研究生統(tǒng)計學(xué)講義第5講第5章方差分析(已修改)
2025-10-23 19:50 本頁面
【正文】 第 5章 方差分析 analysis of variance， ANOVA 方差分析目的是利用變異的關(guān)系來判別多組資料的總體平均值是否有差別?；舅枷胧牵合燃僭O(shè)（ H0）各總體均數(shù)全相等；將總變異 SS總 ，按設(shè)計和資料分析的需要分為兩個或多個組成部分，其自由度也相應(yīng)地分為幾個部分，以隨機誤差為基礎(chǔ)，按 F分布的規(guī)律作統(tǒng)計推斷。 方差分析首先要進行 F 檢驗，統(tǒng)計量為 F，我們先介紹其統(tǒng)計量的分布 ─F分布。 定義：如果隨機變量 X X2分別服從自由度為 df1， df2的 ?2分布，則稱隨機變量 預(yù)備知識 2211dfXdfXF//?服從自由度為 df1, df2的 F分布 (Fdistribution)。 (5 ,10) =, P (F ) = 。P (F) = ； 查附表 6，界值 (3， 5) =， df1=3， df2=5時， P (F ) =， P (F ) = 查附表 6, (3， 5) = , df1=3 , df2=5時 , P (F ) = , P (F ) = 。 查附表 6 ,(7， 2) = ，df1=7， df2= 2時， P(F ) = , P (F ) =。 因一般都按組成統(tǒng)計量 F的分子大于分母計算 F值。所以附表 6中 F 界值都大于 1。方便方差分析時用。 F分布具有倒數(shù)性質(zhì)： ),(),(121211dfdfdfdf FF?? ??例如，查附表 6， (2， 5) =， F 界值表中沒有列出 (5， 2) ，利用 F分布的倒數(shù)性質(zhì)可得 (5， 2) =1/(2， 5) =1/ = 。 下面的性質(zhì)是 F分布用于方差分析和兩樣本比較時的方差齊性檢驗的重要依據(jù)： 如果分別從兩個正態(tài)總體 N(μ1,σ1)和 N(μ2,σ2)中，隨機抽取樣本含量為 n1， n 2的兩個樣本，算出樣本均數(shù)和方差分別為 ， s21和 ， s22，則統(tǒng)計量 2x1x22222121??//ssF ?服從自由度為 df1 = n1－ 1， df2 = n2－ 1的 F分布。 () 第二節(jié) 方差分析的思路 1. 方差分析的分析思路是將全部觀察值之間的變異即總變異 (SS總 )按設(shè)計和資料以及分析需要分為兩個組成部分，以隨機誤差為基礎(chǔ)，計算 F值，按 F分布的規(guī)律作統(tǒng)計推斷。 下面我們以完全隨機設(shè)計資料為例，進一步說明方差分析的基本思想。 例 研究單味中藥對小白鼠細胞免疫機能的影響，把 39只小白鼠隨機分為四組，雌雄盡量各半，用藥 15天后，進行 E玫瑰花結(jié)形成率（ ESFC）測定，結(jié)果如表 表 61 不同中藥對小鼠 ESFC(%)的影響 對照組 14 10 12 16 13 14 10 13 9 淫羊藿組 35 27 33 29 31 40 35 30 28 36 黨參組 21 24 18 17 22 19 18 23 20 18 黃芪組 24 20 22 18 17 21 18 22 19 23 本例屬于完全隨機設(shè)計資料，從表 51資料可以看到三種性質(zhì)不同的變異（用離均差平方和表示變異）： (1) 總變異 (total variation)： ? ?? ???kjniijjXXSS1 12)(總總顯然 SS總 還與總例數(shù) N(=∑nj)的多少有關(guān)，確切地說與總的自由度 df總 (df總 =N－ 1)有關(guān)。 (2) 組內(nèi)變異 (within group variation)：四個樣本組各組內(nèi)部 ESFE值也大小不等，這種變異稱為 組內(nèi)變異 。它反映了 ESFC的隨機誤差 (包括個體差異以及觀測誤差 )，其大小可用四樣本內(nèi)部每個觀察值 xij 與自已所在樣本組均數(shù) 之差的平方和 (記為 SS組內(nèi) )來表示， jx21 12 1jjkjnijij SnXXSSj)()( ???? ?? ?? ?組內(nèi) 顯然 SS組內(nèi) 的大小還與各樣本例數(shù) nj 的多少有關(guān)，確切地說與自由度 df組內(nèi) (df組內(nèi) =Σnj k)有關(guān)，所以計算組內(nèi)方差，稱為組內(nèi)均方 (within group mean square，記為 MS組內(nèi) ， MS組內(nèi) =SS組內(nèi) / df組內(nèi) =[Σ(nj 1)sj2 ]/ (Σnj k)。 (3) 組間變異 (between groups variation)：四組間 ESFC值的樣本均數(shù) 也大小不等，這種變異稱為組間變異，它反映了不同處理 (中藥 )的影響，也包括了隨機誤差。其大小可用各組均數(shù)分別與總均數(shù)之差的平方和 (記為SS組間 )來表示， jx)( 總組間 XXnSS ikjj ?? ?? 1同樣，組間變異 SS組間 的大小還與其自由度 df組間 (df組間=k1)有關(guān)，所以計算組間方差，稱為組間均方 (between groups mean square，記為 MS組間 )， MS組間 =SS組間 /df組間 = 1?kSS 組間SS總 =SS組間 +SS組內(nèi) ，且 df總 =df組間 + df組內(nèi) H0:μ1=μ2=μ3=μ4， F＝ MS組間 / MS組內(nèi) 1 F 要大于 1 多少才有統(tǒng)計意義呢？可查 F 界值表 (見附表 6)得 P 值，按 P 值的大小作出推斷結(jié)論。 (1) 各樣本是相互 獨立 的隨機樣本 。 (2) 正態(tài)性 (normality)，各樣本來自正態(tài)分布總體。方差分析的這一應(yīng)用條件是對樣本含量較小時的資料而言，對于樣本含量較大的資料來說，則樣本不論來自什么總體，方差分析都是強有力的分析方法。因為當(dāng)各組的樣本含量較大時，樣本均數(shù)近似正態(tài)分布。 (3) 各比較組總體方差相等 (σ12=σ22=…=σ k2)，稱為 方差齊性 （ h
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