高一數(shù)學(xué)等比數(shù)列-文庫(kù)吧
2025-10-08 08:58 本頁(yè)面
【正文】 ( 1 ) 令 bn＝ an ＋ 1－ an， 證明 ： { bn} 是等比數(shù)列 ． ( 2 ) 求 { an} 的通項(xiàng)公式 ． 思路點(diǎn)撥： ( 1 ) 利用等比數(shù)列的定義證明，即只需證 bn＝ qbn － 1( q 為常數(shù)， n ≥ 2 ) ； ( 2 ) 利用 ( 1 ) 的結(jié)果，通過累加法求出 an. ( 1 ) 證明： ∵ b1＝ a2－ a1＝ 1 ， 當(dāng) n ≥ 2 時(shí) ， bn＝ an ＋ 1－ an＝an － 1＋ an2－ an ＝－12( an－ an － 1) ＝－12bn － 1， ∴ { bn} 是首項(xiàng)為 1 ， 公比為 －12的等比數(shù)列 ． ( 2 ) 解： 由 ( 1 ) 知 bn＝ an ＋ 1－ an＝ ( －12)n － 1， 當(dāng) n ≥ 2 時(shí) ， an＝ a1＋ ( a2－ a1) ＋ ( a3－ a2) ＋ … ＋ ( an－ an － 1) ＝ 1 ＋ 1 ＋ ( －12) ＋ … ＋ ( －12)n － 2 ＝ 1 ＋1 － ? －12?n － 11 － ? －12?＝ 1 ＋23[ 1 － ( －12)n － 1] ＝53－23( －12)n － 1， ∵ 當(dāng) n ＝ 1 時(shí) ，53－23 ( －12)1 － 1＝ 1 ＝ a1， ∴ an＝53－23( －12)n － 1( n ∈ N*) ． 判定或證明一個(gè)數(shù)列是等比數(shù)列，常用兩種方法：一是利用等比數(shù)列的定義，即證明an ＋ 1an＝ q ( q ≠ 0 ) ，二是利用等比中項(xiàng)，即證明 an ＋ 12＝ an an ＋ 2≠ 0. 在解題中，要注意根據(jù)要證明的問題，對(duì)給出的條件合 理地變形 ( 如本題 ) ，構(gòu)造出符合等比數(shù)列定義式的形式，從而證明或判斷結(jié)論 ． 等比數(shù)列中的基本運(yùn)算 【例 2 】 ( 2 0 1 0 年浙江五校 模擬 ) 已知等比數(shù)列 { a n } 的公比為 q ( 0 q 1 ) ， a 2 ＋ a 5 ＝94， a 3 a 4＝12. ( 1 ) 求數(shù)列 { a n } 的通項(xiàng)公式 ； ( 2 ) 若 b n ＝1 － ? － 1 ?n2a n ， 求證 ： b 1 ＋ b 2 ＋ b 3 ＋ … ＋ b 2 n － 1 163. 思路點(diǎn)撥： ( 1 ) 先求 a 2， a 5 ，然后求出 q ，即可得 a n . ( 2 ) 先確定數(shù)列 { b n } 的通項(xiàng) b n ，再求和證明不等式成立 ． 解： ( 1 ) 由已知得??? a2＋ a5＝94a2a5＝12， ∴ a2， a5是方程 x2－94x ＋12＝ 0 的兩個(gè)根 ， 解之得 x1＝ 2 ， x2＝14. ∵ 0 q 1 ， ∴ a2＝ 2 ， a5＝14， ∴ 由 a2q3＝ a5得 q ＝12， ∴ an＝ a2qn － 2＝ 2 (12)n － 2＝ (12)n － 3. ( 2 ) ∵ bn＝??? 0 ? n ＝ 2 k ， k ∈ N*?an ? n ＝ 2 k － 1 ， k ∈ N*? ∴ b1＋ b2＋ b3＋ … ＋ b2 n － 1 ＝ a1＋ a3＋ a5＋ … ＋ a2 n － 1 ＝4 [ 1 － ?14?n]1 －14＝163[ 1 － (14)n] 163. 變式探究 21 ： ( 2020 年安徽宿州質(zhì)檢 ) 在各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列 { a n } 中 ， 首項(xiàng) a 1 ＝ 3 ，前三項(xiàng)和為 21 ， 則 a 3 ＋ a 4 ＋ a 5 ＝ _ ____ ___. 解析： 由已知， a 1 ( 1 ＋ q ＋ q2) ＝ 21 ， ∵ a 1 ＝ 3 ， ∴ 1 ＋ q ＋ q2＝ 7 ， ∴ q2＋ q － 6 ＝ 0 ， ∴ ( q － 2 )( q ＋ 3 ) ＝ 0 ， ∴ q ＝ 2 或 q ＝－ 3 ( 舍 ) ， ∴ a 3 ＋ a 4 ＋ a 5 ＝ a 3 ( 1 ＋ q ＋ q2) ＝ a 1 q2( 1 ＋ q ＋ q2) ＝ 84. 答案： 84 等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用 【 例 3】 (2020年高考廣東卷 )已知等比數(shù)列 {an}滿足 an0， n＝ 1,2， … ， 且 a5a2n－ 5＝22n(n≥3)， 則當(dāng) n≥1時(shí) ， log2a1＋ log2a3＋ … ＋ log2a2n－ 1等于 ( ) (A)n(2n－ 1) (B)(n＋ 1)2 (C)n2 (D)(n－ 1)2 思路點(diǎn)撥： 可利用等比數(shù)列的性質(zhì)：若 m＋ n＝ 2p(m， n， p∈ N*)， 則 am183
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