和方差都只與隨機(jī)過程的一維概率密度函數(shù)有關(guān) ， 因而它們描述了隨機(jī)過程在各個(gè)孤立時(shí)刻的特征 。 為了描述隨機(jī)過程在兩個(gè)不同時(shí)刻狀態(tài)之間的聯(lián)系 ， 還需利用二維概率密度引入新的數(shù)字特征 。 13 （ 3） 自 相關(guān)函數(shù) ? ? ? ? ? ? ? ?1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2XE X t X t R t , t x x p x , x , t , t d x d x????? ???? ? （ 4） 自協(xié)方差 函數(shù) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?1 2 1 1 2 21 1 2 2 2 1 2 1 2 1 21 2 1 2X X XXXX X XC t , t E X t m t X t m tx m t x m t p x , x , t , t dx dxR t , t m t m t???? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ????? ?12XC t ,t （ 5） 歸一化協(xié)方差 函數(shù) ? ? ? ?? ? ? ?121212XXXXC t , tt , ttt? ??? 和 等于 0， 則稱 X(t1)， X(t2)不相關(guān) 。 ? ?12X t ,t?14 兩隨機(jī)過程的聯(lián)合分布函數(shù)和數(shù)字特征 X(t)和 Y(t)是兩個(gè)隨機(jī)過程 （ 1） 聯(lián)合分布函數(shù)和概率密度 ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 2 1 2 1 2 1 21 1 2 2 1 1 2 2n ,m n n n nn n m mF x , x , x , t , t , t 。 y , y , y , t 39。 , t 39。 , t 39。P X t x , X t x , X t x 。 Y t 39。 y ,Y t 39。 y , Y t 39。 y??? ? ? ? ? ? ???? ?? ?1 2 1 2 1 2 1 21 2 1 21 2 1 2 1 2 1 2n , m n n n nnmn , m n n n nF x , x , x , t , t , t 。 y , y , y , t 39。 , t 39。 , t 39。x x x y y yp x , x , x , t , t , t 。 y , y , y , t 39。 , t 39。 , t 39。?? ? ? ? ? ??15 n ,m n mn ,m n mF F F ,p p p????或者若 X(t)和 Y(t)是兩個(gè)相互獨(dú)立隨機(jī)過程 ,則 上式是 X(t)和 Y(t)是兩個(gè)相互獨(dú)立的充要條件 ? ? ? ? ? ? ? ?1 2 1 2 2 1 2XYR t , t E X t Y t x y p x , t , y , t d x d y????????? ? （ 2） 兩個(gè)隨機(jī)過程的數(shù)字特征 互相關(guān)函數(shù)： 互協(xié)方差函數(shù)： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ?1 2 1 1 2 21 2 1 2X Y X YX Y X YC t , t E X t m t Y t m tR t , t m t m t? ? ? ?? ? ?? ? ? ???互協(xié)方差函數(shù)＝ 0，則 X(t)和Y(t)不相關(guān) X(t)和 Y(t)獨(dú)立與不相關(guān)的關(guān)系？ 獨(dú)立，必不相關(guān)，反之，未必！ 正態(tài)隨機(jī)過程，獨(dú)立與不相關(guān)等價(jià) 16 嚴(yán) (狹義 )平穩(wěn)隨機(jī)過程定義 隨機(jī)過程 X(t),若對于任意 n和任意選定 t1,t2,…,tn, 以及任意的 ?， 有 pn(x1, x2, … , xn。 t1, t2, … , tn)=pn(x1, x2, … , xn。 t1+?, t2+?, … , tn+?） 定義說明 :當(dāng)取樣點(diǎn)在時(shí)間軸上作任意平移時(shí) ， 隨機(jī)過程的所有有限維概率密度函數(shù)或分布函數(shù)是不變的 ，具體到它的一維分布 , 則與時(shí)間 t無關(guān) ， 而二維分布只與時(shí)間間隔 τ 有關(guān) ， 即： 平穩(wěn)隨機(jī)過程是在通信系統(tǒng)中占重要地位的一種特殊而又廣泛應(yīng)用