[工學]第三章參數(shù)點估計-資料下載頁
2025-01-04 21:46本頁面
【正文】 r p V ar x V ar xN N? ? ?21 ( ) ( 1 )V ar X p pn NnN??所以 1?()()V a r p n I p?1?pp xN?即 是 的有效估計.CR下界為 1 (1 )()ppn I p n N??12( , , , ) ( ) ( 0 ) ,:nx x x Px????是 的 一 個 樣 本證 明3是例的 有 效 估 計, , , .(():)x E x E X x U EV ar XV ar xnn???? ? ???因為證明 是樣本均值 故 是 的: { } ( 。 )!xX P X x e p xx ?? ??? ? ?總體 的分布律為l n ( 。 ) l n l n !p x x x? ? ?? ? ?2222l n ( 。 ) ( ) 1( ) [ ] [ 1 ]d p X X E XI E Ed???? ? ???? ? ? ? ?1 ,()n I n?? ?故1, ( ) ,()V a r x nI ??可見., x ?所 以 是 的 有 效 估 計例 8. 設(shè) x1 ,….x n 為取自總體為正態(tài)分布 N(μ,σ2)的樣本 , 驗證 因此 , 是 μ的有效估計 . x解：已證過 為 , 下求 μ的 CR下界 ,由于 ? ? ? ? ? ?2221l n , 2 ,22xf x ln ?? ? ???? ? ?? ? 22221( , )2xf x e????????? ? ? ?222 4 211X X???? ? ????? ? ? ? ? ? ?????? ?21nn?? ??? ? ? ? 2? V a r XV a r V a r x nn ?? ? ? ?x而 μ的 CR下界為 是 μ的有效估計 因此 ? ?2l n ,d f x xd? ?????x? ? ? ?22122 22( , ) 2xf x e??? ? ?????22221 ( )l n ( , ) ( 2 )22xf x ln ?? ? ???? ? ?222 2 4l n ( , ) 1 ( )22f x x??? ? ??? ? ? ??2224622l n ( , )()1 ( )2f xx ???? ???? ?? 224 6 4 6 41 ( ) 1 1()2 2 2X V a r X??? ? ? ? ??? ??? ? ?? ? ? ? ?????4212()nn?? ??因此 : 解 : 由于 所以 σ2的 CR下界為 : 例 4.(接前例 )設(shè) x1 ,….x n 取自正態(tài)分布總體 N(μ,σ2) , 若 μ未知，討論 σ2的無偏估計 是否為有效估計 . ? ?22211?1niiS x xn??? ? ?? ?2211 ()1niiS x xn???? ?由于 2221 ~ ( 1 )n Sn??? ? 其期望為 n1 , 方差為 2(n1） 所以 22? S? ?即 不是 σ2的有效估計，但為 σ2的漸近有效估計 . ? ?4212nn?? ??? ? ? ?2242 22111V ar S nnn????? ? ? ???????, σ2的 CR下界為 注 1: 由其它方法可知 其方差大于 CR下界 , 即有時 CR下界過小 . 22? S? ?是 σ2的 UMVUE. 2:若 μ已知 , ? ?2 422121() 12~ ( ) , .ni niiixn V a r xnn? ??????? ??????????? ?211 n ii xn ?? ?? 此時 為 σ 2的有效估計 .
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