【正文】 12的等比數(shù)列． ∴ an－ 2 ＝－ 1 (12)n － 1，即 an＝－ (12)n － 1＋ 2 . [ 變式 ] 已知數(shù)列 { an} 中， a1＝ 1,2 an ＋ 1－ an＝n － 2n ? n ＋ 1 ?? n ＋ 2 ?. ( 1) 若 bn＝ an－1n ? n ＋ 1 ?，求證：數(shù)列 { bn} 是等比數(shù)列； ( 2) 求數(shù)列 { an} 的通項(xiàng)公式． 解析： (1) 證明： 由 2 an＋1－ an＝n － 2n ? n ＋ 1 ?? n ＋ 2 ?得 2 an＋1－ an＝2 n － ? n ＋ 2 ?n ? n ＋ 1 ?? n ＋ 2 ? ＝2? n ＋ 1 ?? n ＋ 2 ?－1n ? n ＋ 1 ?， ∴ 2 an＋1－2? n ＋ 1 ?? n ＋ 2 ?＝ an－1n ? n ＋ 1 ?， ∴ an＋1－1? n ＋ 1 ?? n ＋ 2 ?＝12[ an－1n ? n ＋ 1 ?] ． ∵ bn＝ an－1n ? n ＋ 1 ?， ∴ bn ＋ 1＝12bn，即bn ＋ 1bn＝12， ∴ 數(shù)列 { bn} 是以 b1＝ a1－12＝12為首項(xiàng)，12為公比的等比數(shù)列． (2) 由 ( 1) 知： bn＝12 (12)n － 1＝12n ， 又 ∵ bn＝ an－1n ? n ＋ 1 ?， ∴ an＝12n ＋1n ? n ＋ 1 ?. [例 7] 有四個(gè)數(shù) ， 其中前三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列 ， 后三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列 ， 并且第一個(gè)數(shù)與第四個(gè)和是 16， 第二個(gè)數(shù)與第三個(gè)數(shù)的和是 12， 求這四個(gè)數(shù) ． 解析： 解法 1 ：設(shè)四個(gè)數(shù)依次為 a － d ， a ， a ＋ d ，? a ＋ d ?2a， 由條件得????? a － d ＋? a ＋ d ?2a＝ 16 ，a ＋ ? a ＋ d ? ＝ 12. 解得????? a ＝ 4 ，d ＝ 4或????? a ＝ 9 ，d ＝－ 6. 當(dāng) a＝ 4， d＝ 4時(shí)，所求四個(gè)數(shù)為 0,4,8,16； 當(dāng) a＝ 9， d＝－ 6時(shí)，所求四個(gè)數(shù)為 15,9,3,1. 解法 2 ：設(shè)四個(gè)數(shù)依次為2 aq－ a ，aq， a ， aq ( a ≠ 0) ． 由條件得????? 2 aq－ a ＋ aq ＝ 16 ，aq＋ a ＝ 12. 解得????? q ＝ 2 ，a ＝ 8或????? q ＝13，a ＝ 3. 當(dāng) q ＝ 2 ， a ＝ 8 時(shí)，所求四個(gè)數(shù)為 0,4,8,16 ； 當(dāng) q ＝13， a ＝ 3 時(shí)，所求四個(gè)數(shù)為 15,9,3,1. 解法 3 ：設(shè)四個(gè)數(shù)依次為 x ， y, 12 － y, 16 － x . 由條件得????? 2 y ＝ x ＋ ? 12 － y ? ，? 12 － y ?2＝ y ? 16 － x ? . 解得????? x ＝ 0 ，y ＝ 4或????? x ＝ 15 ，y ＝ 9. [變式 ] 設(shè) {an}是公差 d≠0的等差數(shù)列 ， 且 ak1，ak2， … ， akn… 恰好構(gòu)成等比數(shù)列 ， 其中 k1＝ 1， k2＝ 5， k3＝ 17， 求 kn. 解析： 由題意： a 1 ， a 5 ， a 17 成等比數(shù)列． ∴ ( a 1 ＋ 4 d )2＝ a 1 ( a 1 ＋ 16 d ) ， 又 d ≠ 0 ， ∴ a 1 ＝ 2 d ， ∴ ak 1 ， ak 2 ， ak 3 ， … ， ak n 的公比 q ＝a 5a 1＝a 1 ＋ 4 da 1＝6 d2 d＝ 3 ， ∴ 在等差數(shù)列中 ， akn＝ a1＋ (kn－ 1)d＝ (kn＋ 1)d； 在等比數(shù)列中 ， akn＝ a1qn－ 1＝ a1a5＝ 3， a6 an＋2( n ∈ N*) ? { an} 為等比數(shù)列． [例 ] 數(shù)列 {an}的前 n項(xiàng)和為 Sn， 數(shù)列 {bn}中 b1＝ a1， bn＝ an－ an－ 1(n≥2)， 若 an＋ Sn＝ n. (1)設(shè) ＝ an－ 1， 求證數(shù)列 {}是等比數(shù)列； (2)求數(shù)列 {bn}的通項(xiàng)公式 ． 解析： (1) ∵ a1＝ S1， an＋ Sn＝ n ， ∴ a1＋ S1＝ 1 ，得 a1＝12. 又 an ＋ 1＋ Sn ＋ 1＝ n ＋ 1 ， ∴ 2( an ＋ 1－ 1) ＝ an－ 1 ，即an ＋ 1－ 1an－ 1＝12， ( n ∈ N*) 也即cn ＋ 1cn＝12，故數(shù)列 { cn} 是等比數(shù)列． ( 2) ∵ c1＝ a1－ 1