譯文--卡爾曼濾波器介紹(已修改)
2025-05-31 16:41 本頁(yè)面
【正文】 1 卡爾曼濾波器介紹 摘要 在 1960年， ，從那時(shí)間起，由于在數(shù)字計(jì)算的大部分提高， Kalman 濾波器已成為廣泛研究和應(yīng)用的學(xué)科，尤其是自動(dòng)或輔助導(dǎo)航系統(tǒng)。 Kalman 濾波器是一套數(shù)學(xué)等式，它提供了一種有效的以最小均方誤差來估計(jì)系統(tǒng)狀態(tài)的計(jì)算 (遞歸的 )方法。它在以下幾方面是非常強(qiáng)大的：它支持過去、現(xiàn)在、甚至將來估計(jì)，甚至在系統(tǒng)準(zhǔn)確模型也未知的情況下。 本文的目的是提供一種對(duì)離散的 Kalman濾波器的實(shí)用介紹。 這些介紹包括對(duì)基本離散kalman濾波器、起源和與之相關(guān)的簡(jiǎn)單 (有形 )的帶有真實(shí)數(shù)字和結(jié)果的描述和討論。 離散的 kalman 濾波器 在 1960年， ，從那時(shí)間起，由于在數(shù)字計(jì)算的大部分提高， Kalman 濾波器已成為廣泛研究和應(yīng)用的學(xué)科，尤其是自動(dòng)或輔助導(dǎo)航系統(tǒng)。關(guān)于 kalman濾波器一般方法的友好介紹可以在〔 maybeck79〕的 ，但是更完整部分的討論能在〔 Sorenson70〕中發(fā)現(xiàn)，它還包括許多有趣的歷史解釋。在〔 Gelb74； Grewal93； Maybeck79； Lewis86； Brown92； jacobs93〕中有更多參考。 估值過程 Kalman濾波器解決估計(jì)離散時(shí)間控制過程的狀態(tài) X∈ Rn的一般性問題，定義線性隨機(jī)差分方程 其中，測(cè)量值 Z∈ Rm，定義為 隨機(jī)變量 WK和 VK各自表示系統(tǒng)噪聲和測(cè)量噪聲，我們假定它們?yōu)橄嗷オ?dú)立的、白噪聲且為正常概率分布 在實(shí)際中，系統(tǒng)噪聲協(xié)方差矩陣 Q和測(cè)量噪聲協(xié)方差矩陣 R 可能隨過程和測(cè)量時(shí)間而改變，無論怎樣，我們?cè)谶@里假定它們是常量。 在差分方程（ ）中， n n階矩陣 A與前一時(shí)刻（ K－ 1）和當(dāng)前 時(shí)刻 K相關(guān)，這里缺少傳遞函數(shù)或系統(tǒng)噪聲。注意的是，在實(shí)際中， A可能隨各自時(shí)刻改變，但這里我們假定其為常量， n l階矩陣 R與非強(qiáng)制性輸入 U∈ Rl和狀態(tài) x有關(guān)，在測(cè)量公式（ ）中， m n階矩陣H與狀態(tài)及測(cè)量值 ZK有關(guān)，在實(shí)際中， H可能隨各自過程或測(cè)量時(shí)刻而改變， 這里假定它們是常數(shù)。 2 濾波器計(jì)算初步 我們定義 XK－ ∈ Rn（注意負(fù)號(hào)）為 k時(shí)刻及系統(tǒng) k時(shí)刻以前數(shù)據(jù)的 priori狀態(tài)估計(jì)，定義XK－ ∈ Rn在得到測(cè)量值 ZK的 k時(shí)刻的 posteriori狀態(tài)估計(jì)。我們這時(shí)定義前后兩狀態(tài)的估計(jì)誤差為 這時(shí) priori估計(jì)協(xié)方差為 并且 posteriori估計(jì)協(xié)方誤差為 在推導(dǎo) kalman濾波器方程時(shí)，我們開始找到 Posteriori狀態(tài)估計(jì) XK與 priori估計(jì) XK－ 和實(shí)際測(cè)量值 ZK與預(yù)測(cè)值 Hxk－ 之差的加權(quán)的線性組合的公式，如式（ ） 。對(duì)于（ ） 的一些調(diào)整在下面的“濾波器的概率初步”中給出。 式（ ） 中（ ZK－ Hxk）的差叫測(cè)量協(xié)方差或叫余數(shù)，這余數(shù)反映的是預(yù)測(cè)值 Hxk與實(shí)際值 Zk的不合。一個(gè)零余數(shù)意味著這兩個(gè)數(shù)完全一致。 式（ ） 中 n m階矩陣選擇 Posteriori協(xié)方誤差的最小增益或 混合因子，這最小值可以獲得：首先代式（ ）到上面定義的 ek ，代入到（ ）中，得到期望值，然后然后推導(dǎo)期望結(jié)果 K的跡，并設(shè)其為 0，最后解得 K。對(duì)于 更詳細(xì)的看〔 Maybeck79； Brown92； Jacobs93〕。最小化式（ ） 的結(jié)果 K的一種形式如下 從（ ）中，我們可以看到測(cè)量均方誤差 R趨于 0時(shí)，增益 K加權(quán)余數(shù)會(huì)越大，尤其 另一方面，當(dāng) Priori估計(jì)協(xié)方誤差 PK－ 趨于 0時(shí)，增益 k加權(quán)余數(shù)越小，尤其 考慮加權(quán) K的另一種方法：當(dāng)測(cè)量協(xié)方誤差 R趨于 0時(shí)，真實(shí)測(cè)量值
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