《辛等比數(shù)列題型》ppt課件-文庫(kù)吧
2025-04-18 18:33 本頁(yè)面
【正文】 an－1＝常數(shù) q ( n ∈ N*， q ≠ 0 ， n ≥ 2) ? { an} 為等比數(shù)列，或an＋1an＝常數(shù) q ( n ∈ N*， q ≠ 0) ? { an} 為等比數(shù)列； (2) 等比中項(xiàng)法： a2n＝ an－1 an＋1( n ∈ N*且 n ≥ 2) ? { an} 為等比數(shù)列，或 a2n＋1＝ an an＋2( n ∈ N*) ? { an} 為等比數(shù)列． [例 ] 數(shù)列 {an}的前 n項(xiàng)和為 Sn， 數(shù)列 {bn}中 b1＝ a1， bn＝ an－ an－ 1(n≥2)， 若 an＋ Sn＝ n. (1)設(shè) ＝ an－ 1， 求證數(shù)列 {}是等比數(shù)列； (2)求數(shù)列 {bn}的通項(xiàng)公式 ． 解析： (1) ∵ a1＝ S1， an＋ Sn＝ n ， ∴ a1＋ S1＝ 1 ，得 a1＝12. 又 an ＋ 1＋ Sn ＋ 1＝ n ＋ 1 ， ∴ 2( an ＋ 1－ 1) ＝ an－ 1 ，即an ＋ 1－ 1an－ 1＝12， ( n ∈ N*) 也即cn ＋ 1cn＝12，故數(shù)列 { cn} 是等比數(shù)列． ( 2) ∵ c1＝ a1－ 1 ＝－12， ∴ cn＝－12n . an＝ cn＋ 1 ＝ 1 －12n ， an ＋ 1＝ 1 －12n ＋ 1， 故當(dāng) n ≥ 2 時(shí)， bn＝ an－ an － 1＝12n － 1－12n ＝12n . 又 b1＝ a1＝12，即 bn＝12n ( n ∈ N ＋ ) ． [變式 ] 已知數(shù)列 {an}的前 n項(xiàng)和 Sn＝ 3an＋ 1， 求證：{an}是等比數(shù)列 ， 并求出通項(xiàng)公式 ． 證明： ∵ Sn＝ 3 an＋ 1 ， ∴ Sn ＋ 1＝ 3 an ＋ 1＋ 1 ， ∴ Sn ＋ 1－ Sn＝ an ＋ 1＝ (3 an ＋ 1＋ 1) － (3 an＋ 1) ＝ 3 an ＋ 1－ 3 an， ∴ 2 an ＋ 1＝ 3 an， ① 又 ∵ S1＝ a1＝ 3 a1＋ 1 ， ∴ a1＝－12≠ 0 ， 由 ① 式可知， an≠ 0 ， ∴ 由an＋1an＝32知 { an} 是等比數(shù)列． an＝－12(32)n － 1. 應(yīng)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式時(shí)，常常解方程或方程組，若同時(shí)考慮到等比數(shù)列的性質(zhì)，會(huì)起到事半功倍的效果． [ 例 3] 在等比數(shù)列 { a n } 中， a 2 ＝ 4 ， a 5 ＝－12，求 a n . 解析： 解法 1 ：由已知，有 a2＝ 4 ， a5＝－12. 由????? a1q ＝ 4 ，a1q4＝－12.得 a1＝－ 8 ， q ＝－12. ∴ an＝ ( － 8) ( －12)n － 1，即 an＝ ( － 1)n12n － 4 . 解法 2 ：由已知 a5＝ a2q3. 則 q3＝a5a2＝－124＝－18. ∴ q ＝－12. ∴ an＝ a2qn － 2＝ 4 ( －12)n － 2 ＝ ( － 2)2 ( －12)n － 2＝ ( － 1)n12n － 4 . [變式 ] 已知數(shù)列 {an}為等比數(shù)列 ， 且 a1＋ a2＋ a3＝ 7，a1a2a3＝ 8， 求 an. 解析： 解法 1：由已知 a1＋ a2＋ a3＝ 7， a1a2a3＝ 8 即 2 q2－ 5 q ＋ 2 ＝ 0. 解得 q ＝ 2 或 q ＝12. 當(dāng) q ＝ 2 時(shí)， a1＝ 1 ， ∴ an＝ 2n － 1； 當(dāng) q ＝12時(shí)， a1＝ 4 ， ∴ an＝ 23 － n. 解法 2 ：因?yàn)?a1a3＝ a22，所以由 a1a2a3＝ 8 得 a32＝ 8. 解得 a2＝ 2. 代入已知得????? a1＋ a3＝ 5 ，a1a3＝ 4 ，解得????? a1＝ 1 ，a3＝ 4或????? a1＝ 4 ，a3＝ 1. 當(dāng) a1＝ 1 時(shí)， q ＝ 2 ， ∴ an＝ 2n － 1； 當(dāng) a1＝ 4 時(shí)， q ＝12， ∴ an＝ 23 － n. [例 4] 三個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)成等差數(shù)列 ， 如果適當(dāng)排列這三個(gè)數(shù) ， 又可成為等比數(shù)列 ， 這三個(gè)數(shù)的和為 6， 求這三個(gè)數(shù) ． 分析： 三個(gè)數(shù)適當(dāng)排列 ， 不同的排列方法有 6種 ， 但這里不必分成 6種 ， 因?yàn)槿粢匀齻€(gè)數(shù)中一
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