【正文】 2021/6/16 醫(yī)學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)－－供研究生用 1 第四章 多個(gè)樣本均數(shù)比較的 方差分析 Analysis of variance （ ANOVA） 2 方差分析 ? 方差分析 的基本思想 ? 完全隨機(jī)設(shè)計(jì)的單因素 ? 隨機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)的兩因素 方差分析 ? 交叉設(shè)計(jì)的方差分析 ? 多個(gè)樣本均數(shù)間的多重比較 3 第一節(jié) 方差分析的 基本思想 ? 用途： 檢驗(yàn) 3組及以上總體均數(shù)是否相等。 ? 通過分析處理組均數(shù)之間的差別，推論它們所代表的 k個(gè)總體均數(shù)間是否存在差別，或 k個(gè)處理組間的差別是否具有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。 因因 素素 水水 平平 11 水水 平平 22 水水 平平 33 合合 計(jì)計(jì) XX 11 11 XX 22 11 XX 33 11 XX 11 22 XX 22 22 XX 33 22 ┇┇ ┇┇ ┇┇ XX 11 nn 11 XX 22 nn 22 XX 33 nn 33 nn 11 nn 22 nn 33 NN == ΣΣ nn ii 1X 2X 3X NXXij? ?? μμ 11 μμ 22 μμ 33 μμ 4 總變異 = 組間變異 + 組內(nèi)變異 表 糖尿病患者、 IGT異常及正常人的 載脂蛋白測(cè)定結(jié)果 糖尿病 IGT 正常人 … … … 均數(shù) (11) (9) (10) X= 5 全部實(shí)驗(yàn)結(jié)果存在三種不同的變異 ? 總變異 ：全部實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)大小不等。變異的大小用觀察值與總均數(shù)的離均差平方和表示，記為 SS總 ?組間變異： 各處理組的樣本均數(shù)也大小不等，變異的大小用各組均數(shù)與總體均數(shù)的離均差平方和表示，記為 SS組間 。 ?組內(nèi)變異： 各處理組內(nèi)部觀察值也大小不等，可用各處理組內(nèi)部每個(gè)觀察值與組均數(shù)的離均差平方和表示。記為 SS組內(nèi) 。 6 總變異 = 組間變異 + 組內(nèi)變異 ? ? 21 1? ?? ???kinjijiXXSS 總總變異： ? ? 21 1? ?? ???kinjiijiXXSS 組內(nèi)組間變異： ? ?21????kiii XXnSS 組間組內(nèi)變異 ： ?總 =N1 ?組間 =k1 ?組內(nèi) =Nk 7 F= MS組間 / MS組內(nèi) 如果： 各樣本均數(shù)來自同一總體（ Ｈ 0: m1?m2 ?? ?mk），即各組均數(shù)之間無差別。 則： 組間變異與組內(nèi)變異均只能反映隨機(jī)誤差， 此時(shí)： F 值應(yīng)接近 1。 反之，若各樣本均數(shù)不是來自同一總體，組間變異應(yīng)較大， F 值將明顯大于 1，則不能認(rèn)為組間的變異僅反映隨機(jī)誤差，也就是認(rèn)為處理因素有作用。 8 F值要到多大才有 統(tǒng)計(jì)學(xué)意義呢？ ? 在各樣本來自正態(tài)總體，各樣本所來自的總體方差相等的假定之下，當(dāng) H0成立時(shí)，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量 F 服從自由度 ?組間 =k1， ?組內(nèi) =Nk的 F 分布，表示為 : F ~ F (?組間 , ?組內(nèi) ) ? 可由 F界值表查出在某一 ? 水準(zhǔn)下 F分布的單尾界值 F ?。當(dāng) F F(?組間 , ?組內(nèi) ), P ?。 F 9 方差分析的基本思想 ? 根據(jù)資料的設(shè)計(jì)類型，將全部觀察值總的離均差平方和及自由度分解為兩個(gè)或多個(gè)部分， ? 