[工學]第三章參數(shù)點估計-wenkub.com
2025-01-01 21:46 本頁面
【正文】 ) l n l n !p x x x? ? ?? ? ?2222l n ( 。 )de fx x N xNXP X x C p p P x p?? ? ? ?總體 的分證 布: 為明l n ( 。 ): ( ) [ ] ( ) 。 ) 。T E T g?? ?驗 證 是 g( 的 無 偏 估 計 即( 2 ) 。 ) )[ l n( ( 。 ) ( 。 )fxfxf x dx dx???????? ? ? ?? ? ? ?????????存 在 且 對 中 一 切 有羅 克拉美（ Cramer–Rao ）不等式 (1)?是實數(shù)軸上的一個開區(qū)間 。 ) 0 } 。 則稱 是 的漸近無偏估計量 . 例如 設總體 X的數(shù)學期望 μ 存在， 是 X的樣本，求證 均為 μ 的無偏估計。 解 ⑴ 令 1122AA????? ??21211 niiA X A Xn ??? ?其中 ，1 ( ) ( 。 ~ ( , )X U a b解 1 ,( 。 (2) 把樣本聯(lián)合分布律 (或聯(lián)合密度 )中自變 量看成已知常數(shù) ,而把參數(shù) 看作自變量 , 得到似然函數(shù) L( )。 矩估計量的觀察值稱為 矩估計值 。 對未知參數(shù)估計的兩種方法： 通過樣本 點估計 區(qū)間估計 167。 考察燈泡廠生產(chǎn)的燈泡質(zhì)量， 由于種種隨機 易知燈泡使用壽命是隨機變量， 記為 且 問題： 如何估計 和 ？ 引例 1 因素的影響， 知道了參數(shù) μ ， σ 2的值，那么壽命 X的分布就完全 確定了 . 參數(shù)估計要解決問題 : 總體分布函數(shù)的形式為已知 , 需要確定未知參數(shù)。 但其中參數(shù) 未知時， 這類問題稱為參數(shù)估計問題。 1 點估計 點估計問題： 第一節(jié) 點估計 故可用樣本矩來估計總體矩。 設總體 X的分布函數(shù)為 矩估計的步驟： 連續(xù)型 離散型 例 1 設某炸藥廠一天中發(fā)生著火現(xiàn)象的次數(shù) X服從 例 2 設總體 在 上服從均勻分布， 解： 解得 是在總體類型已知條件下使用的一種參數(shù)估計方法 . 2. 極大似然法 極大似然法的基本思想 先看一個簡單例子： 一只野兔從前方竄過 . 是誰打中的呢？ 某位同學與一位獵人一起外出打獵 . 如果要你推測， 你會如何想呢 ? 只聽一聲槍響，野兔應聲倒下 . 你就會想，只發(fā)一槍便打中 ,獵人命中的概率一般大于這位同學命中的概率 . 看來這一槍是獵人射中的 . 這個例子所作的推斷已經(jīng)體現(xiàn)了極大似然法的基本思想 . 以上這種選擇一個參數(shù)使得試驗結(jié)果具有最大概率的思想就是極大似然法的基本思想 . 基本思想 : 若事件 發(fā)生了 , 則認為事件 中出現(xiàn)的概率最大。 (3) 求似然函數(shù) L( ) 的最大值點 (常常轉(zhuǎn)化 為求 ln L( )的最大值點 ) ，即 的 MLE。 , )0 , , .a x bf x a b baothe rs????? ????1 / ( ) , ,( , )0 , .nib a a x bL a bothe rs? ? ? ?? ??似然函數(shù) 所以 12m in ( , , )na x x x?12m a x ( , , )nb x x x?所以 11( , )( ) m a x m i nnL a bba????則要使得 ( , )L a b取最大值 12? m in ( , , )na x x x?12? m a x( , , )nb x x x?注：特殊的似然函數(shù)通過求導得不到其最大， 需要用其它的方法。 , )E X x f x d x? ? ??????? ?xxe d x??????????? ? ??222 ( ) ( 。 為 σ 2 的無偏估計量 不是 σ 2 的無偏估計量 用 S2來估計 σ 2有系統(tǒng)偏差。S x f x ????
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