辛等比數(shù)列題型ppt課件(存儲版)
【正文】 體事件相聯(lián)系 ． 建立數(shù)學模型是解決這類問題的核心 ， 常用的方法有： (1)構造等差 、 等比數(shù)列的模型 ， 然后再應用數(shù)列的通項公式和求和公式求解； (2)通過歸納得到結論 ， 在用數(shù)列知識求解 ． 建立數(shù)學模型時 ， 應明確是等差數(shù)列還是等比數(shù)列 ， 是求 an， n還是求 Sn. [例 9] 從盛滿 a L(a1)純酒精的容器里倒出 1 L， 然后灌滿水 ， 再倒出 1 L混合液后又用水灌滿 ， 如此繼續(xù)下去 ，問第 n次操作后溶液的質量分數(shù)是多少 ？ 若 a＝ 2時至少應倒幾次后才能使酒精的質量分數(shù)低于 10%? 解析： 記操作 n 次后溶液的質量分數(shù)為 an， 依題意得 a1＝ 1 －1a，操作第 2 次后溶液的質量分數(shù)為 a2＝? a － 1 ? － ? 1 －1a? 1a＝? a － 1 ? － ? 1 －1a?a ＝ (1 －1a)2. 操作第 3 次后溶液的質量分數(shù)為 a3＝ a2Sn(n＝ 1,2,3， … )． 證明： (1)數(shù)列 是等比數(shù)列； (2)Sn＋ 1＝ 4an. 解析： ( 1) ∵ an ＋ 1＝ Sn ＋ 1－ Sn， an ＋ 1＝n ＋ 2nSn， ∴ ( n ＋ 2) Sn＝ n ( Sn ＋ 1－ Sn) ， 整理得 nSn ＋ 1＝ 2( n ＋ 1) Sn，所以Sn ＋ 1n ＋ 1＝ 2 a8， a9 ( a2a16)an＝ ， 與首末兩項等距離的兩項的積等于首末兩項的積； (3)等比數(shù)列中每隔一定項取出一項按原來順序排列構成的數(shù)列仍為等比數(shù)列 ． 例如 am， a2m， a3m也成等比數(shù)列； ( 4) { λan}( λ ≠ 0) ， {| an|} 皆為等比數(shù)列，公比分別為 q 和 | q |； ( 5) 若 { an} 和 { bn} 分別是公比為 q 和 p 的等比數(shù)列，則數(shù)列 { an ① 可得 q (1 － q ) ＝14， ∴ q ＝12，此時 a1＝42q q3＝ 27,kknSqaaSqaa求已知求已知中在等比數(shù)列例324 312214111101??????? ? 得項和公式根據(jù)等比數(shù)列前解 ,n1.1 2 81 0 2 321121141010 ????????????????????S? ? 得項和公式根據(jù)等比數(shù)列前 ,n2.36431 32431 ?? ???kS? ? ., nn aSSa 求中在等比數(shù)列例 263272 63 ??從而所以的是矛盾這與已知則若解.,126327216336?????qSSSSq? ? ? ? .,qqaSqqaS???????112711 616313, 91 3 ?? q得分別相除將上面兩個等式的兩邊., 211 2221212 ?? ????? nnnaaq 因此由此得故.,可以求出其余的兩個量就只要已知其中的三個量五個量共含有項和公式中與前在等比數(shù)列的通項公式nn Sanqan1., 項和的前求數(shù)列例 nn n ?????????? 218134122113.,因此可以分組求和比數(shù)列的對應項的和一個等差數(shù)列與一個等這個數(shù)列的每一項都是分析?????? ???????????? ???????? ???????? ?? nn nS 21813412211解? ? ?????? ????????????????nn 21814121321? ? ? ?.nn nnnn211212112112121???????????????解析： ( 1) 解法 1 ：由 a4＝ a1 an＋2( n ∈ N*) ? { an} 為等比數(shù)列． [例 ] 數(shù)列 {an}的前 n項和為 Sn， 數(shù)列 {bn}中 b1＝ a1， bn＝ an－ an－ 1(n≥2)， 若 an＋ Sn＝ n. (1)設 ＝ an－ 1， 求證數(shù)列 {}是等比數(shù)列； (2)求數(shù)列 {bn}的通項公式 ． 解析： (1) ∵ a1＝ S1， an＋ Sn＝ n ， ∴ a1＋ S1＝ 1 ，得 a1＝12. 又 an ＋ 1＋ Sn ＋ 1＝ n ＋ 1 ， ∴ 2( an ＋ 1－ 1) ＝ an－ 1 ，即an ＋ 1－ 1an－ 1＝12， ( n ∈ N*) 也即cn ＋ 1cn＝12，故數(shù)列 { cn} 是等比數(shù)列． ( 2) ∵ c1＝ a1－ 1 ＝－12， ∴ cn＝－12n . an＝ cn＋ 1 ＝ 1 －12n ， an ＋ 1＝ 1 －12n ＋ 1， 故當 n ≥ 2 時， bn＝ an－ an － 1＝12n － 1－12n ＝12n . 又 b1＝ a1＝12
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