除隨機(jī)誤差（如 SS組內(nèi) ）外，其余每個(gè)部分的變異（如 SS組間 ）可由某個(gè)因素的作用（或某幾個(gè)因素的交互作用，如 A因素 B因素）加以解釋。 ? 通過比較不同變異來源的均方，借助 F分布作出統(tǒng)計(jì)推斷，從而了解該因素對(duì)觀測(cè)指標(biāo)有無影響。 10 方差分析對(duì)數(shù)據(jù)的基本假設(shè) （方差分析的應(yīng)用條件） ? 任何兩個(gè)觀察值之間均不相關(guān) ? 每一水平下的觀察值均來自正態(tài)總體 ? 各總體方差相等，即方差齊性（ homogeneity of variance） 11 第二節(jié) 完全隨機(jī)設(shè)計(jì)資料的 單因素方差分析 ? 在實(shí)驗(yàn)研究中，將受試對(duì)象隨機(jī)分配到一個(gè)研究因素的多個(gè)水平中去，然后觀察實(shí)驗(yàn)效應(yīng)。 ? 在觀察研究中，按某個(gè)因素的不同水平分組，比較該因素的效應(yīng)。如比較糖尿病患者， IGT異常和正常人的載脂蛋白有無差別（人群這個(gè)研究因素分為 3個(gè)水平）。 ? 如將 30名乙型腦炎患者隨機(jī)分為三組，分別用單克隆抗體、胸腺肽和利巴韋林三種藥物治療（藥物這個(gè)研究因素分為 3個(gè)水平），觀察治療后的退熱時(shí)間。 12 一、完全隨機(jī)設(shè)計(jì) ? 如何隨機(jī)分組？ 如欲將 24只小白鼠隨機(jī)分為 3組。 方法如下： ? 首先，將小白鼠 1～ 24編號(hào) ? 利用隨機(jī)數(shù)字表（附表 15， p832） ? 依次讀取兩位數(shù)作為一個(gè)隨機(jī)數(shù)字錄于編號(hào)下， ? 將全部隨機(jī)數(shù)從小到大編序號(hào) ? 規(guī)定序號(hào)： 1～ 8 甲組； 9～ 16 乙組；17～ 24為丙組 13 二、變異分解 ： ? 例： 某社區(qū)隨機(jī)抽取了 30名糖尿病患者（ 11例）， IGT異常（ 9例）和正常人（ 10例）進(jìn)行載脂蛋白（ mg/dL）測(cè)定，問三種人的載脂蛋白有無差別？ 14 1. 完全隨機(jī)設(shè)計(jì)方差分析中變異的分解 總變異 = 組間變異 + 組內(nèi)變異 表 糖尿病患者、 IGT異常及正常人的載脂蛋白測(cè)定結(jié)果 糖尿病 IGT 正常人 … … … 均數(shù) (11) (9) (10) X= 15 2. 分析計(jì)算步驟 ? 建立檢驗(yàn)假設(shè)和確定檢驗(yàn)水準(zhǔn) H0: 三種人載脂蛋白的總體均數(shù)相等，即 m1 ?m2 ?m3 H1: 三種人載脂蛋白的總體均數(shù)不全相等 ?= ? 計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量 F值 16 表 糖尿病患者、 IGT異常及正常人的載脂蛋白測(cè)定結(jié)果 糖尿病 IGT 正常人 … … … ∑Xij 1160 11 9 1228 10 30 153420 ni X ∑ Xij2 17 表 糖尿病患者、 IGT異常及正常人的載脂蛋白測(cè)定結(jié)果 糖尿病 IGT 正常人 ∑Xij 1160 11 9 1228 10 30 153420 ni X ∑ Xij2 ? C=（校正數(shù)） ? SS總 = = ? SS組間 =11602/11++12282/10365093 = ? SS組內(nèi) = SS總 SS組間 == 18 確定 P值和作出推斷結(jié)論 查附表 3 F界值表（ P522） ,?1 = 2, ?2 = 27 (2,27)=, (2,27)= 本例 F= (2,27) ,故 P。 可認(rèn)為三種人的載脂蛋白不同。 方差分析計(jì)算表 變異來源 SS ? MS F P 組間 2384.03 2 1192.01 組內(nèi) 5497.84 27 2 總 7811.87 29 19 以上結(jié)論表明 ? 總的來說 三種人的載脂蛋白有差別，但并不表明任何兩種人的載脂蛋白均有差別。要了解哪些組均數(shù)間有差別，需進(jìn)一步作 兩兩比較 。 ? 當(dāng) k=2時(shí)，對(duì)同一資料， F=t2 。 