[工學(xué)]第三章參數(shù)點(diǎn)估計(jì)(編輯修改稿)
2025-01-31 21:46 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 評(píng)價(jià) . 通常一個(gè)好的估計(jì) 量其觀測(cè)值應(yīng)在待估計(jì)參數(shù)的真值附近波動(dòng) , 且波 動(dòng)的幅度越小越好 , 即要使估計(jì)量與待估計(jì)參數(shù)在 某種統(tǒng)計(jì)意義下非?！敖咏?. 常用的幾條標(biāo)準(zhǔn)是： 1． 無(wú)偏性 2． 有效性 3． 相合性 這里我們重點(diǎn)介紹前面兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn) . 第 2節(jié) 估計(jì)量的評(píng)選標(biāo)準(zhǔn) 而它的期望值等于未知參數(shù)的真值 . 則稱(chēng) 為 的無(wú)偏估計(jì) . 設(shè) 是未知參數(shù) 的估計(jì)量，若 . 真值 1．無(wú)偏性 估計(jì)量是隨機(jī)變量， 對(duì)于不同的樣本值會(huì)得到不同的 估計(jì)值 . 我們希望估計(jì)值在未知參數(shù)真值附近擺動(dòng)， 這個(gè)標(biāo)準(zhǔn) . 這就導(dǎo)致無(wú)偏性 定義 無(wú)偏性的意義是： 用 來(lái)估計(jì) 時(shí)無(wú)系統(tǒng)偏差。 則稱(chēng) 是 的漸近無(wú)偏估計(jì)量 . 例如 設(shè)總體 X的數(shù)學(xué)期望 μ 存在， 是 X的樣本，求證 均為 μ 的無(wú)偏估計(jì)。 為 σ 2 的無(wú)偏估計(jì)量 不是 σ 2 的無(wú)偏估計(jì)量 用 S2來(lái)估計(jì) σ 2有系統(tǒng)偏差。 例：由大數(shù)定律知 一致性說(shuō)明：對(duì)于大子樣，由一次抽樣得到的估 計(jì)量 的值可作 θ 的近似值 3. 有效性 : 都是 的無(wú)偏估計(jì)量；若 則稱(chēng) 較 有效 . 設(shè) 最小方差無(wú)偏估計(jì) 定義 : ? ,?( ) ( ) ,? , .Va r Va rUMVUE? ? ??? ? ???? ? ? ?設(shè) 是 的一個(gè)無(wú)偏估計(jì)量 若對(duì)于 的任一方差存在的無(wú)偏估計(jì)量 都有則稱(chēng) 是 的一致最小方差無(wú)偏估計(jì) 記為Problem： 無(wú)偏估計(jì)的方差是否可以任意小 ? 如果不能任意小 ,那么它的下界是什么 ? 2l n ( 。 )( 4 ) ( )xfE ???? 存 在 Fisher信息量的 定義 . ( 2 ) { | ( 。 ) 0 } 。S x f x ????支 撐 與 無(wú) 關(guān)( 。 )( 3 )( 。 )( 。 )fxfxf x dx dx???????? ? ? ?? ? ? ?????????存 在 且 對(duì) 中 一 切 有羅 克拉美（ Cramer–Rao ）不等式 (1)?是實(shí)數(shù)軸上的一個(gè)開(kāi)區(qū)間 。 設(shè) 總體 X 的概率函數(shù)為 f(x。? ),???,且滿足條件 : 2l n ( 。 )( ) ( )d e f fI xE ?????? F i s稱(chēng) 為 her總 體 分 布 的 信 息 量 .正則條件 注： I(?)的另一表達(dá)式為 2222l n ( 。 ) ( 。 )( ) ( ) , (f x f xIE ??????????? 存 在 , 滿 足 正 則 條 件 ) 設(shè) 總體 X 的概率函數(shù)為 f(x 。? ),???, 滿足上面定義條件；x1,….,x n 是來(lái)自總體 X的一個(gè)樣本 , T(x1,….,x n ) 是 g(? )的一個(gè)無(wú)偏估計(jì) . ??且 對(duì) 中 一 切 有()() gg ????? ?? 存 在 ,定理 (CramerRao不等式 ): 1 2 11( ) ( , , , ) ( 。 )nn i nig T x x x f x d x d x??? ? ? ?? ? ? ? ?? ???的微分可在積分號(hào)下進(jìn)行，即 1 2 1111211( ) ( , , , )( , ,( ( 。 ) )[ l n( ( 。 ) ) ] ( ),) 。niinniiininnng T x x x dx dxT x x x dxf dxfxf x x? ?????? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ??????????????????則有 2[ ( ) ]()()gV a r TnI????1()()V a r T nI ??上述不等式的右端稱(chēng)為 CR下界 , I(?) 為 Fisher信息量 . 特別地對(duì) θ 的無(wú)偏估計(jì)有 注 : (1) 定理對(duì)離散型總體也適用 .只需改積分號(hào)為求和號(hào)。 (2) 在定理?xiàng)l件下 , 若 g(? ) 的無(wú)偏估
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