[工學]第三章參數(shù)點估計(已修改)
2025-01-16 21:46 本頁面
【正文】 二、估計量的評選標準 一 、點估計 第三章 參數(shù)估計 三、區(qū)間估計 四、正態(tài)總體均值與方差的 區(qū)間估計 參數(shù)估計是統(tǒng)計推斷的基本問題之一， 問題中， 并不一定要求密度函數(shù)， 而只要知道參數(shù)那么 在許多實際 分布就決定了。 考察燈泡廠生產(chǎn)的燈泡質(zhì)量， 由于種種隨機 易知燈泡使用壽命是隨機變量， 記為 且 問題： 如何估計 和 ？ 引例 1 因素的影響， 知道了參數(shù) μ ， σ 2的值，那么壽命 X的分布就完全 確定了 . 參數(shù)估計要解決問題 : 總體分布函數(shù)的形式為已知 , 需要確定未知參數(shù)。 但其中參數(shù) 未知時， 這類問題稱為參數(shù)估計問題。 只有當參數(shù) 確定后， 才能通過 概率密度函數(shù)計算概率。 對于未知參數(shù)， 如何應用樣本 所提供的信息去對 其一個或多個未知參數(shù)進行估計。 對未知參數(shù)估計的兩種方法： 通過樣本 點估計 區(qū)間估計 167。 1 點估計 點估計問題： 第一節(jié) 點估計 故可用樣本矩來估計總體矩。 這個估計方法是英國統(tǒng)計學家 爾遜 最早提出的 基本原理： 總體矩是反映總體分布的最簡單的 數(shù)字特征， 當總體含有待估計參數(shù)時， 總體矩是 待估計參數(shù)的函數(shù)。 樣本取自總體， 即樣本矩在一定程度上可以逼近總體矩， 一、矩估計法 其中 是待估參數(shù) 為來自 的樣本 , 存在 , 設(shè)總體的 k階矩 則樣本的 k階矩 (大數(shù)定律 ) 令 從中解得 k個方程組 即為 矩估計量 。 矩估計量的觀察值稱為 矩估計值 。 設(shè)總體 X的分布函數(shù)為 矩估計的步驟： 連續(xù)型 離散型 例 1 設(shè)某炸藥廠一天中發(fā)生著火現(xiàn)象的次數(shù) X服從 例 2 設(shè)總體 在 上服從均勻分布， 解： 解得 是在總體類型已知條件下使用的一種參數(shù)估計方法 . 2. 極大似然法 極大似然法的基本思想 先看一個簡單例子： 一只野兔從前方竄過 . 是誰打中的呢？ 某位同學與一位獵人一起外出打獵 . 如果要你推測， 你會如何想呢 ? 只聽一聲槍響，野兔應聲倒下 . 你就會想，只發(fā)一槍便打中 ,獵人命中的概率一般大于這位同學命中的概率 . 看來這一槍是獵人射中的 . 這個例子所作的推斷已經(jīng)體現(xiàn)了極大似然法的基本思想 . 以上這種選擇一個參數(shù)使得試驗結(jié)果具有最大概率的思想就是極大似然法的基本思想 . 基本思想 : 若事件 發(fā)生了 , 則認為事件 中出現(xiàn)的概率最大。 最大似然估計 就是在一次抽樣中 ,若得到觀測值 則選取 若一試驗有 n個可能結(jié)果 現(xiàn)做一試驗 , 在這 n個可能結(jié)果 作為 的估計值 ， 使得當 時 ,樣本出現(xiàn)的概率最大 。 最大似然估計法 : 是 的一個樣本值 (如離散型 ) (1)設(shè) 事件 發(fā)生的概率為 的函數(shù)， 形式已知 X的分布律為： 的聯(lián)合分布律為 ： 樣本的 似然函數(shù) 即取 使得： 與 有關(guān) , 記為 稱為參數(shù) 的 最大似然估計值 稱為參數(shù) 的 最大似然估計量 . 達到最大的參數(shù) 作為 的估計值， 現(xiàn)從中挑選使概率 樣本的似然函數(shù) 兩點說明 用上述求導方法求參數(shù)的 MLE有時行不通，這時要用極大似然原則來求 . 使似然函數(shù) 達到最大的 即 的 MLE， (4) 在最大值點的表達式中 , 用樣本值代入 就得參數(shù)的極大似然估計值 . (1) 由總體分布導出樣本的聯(lián)合分布律 (或聯(lián)合密度 )。 (2) 把樣本聯(lián)合分布律 (或聯(lián)合密度 )中自變 量看成已知常數(shù) ,而把參數(shù) 看作自變量 , 得到似然函數(shù) L( )。 (3) 求似然函數(shù) L( ) 的最大值點 (常常轉(zhuǎn)化 為求 ln L( )的最大值點 ) ，即 的 MLE。 求極大似然估計 (MLE)的一般步驟是： 下面
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