20 第三節(jié) 隨機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)的方差分析（ randomized block design， twoway ANOVA） ? 亦稱 配伍組設(shè)計(jì) ,是配對(duì)設(shè)計(jì)的擴(kuò)大。 ? 例 對(duì)小白鼠喂以 A、 B、 C三種不同的營(yíng)養(yǎng)素，目的是了解不同營(yíng)養(yǎng)素增重的效果。采用隨機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)方法， 以窩別作為劃分區(qū)組的特征 ，以消除遺傳因素對(duì)體重增長(zhǎng)的影響。現(xiàn)將同品系同體重的 24只小白鼠分為 8個(gè)區(qū)組，每個(gè)區(qū)組 3只小白鼠。三周后體重增量結(jié)果（克）列于下表。問小白鼠經(jīng)三種不同營(yíng)養(yǎng)素喂養(yǎng)后所增體重有無差別？ 21 一、隨機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì) ? 如何分組： ? 先將全部受試對(duì)象按某種或某些特征分為若干個(gè)區(qū)組（ block），使每個(gè)區(qū)組內(nèi)的觀察對(duì)象隨機(jī)地接受研究因素某一水平的處理。 ? 由于區(qū)組內(nèi)的個(gè)體特征比較一致，減少了個(gè)體差異對(duì)結(jié)果的影響。 22 表 A、 B、 C三種營(yíng)養(yǎng)素喂養(yǎng)小白鼠所增體重 區(qū)組號(hào) A營(yíng)養(yǎng) B營(yíng)養(yǎng) C營(yíng)養(yǎng) 均數(shù) 1 Xij 2 … 7 8 均數(shù) 23 二、變異分解 變異的分解： SS總 =SS處理 +SS區(qū)組 +SS誤差 24 SS總 =SS處理 +SS區(qū)組 +SS誤差 表 A、 B、 C三種營(yíng)養(yǎng)素喂養(yǎng)小白鼠所增體重 區(qū)組號(hào) A營(yíng)養(yǎng) B營(yíng)養(yǎng) C營(yíng)養(yǎng) 均數(shù) 1 Xij 2 … 7 8 均數(shù) 25 2. 分析計(jì)算步驟 ?建立檢驗(yàn)假設(shè)和確定檢驗(yàn)水準(zhǔn) H0: 三種營(yíng)養(yǎng)素喂養(yǎng)的小白鼠體重增量相等，即 m1 ?m2 ?m3 H1:三種營(yíng)養(yǎng)素喂養(yǎng)的小白鼠體重增量不全相等 ?= ?計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量 F值 26 表 隨機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)方差分析的計(jì)算公式 變異來源 離均差平方和 SS 自由度ν 均方 MS F 值 處理間 (A ) SSA k － 1 AASS? EAMSMS 區(qū)組間 (B) SSB n － 1 BBSS? EBMSMS 誤差 (E) 總 SSE SST＝ SSA＋ SSB+ SSE (k － 1)(n － 1) N － 1 EESS? 27 表 方差分析結(jié)果 變異來源 SS ? MS F P 處理間 2 區(qū)組間 7 誤差 14 總 23 28 確定 P值和作出推斷結(jié)論： ? （ 2， 14） =， P。尚不能認(rèn)為三種營(yíng)養(yǎng)素喂養(yǎng)的小白鼠體重增量有差別。 ? （ 7， 14） =， P?？烧J(rèn)為 8個(gè)區(qū)組的小白鼠體重增量有差別，即遺傳因素對(duì)小白鼠體重增量有影響（但一般更關(guān)注處理組間差別的假設(shè)檢驗(yàn)）。 29 一般而言，隨機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)較成組設(shè)計(jì)更容易檢驗(yàn)出處理組間的差別，提高了研究效率。但不是在任何情況下都能提高研究效率。 ? 區(qū)組效應(yīng)是否具有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義是 重要的，它表明區(qū)組的劃分是否成