[工學]第三章參數點估計-展示頁
2025-01-13 21:46本頁面
【正文】 ，故 1m in { , , }nxx? ?1m in { , , }nxx? ?所以當 時 L 取到最大值 從而參數 θ和 μ的最大似然估計值分別為 1? m in { , , }nxx? ?111? ?( ) m i n { , , }ninix x x xn???? ? ? ??則參數 θ和 μ的最大似然估計量分別為 1? m in { , , }nXX? ?1? m in { , , }nX X X? ??極大似然估計不變性 由于估計量作為樣本的函數是一個隨機變量 , 對于不同的樣本值 , 估計值也不同 , 因此評價一個 估計量的優(yōu)劣就不能僅由一個觀測值來確定 , 而要 根據估計量的統(tǒng)計性質來評價 . 通常一個好的估計 量其觀測值應在待估計參數的真值附近波動 , 且波 動的幅度越小越好 , 即要使估計量與待估計參數在 某種統(tǒng)計意義下非常“接近” . 常用的幾條標準是： 1． 無偏性 2． 有效性 3． 相合性 這里我們重點介紹前面兩個標準 . 第 2節(jié) 估計量的評選標準 而它的期望值等于未知參數的真值 . 則稱 為 的無偏估計 . 設 是未知參數 的估計量，若 . 真值 1．無偏性 估計量是隨機變量， 對于不同的樣本值會得到不同的 估計值 . 我們希望估計值在未知參數真值附近擺動， 這個標準 . 這就導致無偏性 定義 無偏性的意義是： 用 來估計 時無系統(tǒng)偏差。 , )E X x f x d x? ? ??????? ?xxe d x??????????? ? ??222 ( ) ( 。 , ) , 00 , .xexfxx?? ?? ? ???????????? ??⑵ 參數 θ和 μ的最大似然估計量。 , )0 , , .a x bf x a b baothe rs????? ????1 / ( ) , ,( , )0 , .nib a a x bL a bothe rs? ? ? ?? ??似然函數 所以 12m in ( , , )na x x x?12m a x ( , , )nb x x x?所以 11( , )( ) m a x m i nnL a bba????則要使得 ( , )L a b取最大值 12? m in ( , , )na x x x?12? m a x( , , )nb x x x?注：特殊的似然函數通過求導得不到其最大， 需要用其它的方法。 例 3 設 X1, X2, …, Xn 是取自總體 X 的一個樣本 , ，求參數 a , b 的最大似然估計值。 (3) 求似然函數 L( ) 的最大值點 (常常轉化 為求 ln L( )的最大值點 ) ，即 的 MLE。 最大似然估計法 : 是 的一個樣本值 (如離散型 ) (1)設 事件 發(fā)生的概率為 的函數， 形式已知 X的分布律為： 的聯(lián)合分布律為 ： 樣本的 似然函數 即取 使得： 與 有關 , 記為 稱為參數 的 最大似然估計值 稱為參數 的 最大似然估計量 . 達到最大的參數 作為 的估計值， 現(xiàn)從中挑選使概率 樣本的似然函數 兩點說明 用上述求導方法求參數的 MLE有時行不通，這時要用極大似然原則來求 . 使似然函數 達到最大的 即 的 MLE， (4) 在最大值點的表達式中 , 用樣本值代入 就得參數的極大似然估計值 . (1) 由總體分布導出樣本的聯(lián)合分布律 (或聯(lián)合密度 )。 設總體 X的分布函數為 矩估計的步驟： 連續(xù)型 離散型 例 1 設某炸藥廠一天中發(fā)生著火現(xiàn)象的次數 X服從 例 2 設總體 在 上服從均勻分布， 解： 解得 是在總體類型已知條件下使用的一種參數估計方法 . 2. 極大似然法
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