研究生統(tǒng)計學講義第3講總體均數(shù)估計和假設檢驗(已修改)
2024-10-30 18:17 本頁面
【正文】 第四章 第一節(jié) 總體均數(shù)的估計 一 .樣本均數(shù)的分布和 t 分布 （ P49） 在抽樣研究中，即使是嚴格遵守隨機抽樣原則，從同一總體中每次抽取樣本含量相等 (都為 n)的樣本，計算每一個樣本的樣本均數(shù)，由于變異存在，樣本均數(shù)有大有小，不盡相同，是隨機變量，其分布稱為樣本均數(shù)的分布。這里介紹樣本均數(shù)的兩條常用性質(zhì)： 情形 Ⅰ 當抽樣來自均數(shù)為 ，方差為 的 正態(tài)分布總體 時，樣本均數(shù)的分布（抽樣分布）有下面的性質(zhì) X? 2X?1. 的分布是正態(tài)的． X 分布的均數(shù)是 ,則 = XX? X? 的方差是 ,則 = , 是總體標準誤 . X 2X? 2X?nX2?X?X?情形 Ⅱ 當抽樣來自均數(shù)為 ，方差為 的 非正態(tài)分布 總體時，樣本均數(shù)的分布（抽樣分布）有下面的性質(zhì)： X?2X?1． 的分布是近似正態(tài)的，隨樣本容量的增加，靠近正態(tài)的程度就越好 ． 一般地， 的抽樣分布靠近正態(tài)分布所需要的樣本容量取決于最初分布的外形 ．在幾乎所有的情形里面，對 的抽樣分布，樣本容量在 30或以上就可以得到很好的正態(tài)近似 ． （均數(shù)的這個性質(zhì)就是眾所周知的 中心極限定理 Central Limit Theorem ) XXX 分布的均數(shù)是 ,則 = 的方差是 ,則 = , 是總體標準誤 . X? X?XX 2X?2X?nX2? X?X?由第 1條（均數(shù)抽樣分布的正態(tài)或近似正態(tài)）將在后面推出強有力的統(tǒng)計推論 ． 兩種情形中的第 3條表明，與個體觀測值相比較，樣本均數(shù)是變化較小的變量，那是因為標準誤總是比標準差小的緣故 ． nSSXX? 二、 t 分布 在公式 n/μX?? 中用 ns n?代替 得到： nsX/??用 S 替換 σ產(chǎn)生了一個不同的樣本分布 ． 如果 σ值未知又必須估計它，用估計值替換 σ所得變量的分布稱為 t 分布．這個分布是 19世紀在英國 Guinness 啤酒廠工作的 ，在 1908年以筆名“ Student” 發(fā)表．因此有時稱為 Student’s t 分布，這個分布族取決于參數(shù) n－ 1． （ 44） n/μX??nsX/??是具有 μ=0， σ=1的標準正態(tài)分布，而 是具有 μ=0， σ取決于樣本容量的 t 分布 ． 隨樣本容量的增加， t 分布漸近標準正態(tài)分布 ． 見圖， t 分布的準確外形取決于被稱為自由度（ degrees of freedom）的數(shù)量 ． 像正態(tài)分布一樣， t 分布是對稱的鐘形曲線，但是有點平坦，例如，它們有大的標準差． 對任何 t 分布，自由度恰好是樣本容量減 1:df=n－ 1 ． 作為為多個 t 分布的部分累積分布函數(shù)的比較已經(jīng)列在附表 5 里 ． 因為 t 分布是概率密度函數(shù)，任何 t 分布曲線下的面積為 1． 在某些情形，我們必須使用固定概率（一個 t 分布下的面積），留心并找出區(qū)間端點到中心 0的這個概率，設這個概率是 1－ α， α常常很小，規(guī)定為 或 ，于是 1－ α= ． 那么為尋找這個 t 0 ,使得 ?????? 1)( 00 tttP0t0t?2?2?t 分布里，定位在中間的面積 1－ α t 分布有兩條重要性質(zhì)： （ 1） 從正態(tài)總體中每次隨機抽取例數(shù)為 n的樣本 ，按 （ 式 44） 計算的統(tǒng)計量服從自由度為 df= n1的 t分布 （ 即樣本均數(shù)與總體均數(shù)相差多少個標準誤服從自由度為 n1的 t分布 ） 。 （ 2）從相互獨立，總體均數(shù)分別為 μ1， μ2，而標準差都為 σ的兩個正態(tài)總體中，隨機抽取樣本含量分別為n1， n2的兩個樣本，分別算出樣本均數(shù)和標準差為 X1和 S1， X2和 S2，按 （式 45）計算的統(tǒng)計量服從自由度為 df=n1+n2－ 2的 t分布。 xt = 21)()( 2121xxsxx???? ??自由度 df= n1+n2－ 2 （式 45） S = 21 xx ? )11(2)1()1(2121222211nnnnsnsn?????? （式 46） 2． T 分布的規(guī)律 如附表 3的 t 界值表 （ 表中只列出正的 t值 ） ， 表中橫標目為自由度 df， 縱標目為概率 P，表中數(shù)字表示自由度為 df時 t分布的界值 （ critical value） 。 t界值有單側(cè)和雙側(cè)兩種情況：自由度為 df時 ，t分布的雙側(cè) α界值記為 tα/2,df， P（ | t |≥tα/2,df） =?； t分布的單側(cè) α界值記為 tα， df， P（ t≥tα， df） =?。 例如 ， 自由度 df＝ 9時 ， 由附表 3的 t界值表查出 ，9＝ ， 雙側(cè)界值 ， 9＝ ， 則有： P（ t） ＝ P（ t ） ＝ ； P（ t –） ＝ P（ t） ＝ 。 P（ t） ＝ P（ t ） ＝ ； P（ ∣ t∣ ） ＝ P（ t ） ＝ 12 ＝ 。 從 t 分布的界值與標準正態(tài)分布的界值可發(fā)現(xiàn)，同樣的尾部面積， t分布的界值要大于標準正態(tài)分布的界值，當自由度 df→∞ 時， t 分布的界值逼近標準正態(tài)分布界值。 三 . 總體均數(shù)的估計 (P 51) 1． 點估計和 區(qū)間估計 總體參數(shù)的估計有點估計和區(qū)間估計 。 由樣本觀察值算出總體參數(shù)的一個估計值 （ 為統(tǒng)計量 ） 稱為該參數(shù)的 一個點估計 （ point estimation） 。點估計給出未知參數(shù)的一個近似值 ， 但沒考慮試驗誤差影響 ， 也未指出這種估計的可靠程度 。 因為估計量是來自一個隨機抽取的樣本 ， 每一次取值都有隨機性， 剛好
教學課件相關推薦
鄂ICP備17016276號-1